第一章线性系统知识点总结-20150423

2023/2/411.1光学中常用的几种初等函数

一、矩形函数矩形函数的定义为函数图像如下图所示01第一章线性系统分析二维矩形函数可表示成一维矩形函数的乘积式中a>0,b>0,它在xy平面上，以原点为中心的ab矩形范围内，函数值为1，其它地方为零。光学上常用矩形函数表示不透明屏上的矩形孔、狭缝的透过率。它与其它函数相乘，可限制函数自变量的取值范围，起到截取函数的作用，故又称为门函数。如表示一个只出现在区间二、sinc函数一维sinc函数的定义为式中a>0,函数在x=x0处有最大值1。对于x0=0,该函数在原点处有最大值1.两个第一级零值之间的宽度为2a,函数图像如图所示。零点位于二维sinc函数的定义为sinc函数常用来描述矩孔或单缝的夫琅和费衍射图样，且与矩形函数互为傅里叶变换。三、阶跃函数阶跃函数的定义为10阶跃函数与某函数相乘时，如x>0，则积等于原函数，在x<0的部分，其积为零。因而阶跃函数的作用如同一个开关，可开启或关闭另一函数。用来描述光学直边(或刀口)的透过率1/2四、符号函数符号函数的定义为10-1符号函数与某函数相乘，可以使该函数在某点的极性（正负号）发生翻转。如：某孔径的一半嵌有的相位板，则可用其描述此孔的复振幅透过率2023/2/47五、三角函数一维三角函数的定义为10式中a>0,函数图形是底边宽为2a，高为1的三角形，三角形函数可表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。六、圆柱函数圆柱函数的定义为函数图形呈圆柱形，底半径为a，高度为1。极坐标下的形式为圆柱函数常用来描述圆孔的透过率a七、高斯函数高斯函数的定义为二维高斯函数的形式是曲面下的体积为aba>0.当x0=0时，函数在原点处有最大值1。高斯图形中曲线下的面积为a.式中2023/2/410曲面下的体积为ab极坐标下高斯函数在统计领域中经常用到。高斯函数在光学中常用来描述激光器发出的高斯光束，有时也用于光学信息处理中的切趾术。2、筛选性质1、函数和其它函数的乘积3、坐标缩放性质1.2函数性质4、可分离变量性质5、函数是偶函数三、梳状函数光学上，单位光通量间隔为1个单位的点光源线阵的亮度，可用一个一维梳状函数表示：n为整数梳状函数也是广义函数，其性质可由函数的性质推出。利用坐标缩放性质，可以把间隔为x0的等间距脉冲序列表示为梳状函数与普通函数的乘积是因此，可以利用梳状函数对普通函数作等间距抽样。在x和y方向间隔分别为a和b的二维脉冲序列表示为1.3二维傅里叶变换1、二维傅里叶变换的定义含有两个变量x,y的函数f(x,y)，其二维傅里叶变换定义为{}在此定义中，本身也是两个自变量的函数。变换F振幅谱相位谱功率谱类似地，函数f(x,y)也可以用其频谱函数表示，即：上式称为F（，）的二维傅里叶逆变换。=-1{}F-1()FF()1.4卷积与相关一、卷积的定义两个函数f(x,y)和h(x,y)的卷积的定义为：它是包含两个参量的二重无穷积分，这里的参变量x,y和积分变量，均为实数，但函数f(x,y)和h(x,y)可以是实数，也可以是复数。*号表示卷积运算。1、卷积的定义存在条件：物理上的可能性2023/2/4172、卷积运算的例子例：如下图，已知两个函数f(x)和h(x),求其卷积上述卷积的图解方法，概括起来有四个步骤：折叠、位移、相乘和积分。求卷积的方法：（1）、将f(x)和h(x)变为f()和h()，并画出相应的曲线（2）、将h()h(-)只要将h()曲线相对纵轴折叠便得到其镜像h(-)曲线。（3）、对任一x(-,+)，只要将曲线h(-)沿x轴平移x便得到h(x-)x>0右移，x<0,左移（4）、计算所对应的曲线下的面积为了得到卷积，需对-,+的每一个x值求其卷积值。综合上面的结果可得两函数的卷积3、卷积运算的两个效应（1）展宽效应：假设函数只在一个有限区间不为零，这个区间可称为函数的宽度。一般说来，卷积函数的宽度等于被卷函数的和。