第八章交通流理论

第八章交通流理论主要内容交通流的统计分布特性排队论的应用跟驰理论简介流体动力学模拟理论第八章交通流理论一、概述交通流理论是运用物理学与数学的定律来描述交通特征的一门科学，是交通工程学的基础理论。它用分析的方法阐述交通现象及其机理，从而使我们能更好地掌握交通现象及其本质，并使城市道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功效。第八章交通流理论一、概述当前交通流理论的主要内容：1、交通流量、速度和密度的相互关系及测量方法2、交通流的统计分布特性3、排队论的应用4、跟驰理论

5、驾驶员处理信息的特性6、交通流的流体力学模拟理论7、交通流模拟第八章交通流理论二、交通流的统计分布(statisticaldistribution)特性交通流统计分布的研究内容与意义1、把交通流到达看作是相互独立的随机变量，交通流到达是一种概率变化的过程，符合概率论与数理统计.2、交通流的统计分布特性为设计新的交通设施和确定新的交通管理方案，提供交通流的某些具体特性的预测，并且能利用现有的和假设的数据，作出预报.第八章交通流理论二、交通流的统计分布特性描述交通流随机到达的统计规律方法以概率论中的离散型分布工具，考察在一段固定长度的时间内到达某场所的交通数量的波动性以概率论的连续型分布为工具，研究交通到达的间隔时间的统计特性第八章交通流理论三、离散型(discrete)分布：常用于描述一定的时间间隔内事件的发生数在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的路段上分布的车辆数，是所谓的随机变量，描述这类随机变量的统计规律用的是离散型分布第八章交通流理论1、泊松分布(PoissonDistribution)

适用条件：交通流量小，驾驶员随意选择车速，车辆到达是随机的。基本公式：在计数间隔t内到达k辆车的概率λ：平均到车率或平均分布率（辆/s、辆/m），t：每个计数时间或空间间隔（s、m）

注意单位的一致性！注意平均≠均匀第八章交通流理论令m＝λt：在计数间隔t内平均到达的车辆数；又称泊松分布的参数

递推公式：时间t内到达车辆数小于k的概率P(K<k)时间t内到达车辆数大于等于k的概率P(K≥k)时间t内到达车辆数大于等于x但不超过y的概率P(x≤K≤y)

第八章交通流理论该分布的均值M和方差D都等于m＝λt。实际应用中，均值M=E(X)和方差D(X)可分别由其样本均值和样本方差S2分别进行估计：

n:观测数据分组数:在全部的观测时间内,在计数间隔t内事件K发生次数的频率（即对应的计数间隔的次数）N:观测的总周期（观测的间隔总数），此时观测的总时间为T＝Nt第八章交通流理论由于泊松分布的均值M和方差D均等于λt；而观测数据的均值m和S2均为无偏估计，因此，当观测数据表明S2/m显著不等于1时，就是泊松分布不合适的表征，所以，应选择其他分布形式。

第八章交通流理论例1设60辆车随机分布在4km长的道路上，求任意400m路段上有4辆及4辆车以上的概率关键是把t理解为空间间隔（m）,λ为单位长度上分布的车辆数（辆/m）求λ=60/4=15辆/km求泊松参数m=15×0.4=6第八章交通流理论例2已知某公路断面流量q＝720辆/h，试问该断面5s内有2辆车以上（包括2辆车）通过的概率（假设车辆达到服从泊松分布）。第八章交通流理论例3某信号灯交叉口周期C=97s，有效绿灯时间g=44s，在有效绿灯时间内排队的车流以s=900辆/h的流量通过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。设信号灯交叉口上游车辆的到达率q=369辆/h，服从泊松分布，求使到达车辆不致两次排队的周期能占的最大比例。先分析发生两次排队的条件即一个周期内到达的车辆数大于有效绿灯时间内通过交叉口的车辆数；再求发生两次排队的概率第八章交通流理论说明本例中虽然在每个信号周期中平均到车数只有9.9辆小于一个信号周期有效绿灯时间内的通过的车辆数11辆，但仍有可能出现车辆两次排队的现象，因为平均到车数并不表示车流是均匀到达的，可能会出现某一周期到达的车辆数很少（小于10），使绿灯时间不能充分利用，当某些周期到达的车辆数很大（大于11）时就出现了二次排队。第八章交通流理论2、二项分布（Binomialdistribution）

