第三章规则金属波导

第三章 规则金属波导2/4/2023规则金属波导及其特点规则金属波导的特征沿其轴线方向，它的横截面形状、尺寸，以及填充媒质的电参数和分布状态，均不变化的无限长的直波导。规则金属波导的场论分析金属波导管内的电磁场分析是典型的边值问题，属本征值问题；规则金属波导仅有一个导体，不能传播TEM导波；可以传播TE和TM导波，且存在无限多的模式，这些导模在传播中存在严重的色散现象，并具有截止特性；每种导模都具有相应的截止波长c（或截止频率fc

），只有满足条件c>（工作波长）或fc<f才能传输。2/4/20233.1矩形波导

矩形波导是横截面为矩形的空心金属管，如图所示。图中a和b分别为矩形波导的宽壁和窄壁尺寸。由于矩形波导不仅具有结构简单、机械强度大的优点，而且由于它是封闭结构，可以避免外界干扰和辐射损耗；因为它无内导体，所以导体损耗低，而功率容量大。在目前大中功率的微波系统中常采用矩形波导作为传输线和构成微波元器件。

2/4/20231、矩形波导的导模写出无源区域的Maxwell方程组1）、矩形波导的一般解上式称Helmholtz方程2/4/2023波导的一般解采用纵向分量法，其流图如下所示，横向场用纵向场分量表示纵向分量方程2/4/2023对于如图所示的矩形波导，由式（1.4－30），可得横—纵向场关系式有：2/4/2023由式（1.4－23），得纵向场Ez和Hz构成如下边值问题边界条件为：TE导波TM导波2/4/2023TEmodes应用分离变量法，可得Hz的基本解为

m和n为任意正整数，称为波形指数。任意一对m、n值对应一个基本波函数，这些波函数的组合，构成Hz的一般解：2/4/2023最后可得传输型TE导模的场分量为2/4/2023式中式中m和n分别代表场强沿x轴和y轴方向分布的半波数。一组m,n值代表一种横电波波型。由于m=0及n=0时所有场分量才为零，因此矩形波导中存在等波型。若，则模是最低次波型，其余波型为高次波型。2/4/2023TMmodes应用分离变量法，可得Ez的基本解为2/4/2023最后可得传输型TM导模的场分量为2/4/2023式中式中m和n分别代表场强沿x轴和y轴方向分布的半波数。一组m,n值代表一种横磁波波型，记作。由于m=0或n=0时所有场分量均为零，因此矩形波导不存在等波型，所以是最简单的波型，其余波型为高次波型。2/4/20232、导模的场结构导模的场结构是分析和研究波导问题、模式的激励以及设计波导元件的基础和出发点；导模的场结构导模在矩形波导横截面上的场呈驻波分布，m和n分别表示场量沿矩形波导宽壁和窄壁的半驻波数。整个导模以完整的场结构（场型）沿轴向（z向）传播。用电力线和磁力线的疏密来表示波导中电场和磁场的强弱，场结构便是波导中电力线和磁力线的形状与疏密分布；2/4/2023TE10场分布图所谓场分布图就是在固定时刻，用电力线和磁力线表示某种波型场强空间变化规律的图形。TE10模的场分量为