（2）平滑效应：被卷积的函数经过卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑。4、卷积运算的基本性质（1）分配律（2）交换律（3）结合律（4）平移不变性已知则令5、函数f(x,y)与函数的卷积2023/2/425二、相关1、互相关的定义两个函数f(x,y)和g(x,y)的互相关定义为★式中f﹡是函数f的复共轭，★号表示相关运算。令我们可得互相关定义的另一种形式2、互相关的卷积表达式互相关与卷积是不同的两种运算，参与互相关的两个函数都不翻转，但是我们可以把它表示成卷积的形式。若f(x,y)是实偶函数，则★2、互相关的性质（1）证明：令（2）证明：引用施瓦兹不等式其中和一般为复数，其中等号当且仅当=k时才成立，k是复常数。令则由施瓦兹不等式得因为2、自相关1、定义：时互相关成为自相关★当由：互相关的卷积表达式（3）、归一化互相关函数和自相关函数=归一化自相关函数1-5傅里叶变换的基本性质和有关定理一、傅里叶变换的基本性质1、线性性质设a,b为常数，则即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变换的相应组合。FFF2、迭次傅里叶变换对二元函数作二次傅里叶变换，可得其倒立像3、坐标缩放性质4、位移定理函数空域的位移，带来频域中的线性相移，另一方面函数在空域中的相移，会导致频域位移。FFFFFF若请同学业们动手推导请同学业们动手推导ffffff5、体积对应关系6、复共轭函数的傅里叶变换若f(x,y)为实函数，显然有称具有厄米对称性二、傅里叶变换的基本定理1、卷积定理FF说明：空域两个函数的卷积，在频域等于其变换的乘积。这一定理有重要的意义，当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用卷积定理可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的傅里叶变换。而且定理为获得两个函数的卷积提供了另一途径，即将两函数的变换式相乘，再对乘积作逆变换。2、相关定理（1）互相关定理★FFFFF2023/2/438卷积定理证明2023/2/439互相关定理证明互谱能量密度（2）自相关定理★称为信号f(x,y)的能谱密度3、巴塞伐定理和广义巴塞伐定理在应用中上述积分都可以表示某种能量。本定理表明对能量的计算，既可以在空域进行，也可以在频域进行。从物理上看，这是能量守恒的体现，故也称为能量积分定理。F4、傅里叶积分定理5、导数定理设则有-1FF=-1FFFFF王仕璠《信息光学原理与应用》P29证明：F-1FF5、矩定理由导数定理可得下面的零阶、一阶和二阶矩定理（1）零阶矩定理（2）一阶矩定理（3）、二阶矩定理例题：？利用了高斯函数的傅里叶变换也是高斯函数！例题：求矩形函数的傅里叶变换FF例题：求高斯函数的傅里叶变换FF例题：求余弦函数的傅里叶变换FF例题：求三角函数的傅里叶变换利用卷积定理FFFFF下面利用卷积定理的图解方法求三角函数的傅里叶变换。这种方法，用图形表示出函数在空间域和频率域的对应关系，分析思路直观且便于记忆。*0-112023/2/451原函数↔频谱函数原函数↔频谱函数11常用函数的傅里叶变换对2023/2/4521.6线性系统定义一个系统对输入f1和f2的输出响应为g1、g2，则有若对于任意复常数a1和a2，当输入函数为a1f1(x,y)+a2f2(x,y)时，输出为则此系统为线性系统。LLL由线性系统的定义可知，线性系统具有叠加性质，即系统对几个输入的线性组合的整体响应就等于各单个输入产生的响应的线性组合。利用线性系统的叠加性质，可以方便地求出系统对于任意复杂输入的响应。方法是：首先，我们把复杂的输入分解成许多更加基本的函数，即“基元”函数的线性组合。而基元函数的响应是较容易单独确定的。这些基元函数的响应再经线性组合，就可以得到复杂输入所对应的输出，这是线性系统的最大好处。