：

基本公式：在计数间隔t内到达k辆车的概率λ：平均到车率或平均分布率（辆/s、辆/m）t：每个计数时间或空间间隔（s、m）n:正整数，二项分布参数通常记则：0<P<1,n、p为二项分布的参数第八章交通流理论递推公式：二项分布的均值M=np,方差D＝np(1-p);M>D通过对观测数据的计算样本的均值、方差S2来代替M、D;然后估算p、n的值。第八章交通流理论适用条件：车流比较拥挤、自由行驶机会不多的车流用二项分布拟合较好，由于二项分布的均值M大于方差D，当观测数据表明S2/m显著大于1时就不适合用二项分布拟合。第八章交通流理论例：在某条公路上，上午高峰期间，以15s间隔观测到达车辆数，结果如下，试用二项分布拟合之求出P=0.465，n=16.08取163、负二项分布negativebinomialdistribution满足以下条件的称为负二项分布1.实验包含一系列独立的实验。2.每个实验都有成功、失败两种结果。3.成功的概率是恒定的。4.实验持续到r次成功，r为正整数。已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利试验中，一件事件刚好在第k+x次试验出现第k次的概率。递推公式P(0)=pk第八章交通流理论负二项分布的期望值和方差E(x)=k(1-p)/pD(x)=k(1-p)/p2用负二项拟合数据时，其参数的估计值用下式计算p’=m/s2k’=m2/(s2-m)适用条件：

S2/m.>1四、连续性分布（continuousdistribution)交通工程中，另一个用于描述车辆到达随机特性的度量就是车头时距的分布，常用的分布有负指数分布、移位的负指数分布、M3分布和爱尔朗分布1、负指数分布（ExponentialDistribution）

由泊松分布知四、连续性分布（continuousdistribution)1、负指数分布（ExponentialDistribution）

基本公式：到达的车头时距h大于t秒的概率泊松分布t内无车辆到达的概率适用条件：用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布四、连续性分布（continuousdistribution)1、负指数分布交通流到达服从泊松分布，则交通流到达的车头时距服从负指数分布，

反之亦然已知到达某交叉口的车流车头时距（单位：s）服从负指数分布，且试求任意10s到达车辆数不小于2辆的概率NumberofheadwaynolessthanTEquationstoberememberedNumberofheadwaywhose

valueisbetweenT1andT2连续性分布负指数分布：车头时距愈短，其出现的概率越大；对于不能超车的单列车流是不合适的。此时可用移位负指数分布来描述

2023/2/427例5：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向流量为360辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行速度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车道的次数，如果单向流量增加到900辆/h，1h中提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减少。7.5mQ=360辆/h2023/2/428连续性分布解：行人横过单向行车道所需要的时间：

t=7.5/1=7.5s因此，只有当h≥7.5s时，行人才能安全穿越，由于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大于7.5s的概率为：

对于Q=360辆/h的车流，1h车头时距次数为360，其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：2023/2/429连续性分布当Q=900辆/h时，车头时距大于7.5s的概率为：1h内车头时距次数为900，其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：连续性分布负指数分布在次要车流通行能力研究中的应用次干路车辆穿越主干路所要求的最小时间间隔次干路横穿车辆连续通过时的最小车头时距主干路车辆平均达到率连续性分布2、移位负指数分布

