第2章 连续时间系统的时域分析

第2章连续时间系统的时域分析

引言信号与系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分方程，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。连续时间系统可用微分方程表示，因此在时域下分析连续时间系统，实际上就是求解微分方程的过程。而对于离散时间系统可用差分方程表示，因此在时域下分析离散时间系统，实际上就是求解差分方程的过程。系统分析过程经典法:电路分析基础课里已经讨论过，求解微分方程的齐次解和特解，代入初始条件求解系数，得出全响应；卷积积分法:

任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)线性系统完全响应的求解；零输入响应和零状态响应的求解；冲激响应h(t)

和阶跃响应g(t)的求解；卷积的定义；图解法求卷积；卷积的性质；卷积积分法求系统响应；本章主要内容§2.1系统微分方程的经典求解许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。一．物理系统的模型本节复习求解系统微分方程的经典法：物理系统的模型微分方程的列写n阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,以基尔霍夫电流定律KCL，基尔霍夫电压定律KVL表示。二．微分方程的列写1.元件约束VAR在电流、电压取关联参考方向条件下：(1)电阻R，uR(t)=R·iR(t)；(2)电感L，

(3)电容C，(4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。2.结构约束KCL与KVL下面举例说明。例如图所示电路，输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)为输出响应变量的方程式。

由KVL，列出电压方程对上式求导考虑到所以根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))

整理上式后，可得三．n阶线性时不变系统的描述

一个线性系统，其激励信号与响应信号之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常系数的n阶线性常系数微分方程。阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。分析系统的方法：列写方程，求解方程。

求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。四．求解系统微分方程的经典法

我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为时的方程的解，初始条件齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意重根情况处理方法。特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。2.1.1微分方程的经典解全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。齐次解满足齐次微分方程

y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为

λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0齐次解

(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次解(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都是单根，则微分方程的齐次解(3)特征根有一对单复根。即λ1,2=a±jb，则微分方程的齐次解yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt或yh(t)=Aeatcos(bt-θ)

(4)特征根有一对m重复根。即共有m重λ1,2=a±jb的复根，则微分方程的齐次解系统的特征方程为

特征根因而对应的齐次解为例系统的特征方程为

特征根因而对应的齐次解为例特征根齐次解yh(t)特征根与相应的齐次解形式单根r重根共轭复根r重共轭复根激励函数e(t)响应函数y(t)的特解几种典型激励函数相应的特解或如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。

给定微分方程式为使等式两端平衡，试选特解函数式

将此式代入方程得到

例等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有联解得到所以，特解为

这里，B是待定系数。代入方程后有：(2)全解将微分方程的齐次解和特解相加可得到全解。全解中的待定系数可由系统的初始条件确定。试求的全解。

给定微分方程式（1）系统特征方程为例由此求的系统特征根为λ1=-2、λ2=-3。其齐次解形式为（2）已知激励信号为e(t)=2e-tε(t),可设特解将特解与激励e(t)=2e-tε(t)带入原微分方程，可得P=1所以（3）微分方程全解为全解一阶导数为令y(t)、y’(t)两式中的t=0+，结合已知初始条件，得故系统微分方程全解为

齐次解（自由响应）

特解（强迫响应）已知激励信号e(t)=sin2t(t≥0)，初始时刻，电容端电压均为零，求输出信号v2(t)。例(1)列微分方程2.1.2关于系统t=0-与t=0+状态的讨论我们来进一步讨论的条件。

当系统用微分方程表示时，系统从到状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数项。

一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：对于一个具体的电网络，系统的状态就是系统中储能元件的储能情况;但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，状态就会发生跳变。说明由伏安关系当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时：1．电容电压的突变如果为有限值，冲激电压或阶跃电流作用于电感时：2．电感电流的突变配平的原理：t=0时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）例：

3．冲激函数匹配法（冲激平衡法）确定初始条件在中时刻有

中的表示到的相对跳变函数，所以，分析设则代入方程得出所以得即即数学描述（1）将x(t)代入微分方程，得例方程右端的冲激函数项最高阶次是，因而有代入微分方程(2)求得因而有例§2.2零输入响应和零状态响应

自由响应＋强迫响应

(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应

(Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应

(Transient+Steady-state)

也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。

形式取决于外加激励。对应于特解。

是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。

由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。

没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。

不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。

(1)自由响应：(2)暂态响应：稳态响应：强迫响应：(3)零输入响应：零状态响应：各种系统响应定义2.2.1零输入响应零输入响应是在初始状态不为零而输入为零时的响应。由于输入为零，系统微分方程为齐次方程，零输入响应解的形式与齐次解的形式相同。

某LTI系统微分方程为y’’(t)+5y’(t)+4y(t)=e(t)已知y’(0-)=1,y(0-)=2。试求该系统零输入响应yzi(t)。例

由微分方程可得特征方程为

λ2+5λ+4=0求得特征根为λ1=-1，λ2=-4。此系统零输入响应可写为yzi(t)=C1e-t+C2e-4tt≥0结合系统的初始状态y’(0-)=1,y(0-)=2，可得故此系统的零输入响应为此例中，若激励信号为，求齐次解。有代入微分方程求得因而有结合系统的初始条件y’(0+)=2,y(0+)=2，可得故此系统的齐次解为2.2.2零状态响应零状态响应是在系统初始状态为零，即y(0-)=y’(0-)=y’’(0-)=…=y(n-1)(0-)=0，但激励不为零时的响应。此时系统的微分方程是非齐次方程，解的本身包含齐次解和特解两部分。实际上，求解零状态响应就是求解系统初始状态为零的条件下的系统全响应。例例