TE10模场强与y无关，场分量沿y轴均匀分布。各场分量沿x轴的变化规律为导模的场结构2/4/2023

矩形波导TE10模场分量的分布规律(a)场分量沿x轴的变化规律；(b)场分量沿z轴的变化规律；(c)矩形波导横截面上的场分布；(d)矩形波导纵剖面上的场分布.导模的场结构2/4/2023某一时刻TE10模完整的场分布如图所示，随时间的推移，场分布图以相速沿传输方向移动。矩形波导TE10模的场分布图导模的场结构2/4/2023矩形波导中TE和TM模场结构截面图2/4/20233、管壁电流研究波导管壁电流结构有着重要的意义：波导损耗的计算需要知道波导管壁电流；在实际应用中，波导元件的连接及通过在波导壁上开槽或孔以做成特定用途的元件，此时接头与槽孔的位置就不应破坏波导管壁电流的通路，否则将严重破坏原波导内的电磁场分布，引起辐射和反射，影响功率的有效传输；当需要在波导壁上开槽做成裂缝天线时，开槽就应切断管壁电流。矩形波导TE10模的管壁电流与管壁上的辐射性和非辐射性槽.2/4/2023管壁电流2/4/20234、矩形波导的传输特性TE波和TM波的传播常数1)、导模的传播条件对于传播模，应为实数。2)、导模的截止截止时，2/4/2023截止波长

截止波长不仅与波导尺寸a和b有关，而且与决定波型的m和n有关，截止频率还与介质特性有关。TE波和TM波的截止频率为截止条件可记为：因此，波导是一只高通滤波器，低频信号无法通过.矩形波导的传输特性2/4/2023当波导尺寸a和b给定时，将不同m和n值代入，即可得到不同波型的截止波长。其分布如图BJ-100型波导不同波型截止波长的分布图从图中可以看出，TE10模的截止波长最长，它右边的阴影区为截止区。矩形波导的传输特性2/4/20233)、模式简并现象

不同导模的截止波长相同现象

相同的波型指数m和n的TEmn和TMmn的截止波长相同，矩形波导的导模具有双重简并。4)、主模模——基模（1）通常矩形波导工作在TE10单模传输情况，因为TE10模容易实现单模传输。（2）当工作频率一定时传输TE10模的波导尺寸最小.矩形波导的传输特性2/4/2023（3）若波导尺寸一定，则实现单模传输的频带最宽。为了实现TE10单模传输，则要求电磁波的工作波长必须满足下列条件即当工作波长给定时，若要实现TE10单模传输，则波导尺寸必须满足矩形波导的传输特性2/4/20235)、波的传播速度和色散(1)相速和相波长相速是指导波系统中传输电磁波的等相位面沿轴向移动的速度。等相位面在一个周期T内移动的距离定义为相波长矩形波导的传输特性2/4/2023对于TE波和TM波，相速为相速（介质中的光速），相速并不是能量传播速度(2)群速这些多种频率成分构成一个“波群”，又称为波的包络，其传播速度称为群速。群速的关系式

矩形波导的传输特性2/4/2023群速、相速和光速三者的关系为：但，对于TEM波群速的定义式为矩形波导的传输特性2/4/2023(3)色散TE波和TM波的相速和群速都随波长而变化，即是频率的函数，这种现象称为“色散”。因此，TE波和TM波统称为“色散波”；而TEM波的相速和群速相同，且与频率无关，没有色散现象，故称为“非色散波”。

波导色散现象与基于媒质特性产生的色散现象不同。由于我们已假定波导中媒质是线性的，即不随频率而变化，所以波导中电磁波产生色散的原因是由波导系统本身的特性(即边界条件)所引起的。矩形波导的传输特性2/4/2023主模的波导波长

6)、波导波长

7)、波阻抗波阻抗定义为相互正交的横向电场与横向磁场之比矩形波导的传输特性2/4/2023对于TEM波，对于TE波和TM波，

传输状态截止状态

矩形波导的传输特性2/4/2023例某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺寸为25mm10mm

，当频率的电磁波进入波导中以后，该波导能够传输的模式是什么？当波导中填充介电常数的理想介质后，能够传输的模式有无改变？

解当内部为真空时，工作波长为截止波长为2/4/2023若填充的理想介质，则工作波长为因此，除TE10波及TE20波外，还可传输其它模式。计算表明，TE01，TE30，TE11，TM11，TE21，TM21等模式均可传输。因为，，更高次模的截止波长更短，可见，当该波导中为真空时，仅能传输的模式为TE10波。