均值和方差不足：车头时距越接近τ，其出现的概率越大；此时的不是安全车头时距2023/2/432连续性分布移位负指数分布的局限性：服从移位负指数分布的车头时距愈接近τ出现的可能性愈大。这在一般情况下是不符合驾驶员的心理习惯和行车特点的。车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后降。2023/2/434二、排队论的基本概念“排队”与“排队系统”当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车辆和正在被服务（收费）的车辆与收费站构成一个“排队系统”。等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这个队列则称为“排队”。“排队车辆”或“排队（等待）时间”都是指排队的本身。“排队系统中的车辆”或“排队系统消耗时间”则是在指排队系统中正在接受服务（收费）和排队的统称。2023/2/435二、排队论的基本概念排队系统的三个组成部分:输入过程：是指各种类型的“顾客(车辆或行人)”按怎样的规律到达。输入方式包括：泊松输入、定长输入、爱尔朗输入排队规则：是指到达的顾客按怎样的次序接受服务。排队规则包括：等待制、损失制、混合制服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。服务时间分布包括：定长分布、负指数分布、爱尔朗分布排队论一、排队系统的特征及排队论4、常见排队系统顾客可以根据实际选择服务台排队论排队系统的特征及排队论4、常见排队系统顾客选择队列后不能再选择服务台排队论一、排队系统的特征及排队论4、常见排队系统2023/2/439二、排队论的基本概念排队系统的主要数量指标：等待时间：即从顾客到达时起到他开始接受服务时止这段时间。忙期：即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。队长（cháng）：有排队顾客数与排队系统中顾客之分，这是排队系统提供服务水平的一种衡量指标。2023/2/440M/M/1排队系统（单通道服务系统）主要参数：设平均到达率为λ，则两次到达的平均间隔时间（时距）为1/λ；设排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率（输出率）为μ，则平均服务时间为1/μ；比率：称为交通强度或利用系数，由比率ρ即可确定各种状态的性质。2023/2/441M/M/1排队系统（单通道服务系统）当比率ρ<1（即λ<μ），且时间充分，每个状态都会以非0的概率反复出现；当比率ρ≥1，任何状态都是不稳定的，且排队会越来越长。例如：某高速公路进口收费站平均每10s有一辆车到达，收费站发放通行卡的时间平均需要8s，即:1/λ=10s；1/μ=10s如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。2023/2/442M/M/1排队系统（单通道服务系统）当比率ρ<1（即λ<μ），系统处以稳定状态：在系统中没有顾客的概率为（即没有接受服务，也没有排队）：在系统中有k个顾客的概率为（包括接受服务的顾客与排队的顾客之和）：在系统中的平均顾客数为（平均接受服务的顾客与排队的顾客之和）：2023/2/443M/M/1排队系统（单通道服务系统）系统中顾客数的方差：随着ρ的增大，n增大；当ρ≥0.8以后，n迅速增大，从而使排队长度快速增加，排队系统便的不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。平均排队长度：这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客（车辆）。2023/2/444M/M/1排队系统（单通道服务系统）平均非零排队长度：即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。排队系统中平均消耗时间：这里是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。2023/2/445M/M/1排队系统（单通道服务系统）排队中的平均等待时间：这里在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差。共有八个指标。2023/2/446M/M/1排队系统（单通道服务系统）M/M/1系统（单通道服务系统）的基本概念：由于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因此也叫做“单通道服务”系统。服务（收费站）μ输出输入λM/M/1系统2023/2/447M/M/1排队系统（单通道服务系统）例1：高速公路入口收费站，车辆到达是随机的，流入量为400辆/h，如果收费工作人员平均能在8s内发放通行卡，符合负指数分布，求：收费站排队系统中的平均车辆数，平均排队长度，排队系统中的平均消耗时间和排队中的平均等待时间。解：λ=400/3600（辆/s）,μ=1/8（辆/s）

ρ=λ/μ=0.89<1，排队系统是稳定的。收费站排队系统中的平均车辆数：2023/2/448M/M/1排队系统（单通道服务系统）平均排队长度：排队系统中的平均消耗时间：排队中的平均等待时间：2023/2/449例2：修建一个服务能力为120辆/h的停车场，布置一条进入停车场的引道，经调查车辆到达率为72辆/h，进入停车场的引道长度能够容纳5辆车，是否合适。解：λ=72（辆/h）,μ=120（辆/h）