基元函数通常是指不能再分解的基本函数。在线性分析系统中，常用的基元函数有函数、余弦函数、和复指数函数。脉冲响应以函数作为基元函数，研究输入与输出的关系利用函数的筛选性质，任何输入函数都可以分解为函数的线性组合这个积分可以看成是x,y平面上无穷多个不同位置（，）处的以权重为系数的线性叠加函数L的意义是：输入平面上位于x=,y=处的单位脉冲（点光源）通过系统后在输出平面上得到的分布。所以它是脉冲响应或点扩散函数。对于给定的光学系统，点扩散函数一般与输入点脉冲的位置（,）有关。令脉冲响应式（*）通常称为叠加积分，它描述了线性系统输入和输出的变换LLL显然，线性系统的性质完全由它对单位脉冲的响应表征。只要知道系统对位于输入平面上所有可能的点上的脉冲的响应，就可以通过叠加积分而完全确定系统的输出。另外，如果系统的输入和输出之间满足叠加积所描述的关系，就可以认为这是一个线性系统。令脉冲响应式（*）通常称为叠加积分，它描述了线性系统输入和输出的变换Lh的波形可能并不相同。其函数形式与输入时刻有关，记为四、线性不变系统一个线性系统的性质可能是随时间（或空间位置）变化的。例如，一个电路系统，不同时刻输入的时间脉冲信号，其响应L显然，要做到这一点，是相当困难的。不过对于线性系统的一个重要子类——线性不变系统，分析才变得十分简单。若输入脉冲延迟时间，其响应仅仅有相应的时间延迟，而函数形式不变，即L我们称这样的线性系统是时不变系统。这种系统输入与输出之间的变换关系是确定的，不随时间变化。固定电阻、电容、电感的特性在一段时间内，可看作是不随时间变化的，它们组成的电路是时不变的。一个空间脉冲（如单位点光源）在输入平面上位移，线性系统的响应函数形式不变，只是产生相应的位移，即L这样的系统称为空间不变系统或位移不变系统对于线性不变系统，叠加积分式变为式中h(x,y)是坐标原点单位脉冲响应，它可以表征线性空不变系统的性质。上式（**）积分称为卷积积分，其含义仍旧是指：把输入函数f(x,y)分解为无穷多个函数的线性组合，每个脉冲都按其位置加权，然后把系统对于每个脉冲的响应叠加在一起就得对于f(x,y)的整体响应。与（*）式不同的是，不论输入脉冲位置如何，系统脉冲响应的函数的形式是相同的。因而系统的作用可以用一个脉冲响应函数来表征。2023/2/461五、线性不变系统的传递函数上式是输入和输出关系在空域表示，利用卷积定理，可以得到频率的关系式。输入频谱输出频谱系统的传递函数或频率响应它决定了输入频谱中各种频率成分通过系统时将发生什么样的变化。说明：对线性平移不变系统，可以采用两种研究方法。一是在空域通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函数；二是在频域求得输入函数与脉冲响应两者各自的频谱函数的积。再对该积求逆傅里叶变换求得输出函数。线性不变系统的本征函数定义：如果函数f(x,y)满足条件式中a为一复数，叫本征值，则称f(x,y)为算符所表征的系统的也就是说，系统的本征函数是一个特定的输入函数，相应的输出函数等于输入函数与一复常数的乘积。由上面的讨论可知，复指数函数可以形式不变地通过线性不变系统，因此，它正是线性不变系统的本征函数。在分析线性不变系统时，取复指数函数为基元函数是非常方便的。L本征函数L对于非相干处理系统，系统对光强是线性的，这种系统可以把一个实值输入变换成一个实值输出，也是一种常见的系统，这类系统的传递函数是厄米的，即有：令振幅传递函数相位传递函数偶函数奇函数1.7.1单色光波场的复振幅表示单色光场中某一点P在时刻t的光振动可表示为式中是光波的时间频率。a(P)和（P）分别是P点的光振动的振幅和初相位。1.7二维光场分析一个理想的单色光波对于时间和空间都是无限的。考察实际发光过程，它总是发生在一定时间和一定空间范围内，所以理想单色光波是不存在的。但是在实际存在的光波中，有的光波仅仅包含以某一频率为中心的很窄的频率范围，即窄带光。单色光的结论可以推广到窄带光。对宽带的非单色光，可以将它们分解为单色光。然后再应用单色光的有关结论。根据欧拉公式，一个余弦函数可以表示为相应的复指数函数的实部。因此，u(P,t)也可以表示为如下式子式中Re{}表示对括号内复函数取实部。显然，利用复指数函数表示光振动，便于把相位中空间部分（P）和由时间变量决定的部分2t分开来。定义一个新物理量U（P）—单色光场中P点的复振幅