2/4/2023例若内充空气的矩形波导尺寸为，工作频率为3GHz。如果要求工作频率至少高于主模TE10波的截止频率的20%，且至少低于TE01波的截止频率的20%。试求：①波导尺寸a及b；②根据所设计的波导，计算工作波长，相速，波导波长及波阻抗。解

①TE10波的截止波长，对应的截止频率为TE01波，对应的截止频率。求得，，取，。题意要求2/4/2023

②工作波长，相速，波导波长及波阻抗分别为

2/4/2023矩形波导TE10波型的等效阻抗TE10波型的波阻抗为：

ZTE10是一个很重要的参数。在同一波导里，应用它在研究波的反射、驻波、匹配，以及波导元件相对电纳等问题时，是不会有什么问题的；但在研究不同尺寸波导之间的连接问题时，由于波型阻抗与矩形波导窄壁尺寸b无关，因此，两个波导管的窄壁尺寸b虽不相同，只要它们的宽壁尺寸相同，则它们的波型阻抗相同；若仅根据波型阻抗相同(b不同)，而把两个波导管连在一起，在实际上就会产生反射。2/4/2023可见，在研究不同尺寸波导之间的连接问题时，为了把连接后的反射减到最小，而要引入等效阻抗的概念。为了求等效阻抗，应先求出等效电压U、等效电流I和传输功率P。对于TE10波型，通常是将波导横截面上，两宽壁中心线之间的电场强度的线积分作为等效电压；把宽壁内表面上总的纵向电流作为等效电流。即：根据等效电压U、等效电流I和传输功率P，可分为三种情况定义等效阻抗：2/4/2023用等效电压U和等效电流I定义等效阻抗Ze：用等效电压U和传输功率P定义等效阻抗Ze：2/4/2023对于等效阻抗的三种表示方法，可以任选其中其中的一种，但在同一问题中只能采用一种，否则会带来很大的误差。用等效电流I和传输功率P定义等效阻抗Ze：2/4/2023在讨论波的反射、驻波、匹配等问题时，利用等效阻抗的概念，随比利用波型阻抗能较好地解决一些问题，但也只能得出一些近似的结果，即这种方法并不是一种严格的计算方法。在实际问题中，往往只需要知道阻抗之间的相对值，因此，为了计算方便，常将上述的三种等效阻抗公式中的系数去掉，因此可得等效阻抗为：2/4/20238)、矩形波导中传输功率和功率容量(1)传输功率在行波状态下，传输的平均功率矩形波导的传输特性2/4/2023xzy0abds当传输TE10模时，

矩形波导的传输特性2/4/2023波导中填充空气介质时，(2)功率容量波导中最大承受的极限功率称为波导的功率容量。行波状态下波导传输TE10模的功率容量在空气中的击穿场强矩形波导的传输特性2/4/2023实际传输线上总有反射波存在。在行驻波状态下，矩形波导传输TE10模的功率容量应修正为为了留有余地，波导实际允许传输的功率一般取行波状态下功率容量理论值的25%～30%。矩形波导的传输特性2/4/20239)、传输功率及损耗导波系统所传输的电磁波平均功率

矩形波导的传输特性实用矩形波导常以TE10模工作，其2/4/2023于是矩形波导TE10模的传输功率为若|E10|以空气的击穿场强Ebr=30kv/cm代入,可得矩形波导TE10模的脉冲功率容量为2/4/2023实际中，由于导波系统的电导率是有限的，且所填充的介质也是非理想的，所以实际的导波系统都存在着导体损耗和介质损耗。因而电磁波在传输过程中，其振幅会逐渐减小，也就是说存在功率损耗，这种损耗应根据具体情况来计算。2/4/2023矩形波导的传输特性衰减是指波在传输过程中，其幅值或功率不断减小的现象。有两种情况，一是当>c时，传播常数为实数，波沿轴线方向无相位变化，而幅度则指数规律衰减，波导已不能传输能量，此时的场称为消失(衰减)场。这种损耗不是由于能量损失引起的，而是不满足传输条件的原故，称为截止式衰减。另一种是，由于波导壁并非理想导体，高频电流在其上流过时会产生损耗，且波导中介质也有损耗，从而引起导行波的衰减。这里讨论的就是指后一种情况的衰减。当考虑损耗时，传播常数为：衰减和损耗c和d分别表示波导壁和波导中介质引起的衰减常数。2/4/2023矩形波导的传输特性