ρ=λ/μ=0.6<1，排队系统是稳定的。进入停车场的引道长度能够容纳5辆车,如果系统中的平均车辆数小于5辆车则是合适的，否则，准备停放的车辆必然影响交通。2023/2/450

验证系统中平均车辆数超过5辆车的概率P(＞5)，如果P(＞5)很小，则得到“合适”的结论正确。由：验证结果表明：系统中平均车辆数超过5辆车的概率P(＞5)不足5%，概率很小，进入停车场的引道长度是合适的。2023/2/451M/M/N排队系统简介（多通道服务系统）一般收费站属于多路排队多通道服务的M/M/N系统，如果总流入量为Q，可以假设每个收费站的流入量为Q/N，就可以按照M/M/1系统计算。服务收费站1μ输出输入λM/M/1系统服务收费站Nμ输出输入λM/M/1系统N

2023/2/452单路排队多通道服务的M/M/N排队系统如下：从服务效率分析这种排队系统的效率较高，但用于收费站显然是不合适的（这一系统同样有一整套计算公式）。输入λ服务1μ输出服务Nμ输出N

第四节跟驰理论1、跟车理论是运用动力学方法，研究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶状态，并用数学模式表达而加以分析的一种理论2、车队跟车特性分析1）制约性前车车速制约着后车车速和两车间距2）延迟性在前车行驶状态改变后，后车要有一定的延迟才能做出相应的改变3）传递性由制约性而使车队第一辆车的运行状态可以一直制约到第n辆车第四节跟驰理论n+1nn+1n+1nS(t)Xn+1(t)Xn+1(t)Xn(t)d1d2L时刻t两车位置完全制动后两车位置前车开始减速的位置后车开始减速的位置时刻t的刺激加速度：反应敏感度d3第四节跟驰理论上述模型是基于前导车制动、前后车制动距离相等以及后车在反应时间T内速度不变等假定条件推倒出来的。一般情形下：线性跟车模型第四节跟驰理论模型的稳定性：车队车辆的稳定性稳定的含义局部稳定性：前后两车之间的距离变化是否稳定，如车间距的摆动，若摆动大则不稳定，摆动愈小愈稳定渐进稳定性：前车速度变化向后面各车传播的特性，如速度变化的振幅在传播中扩大了则不稳定；如振幅在传播中逐渐衰减则稳定，此情形成为渐进稳定性第四节跟驰理论跟车模型与车流模型车流模型是指在稳定的车流中，流量、车速和密度之间的相依关系从跟车模型出发，可推导出各种车速-密度关系，方法是根据边界条件解微分方程第四节跟驰理论跟车模型与车流模型用线性跟车模型推到车流模型当车队处于平稳状态时，因此对任何t,有第四节跟驰理论

既然在跟车状态下车辆的行驶是密度较高的非自由状态，因此由线性跟车模型推导出来的车流模型只适用于高密度情形。

线性跟车模型的缺陷在于由其推导出来的车流模型中当密度趋于0时，车速u趋向于无穷大；以及流量在密度等于0时达到最大。第四节跟驰理论线性跟车模型的推广线性跟车模型的缺陷的根源在于它假定后随车的跟驶反应只依赖于它与前导车的速度差，而与两车的间距以及后随车本身的绝对速度无关。实际的情形表明，在一定的车速下，两车的间距愈近，尾撞的潜在危险愈大，同时后随车对前导车的速度变化的感知也愈快，因而反应愈加迅速和强烈。另一方面，后随车本身的速度愈高，一旦发生尾撞的后果就愈严重，因而反应愈迅速和愈有效。第四节跟驰理论推广模型（跟车模型最一般形式）令参数m和l取各种不同的组合，积分后可导出不同的车流模型从微观的跟驰理论建立的运动规律，通过积分运算可得到宏观的交通流方程（模型）。根据速度方程边界条件求解，确定积分常数第四章交通流理论4－4跟驰理论推广模型（跟车模型最一般形式）第五节流体动力学模拟理论一、引言1、流体动力学模拟理论（车流波动理论）：运用流体动力学的基本原理，模拟流体的连续性方程，建立车流的连续性方程。把车流密度的变化，比拟成水波的起伏而抽象为车流波。当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时，在车流中产生车流波的传播，通过分析车流波的传播速度，以寻求车流流量、速度之间的关系，并描述车流的拥挤-消散过程流体动力学模拟理论一、引言2、车流连续性方程的建立根据流入量-流出量=Δx内车辆数的变化Ⅱqk