系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值决定的初始值求出待定系数。

系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由为零决定的初始值求出待定系数。

求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即求解过程分析2.3.1冲激响应当系统的激励信号为单位冲激信号δ(t)时，系统的零状态响应称作单位冲激响应，简称为冲激响应，常用“h(t)”表示。冲激响应h(t)反映了系统的特性，同时也是利用卷积积分进行系统时域分析的基础。§2.3冲激响应与阶跃响应（1）抽样性

（2）奇偶性

（3）比例性

（4）微积分性质（5）冲激偶

（6）卷积性质

冲激函数的性质总结系统的冲激响应线性时不变系统的单位冲激响应，是指系统初始状态为零，激励为单位冲激信号作用下的响应，简称冲激响应，且用表示。2.3.2阶跃响应当激励信号e(t)为单位阶跃信号ε(t)，系统的零状态响应称作单位阶跃响应，简称阶跃响应，常用“g(t)”表示。

例§2.4卷积积分2.4.1卷积的定义例例2.4.2卷积运算的图形解释

用图解法直观，尤其是对于分段函数，用图形分段求出定积分限尤为方便准确。

例两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0t

0

时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限0，上限t

，t

为移动时间;0<t

3t

>3卷积结果例浮动坐标：下限上限t-3t-0t：移动的距离t=0f2(t-)

未移动t>0f2(t-)右移t<0f2(t-)左移-11浮动坐标两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0t

-1

时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限-1，上限t

，t

为移动时间;-1<t

1即1<t21<t

2即2<

t42<t

4即t>4t-3>1t

>4卷积结果[A,B][C,D][A+C,B+D]一般规律：-1+1卷积结果区间的确定例两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0t

-1

时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限-2，上限t-1，t

为移动时间;-1<t

11<t

33<

t

5t

>5卷积结果2.4.3借助冲激响应与叠加原理求解系统的零状态响应1、连续信号的时域分解2、利用卷积积分求解零状态响应

当系统在任意波形信号x(t)激励下的零状态响应y(t)。对于线性时不变系统来说，若系统的冲激响应为h(t)，则以下推理成立：将上式与卷积积分的定义式比较可以看出，系统在激励信号x(t)作用下的零状态响应为x(t)与系统冲激响应h(t)的卷积积分，即在一般情况下，由于激励信号与冲激响应都为因果信号，所以上式可写为这样对于一个系统（微分方程），它的零输入响应为微分方程的齐次解。而零状态响应可以通过求输入信号与冲激响应卷积的方法得到，这样可以避免当输入信号较复杂时，通过微分方程直接求解的困难。同时这种求解思想也是变换域系统分析的基础。例§2.4卷积积分的性质卷积的代数运算卷积的微分与积分函数与冲激函数的卷积卷积的时移特性1．交换律1、卷积的代数运算

交换律表明两函数在卷积积分时的次序是可以任意交换的。在图解法求卷积时，无论f1(t)和f2(t)中的那一个倒置都可以。对于不同情况，倒置不同的信号对解题的难度会有影响。n个信号相加作用于系统所产生的零状态响应，等于这n个信号分别作用于系统所产生的零状态响应之和。2．分配律系统并联，框图表示：

结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。系统并联3．结合律系统级联，框图表示：

结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。

系统级联图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应如图(b)所示。求复合系统的冲激响应，并画出它的波形。(a)(b)例2、卷积的微分与积分例

试求f(t)=ε(t)*ε(t)(1)根据卷积微积分性质，有(2)根据卷积积分的定义，有推广：3.函数与冲激函数的卷积——重现特性例例已知f1(t)与f2(t)波形如图，求f1(t)*f2(t)f1(t)*f2(t)=f1

(t)*[δ(t+2)+δ(t-2)]=f1

(t+2)+f1

(t-2)

也就是说，只需在每个冲激信号出现的位置处重画信号f1

(t)即可，卷积结果。例例例已知某系统激励信号x(t)=e-tε(t)，系统冲激响应h(t)=ε(t)-ε(t-2)，试求该系统的零状态响应。根据卷积的微分性质yzs(t)=x(t)*h(t)=x(-1)(t)*h’(t)=x(-1)(t)*[ε(t)-ε(t-2)]’=x(-1)(t)*[δ(t)-δ(t-2)]=x(-1)(t)-x(-1)(t-2)卷积的重现特性设单个脉冲信号f0(t)的波形如图a所示。另一个周期为T的周期性单位脉冲序列δT(t)如图b所示，其表达式为计算f0(t)与δT(t)的卷积积分，得例

已知一个周期信号fT(t)的波形如图所示，试写出fT(t)的函数表达式。周期信号fT(t)的周期为T=5，可将周期信号表示为常用信号的卷积公式4.卷积的时移特性例例例已知某线性非时变(LTI)系统的数学模型为y”(t)+7y’(t)+12y(t)=2x’(t)+3x(t)

已知：激励x(t)=2e-2tε(t)，初始状态：y(0-)=1，y’(0-)=2，试求：(1)系统零输入响应；

(2)系统的冲激响应；

(3)系统的零状态