c的计算(导体引起的损耗)设在规则波导中，参考面z=0处的输入功率为P0，则与该处相距单位长度处横截面上的输出功率为：因此单位长度损耗的功率及c的计算式为：2/4/2023

PL的计算

设在波导内壁表面上的微分面元为dS=dldz，dl和dz分别是沿波导横截面的周界和沿z方向的微元长度。在该微分面元损耗的功率为：由此得到单位长度的损耗功率为：式中是波导壁的高频表面电阻；H是波导表面的磁场切向分量。2/4/2023由此得到c的计算式：代入相应的场量关系，进过一系列计算后，得到各模式的c：ZW：波形阻抗，定义为与的比值。2/4/20232/4/2023例计算矩形波导中传输TE10波时，波导壁产生的衰减。

解已知当矩形波导传输TE10波时，波导宽壁上的电流具有x

分量及z

分量，而窄壁上只有y分量。因此，单位长度内，宽壁上的损耗功率为式中单位长度内窄壁上的损耗功率为式中zyx2/4/2023再算出传输功率P，即可求得TE10波衰减常数为则单位长度内总损耗功率为2/4/2023在波导中填充的介质造成热损耗的原因：实际介质并非理想(0)，因而存在传导电流引起的损耗；由于介质中的电子或原子具有一定质量和惯性，在微波电磁场的作用下，很难随之同步振荡，而在时间上有滞后现象，对简谐场而言，表现为相位滞后，及D与E的关系中不再是纯实数，而是一个复数。这两种情况均可利用复数介电常数来表示，因此，复数传播常数可写为：d的计算(介质引起的损耗)2/4/2023实际上大部分介质材料的损耗都很小(损耗正切tan<<1)，所以这个表示可用台劳级数的前两项来简化为：对于无耗介质，由此得到均匀有耗介质的介质衰减常数为：2/4/2023通常波导中填充空气介质，其损耗极小，因而我们主要考虑波导壁上的损耗。矩形波导TE10波的衰减常数c及各种波型衰减的比较如图所示。2/4/20235、矩形波导的截面尺寸选择传播主模TE10模的波导截面尺寸条件综合考虑抑制高次模，损耗小和传输功率大等条件，一般选择波导尺寸确定后，不出现高阶模，工作波长范围2/4/2023以矩形波导为例，尽管在z方向它们只可能是入射波加反射波，但是由于横向边界条件，它们由TEmn和TMmn波组成并且它们只能由TEmn和TMmn波组成(后者，我们称之为完备性)，矩形波导中这些波的完备集合——即简正波。任何情况的可能解，只能在简正波中去找，具体场合所不同的仅仅是比例和组合系数，事实上，这样就把求复杂场函数的问题变换成求各个模式的系数。6、关于简正波的讨论2/4/2023

矩形波导的求解是典型的微分方程法，通解表明：在z方向它有广义传输线功能，即是入射波和反射波的迭加；在xy方向由于边界条件限制形成很多分立的TEmn波(Ez=0)和TMmn波(Hz=0)。在物理上称之为离散谱。有限边界构成离散谱。

m—x方向变化的半周期数；

n—y方向变化的半周期数。矩形波导中TE波和TM波的全部集体构成简正波。

2/4/20231.完备性矩形波导中不论放置什么障碍物和边界条件，它们里边存在的是TEmn和TMmn模式，而且，它们也只能存在TEmn和TMmn模式，具体情况所不同的仅仅是各种模式的比例与组合。2.正交性简正模中各个模式是相互正交的，也就是说，它们之间没有功率和能量交换，即各模式相互独立，在Fourier分析中表明2/4/2023保证了每一模的独立性。