ΔxⅠq+ΔqK-ΔkΔt2023/2/465二、车流波动理论波速公式的推导：假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（K1和K2）用垂线S分割这两种密度，称S为波阵面，设S的速度为w（w为垂线S相对于路面的绝对速度），并规定垂线S的速度w沿车流运行方向为正。由流量守恒可知，在t时间内由A进入S面的车辆数等于由S面驶入B的车辆数，即：式中:(V1-w)、(V2-w)分别为车辆进出S面前后相对于S面的速度。2023/2/466二、车流波动理论V1=100km/hK1=10辆/kmV2=80km/hK2=14辆/km

车头间距71mwwK1V1K2V2ABSS2023/2/467二、车流波动理论由：规定：当K2<K1，密度降低，产生的w为消散波；当K2>K1，密度增加，产生的w为集结波。流体动力学模拟理论二、车流波动理论5、流量-密度图与集散波1）图中两点割线的斜率即集散波的波速2）密度由小到大是集结波，由大到小是消散波3）前进波：割线斜率大于0；后退波：割线斜率小于0；什么情况下是前进波？什么情况下是后退波？流体动力学模拟理论二、车流波动理论6、停车波信号灯交叉口上游驶来的车流流量为Q，红灯时间为r，问红灯结束时交叉口进口道上排队的车辆数是多少？红灯开启时，车流从高速度低密度转变成零速度高密度状态，即停车状态，形成集结波，又称停车波。红灯期间，停车波向上游移动的距离为停下的车辆数为

Nr与Qr的关系？流体动力学模拟理论二、车流波动理论6、停车波停车波的绝对速度与上游来的车流密度的关系红灯结束时的排队车辆数与上游来的车流密度的关系流体动力学模拟理论二、车流波动理论7、起动波绿灯开启时，车流从高密度零流量状态转变成具有流量s和较低密度Ks的状态，形成消散波；又称起动波。由于排队车流启动后的密度Ks比较接近停车密度Kj，所以起动波的绝对速度比较接近自由流车速Vf

流体动力学模拟理论补充车流波动理论1、车流波动：车流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队后部传播的现象2、波速：车流波动沿道路移动的速度3、车对运行状态变化图流体动力学模拟理论补充

车流波动理论3、车对运行状态变化图：n辆车的运行的空间-时间变化图一条曲线表示一辆车运行的空间-时间轨迹图中车头时距？车头间距？车速？三个区域的交通流特征？对某一确定时刻，虚线与运行轨迹的交点即是车队密度不同的两部分的分界虚线表示分界既沿车队向后传播，又沿着道路移动。虚线的斜率？如何确定虚线？集散波：集结波、疏散波A点的含义？tA？何时拥挤车辆数最多？流体动力学模拟理论补充车流波动理论3、波速公式t内车头间距的改变量等于两车行驶距离之差xt1A3

v2

ov1

A(t,x)？2流体动力学模拟理论补充车流波动理论4、波流量：（集散波从前车向后车传播）单位时间内集散波所掠过的车辆数；相对于移动的波界面计算的波流量公式三、车流波动理论的应用某快速干道上车流的速度-密度模型为，其中v以km/h,K以辆/km计。一列速度v1=50的车流中被插入一辆速度为v2=12的低速车并不能超车而集结形成速度为v2的拥挤车流。低速车行驶了2km后驶离车队，拥