它与时间无关，而仅是空间位置的函数。对于单色光波，由于频率恒定，由时间变量确定的相位因子exp(-j2t)对于光场中各点来说均是相同的。光场中光振动的空间分布完全由复振幅U随空间位置的变化所确定。1、球面波的复振幅从点光源发出的光，其波面表现为球面波。我们常把一个复杂的光源看做是许多点光源的集合，因此，点光源是一个重要的基本光源，球面波是基本的波面形式。（设点光源初相为零）发散波a0是距光源单位距离处的振幅会聚波（设点光源初相为零）发散波任一点P处的复振幅为--波数同理，对于会聚球面波，其复振幅为下面讨论球面波在直角坐标系中光场的分布表达式许多问题中，我们所关心的往往是某个确定平面的上的光场分布，所以下面重点讨论某一特定平面上复振幅的数学表达式。0当xy平面上只考虑一个对s点张角不太大的范围，这时有傍轴条件作泰勒级数展开，略去高阶项得上式代入发散球面波复振幅公式得到xy平面上产生的复振幅分布为2023/2/471在相位因子中包括两项：描述了位相随x,y平面坐标的变化我们称之为球面波的（二次）相位因子，当平面上复振幅分布的表达式中包含有这一因子，就可近似认为距离该平面z处有一点光源发出的球面波经过这个平面。exp(jkz)是常量位相因子x,y平面上位相相同的点的轨迹，即等相位线方程为式中c表示某一常量。不同c值所对应的等相位线构成一簇同心圆，它们是球形波面与x,y平面的交线。要注意的是相位值差2的同心圆之间的间隔并不相等，而是由中心向外愈来愈密集。当光源位于x0，y0平面的坐标原点上，傍轴近似下，发散球面波在x,y平面上复振幅分布为2023/2/473会聚球面波在x,y平面上复振幅分布为它表示经过x,y平面向距离为处会聚的球面波在该平面产生的复振幅分布。2、平面波的复振幅平面波也是光波最简单的一种形式。点光源发出的光经透镜准直，或者把点光源移到无穷远处，可以近似获得平面波。沿方向传播的单色平面波，在光场中P（x,y,z)点产生的复振幅可以表示为式中，a表示常量振幅，cos,cos,cos为传播方向的方向余弦。利用式中是常量位相因子，不随x,y平面坐标变化。2023/2/476称为平面波线性相位因子若平面上复振幅分布的表达式中包含这一因子，就可知道它代表一个方向余弦为cos,cos的平面波经过该平面。等位相线的方程是不同C值所对应的等位相线是一些平行斜线。下图中用虚线表示出相位值差2的一组波面与x,y平面的交线，即等相位线，它们是一组等距离的平行斜线。由于相位值相差2的点光振动实际相同，所以平面上复振幅分布的基本特点是以相位值2为周期分布。这是平面波传播的空间周期特点在x,y平面上的具体表现。它是下面讨论平面波空间频率概念的基础。01.7.2平面波的空间频率平面波的空间频率是信息光学中常用的基本物理量，深入理解这个概念的物理含义是很重要的。X如图，研究波矢k在x0z平面内的简单情况。这时波面垂直于x0z平面。由于等相位线方程为与不同C对应的等相位线是一些与x轴垂直的平行直线。复振幅在xy平面上周期分布的空间周期可以用相位差为2的两相邻等位线的间距X表示。所以有X方向的空间频率为（单位长度内变化的周期数）其单位是周/mm因为等相位线平行于y轴，复振幅沿y方向不变，可认为沿y方向空间周期Y=，相应的空间频率为这样一来，传播方向余弦为（cos,0）的单色平面波在xy平面上复振幅的周期分布就可用x,y方向的空间频率来描述上式直接通过空间频率表示x,y平面上的复振幅分布。由空间频率与传播方向余弦之间的对应关系，可以认为该式代表一个传播方向余弦为cos=