3.传输模和雕落模由于频率的选择，每一种模都有可能成为传输模或雕落模。2/4/2023截止波数传输模凋落模2/4/2023主模TE10模小结2/4/20232/4/2023TE10波表达式，是以为领矢矢量的。然而，在实用上也常有用作领矢矢量2/4/2023最终得到2/4/2023

(2)Pbr与有关设00.50.91.01f(x)x很明显，x愈接近1则功率容量愈低，且x<0.5会出现其它模式。功率容量2/4/2023在电磁理论中已经讲过波导管壁的传导电流分布是由管内磁场的切向分量所决定。HtJsn2/4/20232/4/2023在波导中凡是切断电流的都要引起辐射和损耗，所以，波导与法兰的连接一定要密切配合。2/4/2023一般认为波导空间(AirSpace)是无耗的，所谓衰减是指电流的壁损耗。假定P0是理想导体波导的传输功率，则单位长度内的功率损耗在波导内表面壁ds=dldz上衰减功率2/4/2023xzy0dzdlJsm——表面电流密度；Rs——表面电阻2/4/2023而输入功率0fαb=0.1ab=0.5a2/4/2023［例1］BJ-100波导，a×b=22.86×10.16mm2，求单模传输的波长范围和频率范围。［解］已经知道单模传输条件是λcmn＜λ＜2a2/4/2023十分明显，第二模式是λc20=22.86mm。因此，单模传输2/4/20233.2圆形波导

圆波导是横截面为圆形的空心金属管，如图所示，其尺寸半径为R。1.圆波导的提出来自实践的需要。例如，雷达的旋转搜索。如果没有旋转关节，那只好发射机跟着转。象这类应用中，圆波导成了必须要的器件。以后要用到的极化衰减器，多模或波纹喇叭，都会应用到圆波导。可以这样说,几何对称性给圆波导带来广泛的用途和价值2/4/20232.从力学和应力平衡角度，机加工圆波导更为有利，对于误差和方便性等方面均略胜矩形波导一筹。

3.根据微波传输线的研究发现：功率容量和衰减是十分重要的两个指标。这个问题从广义上看引出一个品质因数F很明显，在相同周长的条件下，圆面积最大。2/4/20234.矩形波导中存在的一个矛盾当我们深入研究波导衰减，发现矩形波导中TE10模频率升高时衰减上升很快。仔细分析表明，衰减由两部分组成：一部分称纵向电流衰减，另一部分是横向电流衰减。当频率升高时，横向电尺寸加大，使横向电流衰减反而减少。这样所构成的矛盾因素使衰减有了极小值，极小值之后形成频率升高时衰减增加。而以后在圆波导中将会发现，有的波型(圆波导中H01波型)无纵向电流，因此，若采用这种波型会使高频时衰减减小。0fαb=0.1ab=0.5a2/4/2023圆波导H01波衰减矩形波导TE10波衰减0f0fαα纵向电流横向电流横向电流αmin2/4/2023圆波导具有轴对称性，故宜采用圆柱坐标来分析。由于圆波导具有损耗较小和双极化的特性，所以常用作天线馈线和微波谐振腔，也可作较远距离的传输线。2/4/2023由横—纵向场方法，可得纵向场分量满足如下亥姆霍兹方程：

一、圆形波导的导模1.圆形波导一般解如图所示,在圆柱坐标2/4/2023以TE波作为例子，这时Ez=02/4/2023

有限条件：有限性

周期性：

理想导体条件：切向分量为零其解分别是其中c1，c2，c3，c4为常数。m=0，1，2，…为整数。边界条件：m阶诺依曼函数2/4/2023本征解2.纵向分量法利用纵向分量表示横向分量2/4/20232/4/2023边界条件TE导波TM导波2/4/2023令为贝赛尔函数导数的根，本征值二、TE波场分量表达式2/4/2023圆波导中TE波截止波长值波型H11H21H01

1.8413.0543.832

3.41a2.06a1.64a

2/4/2023应用分离变量法，并考虑到边界条件及Bessel函数的渐进性质，可得各TE模式的纵向场分量分别为：TE模(TEModes)2/4/2023

式中，为的根。第一类贝塞耳函数及其导函数曲线如图所示。结果表明，圆波导中可以存在无穷多种TE导模，以TEmn表示。场量沿圆周和半径方向都呈驻波分布，而且，沿圆周按三角函数规律分布，沿半径按贝塞耳函数或其导数规律分布。m除表示贝塞耳函数的阶数2/4/2023

之外，同时还表示场量沿圆周分布的整驻波个数；n除表示贝塞耳函数或其导数的根的序号之外，同时还表示场量沿半径分布的半驻波个数(即场量出现最大值的个数)。截止波长和截止频率波阻抗与传播常数：2/4/2023完全类似，用边界条件确定kc在r=a处,Ez=0也即设第一类Bessel函数m阶第n个根为umn，则即可得到

三、TM波场分量表达式2/4/2023其中是的根。b.TM模(TMModes)2/4/2023结果表明，圆波导中可以存在无穷多种TM导模，以TMmn表示。波形指数m、n的意义与TEmn相同。截止波长和截止频率波阻抗与传播常数：2/4/2023圆波导TM波截止波数kc

波型E01E11E212.4053.8325.1352.62a1.64a1.22a2/4/2023基本结论：圆波导中导模的传输条件是c>或fc<f；导模的截止也是由于消失模的出现。圆波导中的导模存在两种简并现象：一种是TE0n模与TM1n模简并，即有cTE0n=cTM1n;另一种是m0的TEmn或TMmn模的极化简并。圆波导的主模是TE11模，其截止波长最长，cTE11＝3.14a；几种典型波型截止波长分布如图所示.2/4/2023

1.圆波导中TE波和TM波有无限多个n=0表示第0个根，也即，也即TEm0，TMm0波不存在。但是它却可以存在TE0n，TEmn，TM0n和TMmn波，其中m=0表示在圆周方向不变化。2.TE波截止波长取决于m阶Bessel函数导数第n个根

TM波截止波长取决于m阶Bessel函数第n个根四、圆形波导的简并2/4/20233.圆波导中的两种简并1)极化简并——即和两种，相互旋转90°

圆波导波型的极化简并，使传输造成不稳定，这是圆波导应用受限制的主要原因。0a2a3a4alcHE0111H21E01H11Cut-offRegion圆波导的截止与传播区域2/4/2023即对同一

n、i而言，场沿

j方向(圆周方向)分别存在着sinnj和cosnj两个线性无关的独立成分，但其lc相同，传播特性相同,只是极化面旋转了90°，这种简并称为极化简并。当n=0时，sin

nj

=0,其模式在j

方向(圆周方向)无变化。故而，在园波导中，除TE0i、TM0i模外，其余模都存在极化简并。这种简并在园波导中很难避免，给实际应用带来一些困难。当n时，2/4/20232）E1n和H0n（简并）（截止波长λc相同）这是因为Bessel函数有递推公式取n=0，有和矩形波导不同，由于TE，TM截止波长的不同物理意义，TEmn和TMmn不发生简并4.波型指数m，n的含义

m代表沿圆周φ分布的整驻波数n代表沿半径r分布场的最大值个数;因为Hon是的第n个根，E1n是J1的第n个根，很显见，这两类波型将发生简并。2/4/2023

TE11模的场分布如图所示。其中图(a)表示横截面上的电磁场分布；图(b)表示纵剖面上的电场分布；图(c)为圆波导壁上的壁电流分布。圆波导中三种主要波型，即TE11模，TM01模TE01模。

1.传输主模——TE11模在圆波导中，H11模截止波长最长，λc=3.412a，是最低型波也即传输主模。五、圆形波导中三种主要波型2/4/2023H11模中的m=1，n=1，=1.8412/4/2023m=1n=1090180270360ooooojErEj0RrJ`1rEraE==¯==00

jjmaxjjjj=°==°®=°==°®-00901800270

EEEErrrrmaxmax2/4/2023与矩形波导TE10模场结构相似，因此圆波导TE11模可由矩形波导TE10模来激励。如图所示。存在极化简并，所以一般情况下不宜采用TE11模来传输微波能量和信号。利用TE11模的极化简并可以构成一些双极化元件。TE11模特点2/4/20232、低损耗TE01模()TE01场结构具有轴对称性，在波导内表面上只有表面电流J,而没有纵向电流，因此导体损耗较小，使其适宜于作微波长距离低损耗传输与高Q值圆柱谐振腔的工作模式。由于TE01模不是圆波导的主模，而且又与TM11互为简并波型，因此使用时需设法抑止其它的低次模传输。半径为25mm的铜质圆波导的衰减常数曲线：2/4/2023

TE01模的场分布如图所示。其中图(a)表示横截面上的电磁场分布；图(b)表示纵剖面上的电磁场分布；图(c)为壁电流的分布。

TE01模常作为高Q谐振腔和远距离的毫米波传输线的工作模式。另外由于它是圆电模，也可作为连接元件和天线馈线系统的工作模式。但由于它不是主模，因此该模式作为工作模式时，必须设法抑制其它模式。2/4/2023场方程是截止波长2/4/2023m=0

圆对称在方向不变n=1EHrJxxRrraarj,()......沿方向有一最大值在有极大值116413832164116413832048===»E,Hjr0r0.48aaHz0r0.48a

2/4/2023可见电流只有—φ方向分量，也即H01模壁电流只有横向分量，衰减α随f上升而下降为了揭示H01的小衰减特点，让我们考察其壁电流2/4/20233、圆对称TM01模（）圆波导的最低横磁模，是圆波导的次主模，没有简并。由于TM01的场结构具有轴对称性，而且易于与矩形波导中的TE10模发生耦合，因此，在具有旋转连接的馈线中常用到这种型。如图所示。2/4/2023TM01模的场分布如图所示。其中图(a)表示横截面上的电磁场分布；图(b)表示纵剖面上的电磁场分布；图(c)为壁电流的分布。TM01模适用于微波天线馈线旋转铰链的工作模式。由于它具有Ez分量，便于和电子交换能量，可作电子直线加速器的工作模式。但由于它的管壁电流具有纵向电流，故必须采用抗流结构的连接方式。2/4/2023其场方程为2/4/2023E01模的m和nm=0轴对称型沿方向场分量不变n=10jE,HrjEz00rr0.765RRJ`(x)0J(x)0R

2/4/2023旋转关节(RatationJunction)由于E01波的特点，常作雷达的旋转关节，见图所示2/4/2023作为比较所以，H01波可以做高Q谐振腔和毫米波远距离传输。2/4/20230faE01H11H012/4/2023为TE11波的截止频率TE11波衰减极值点：TM01波衰减极值点：0faE01H11H012/4/2023圆波导波型设计H11模E01模H01模lllllllCECHRaaa0111341262262a34113＜＜＜＜＜＜一般选

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2/4/20232/4/2023圆波导复习圆波导具有轴对称性，故宜采用圆柱坐标来分析。1.圆形波导一般解横—纵向场方法2/4/2023以TE波作为例子，这时Ez=0本征解2/4/2023

有限条件：有限性

周期性：

理想导体条件：切向分量为零边界条件：2/4/2023TE波场分量表达式截止波长和截止频率波阻抗与传播常数：2/4/2023TM波场分量表达式截止波长和截止频率波阻抗与传播常数：2/4/2023基本结论：圆波导中导模的传输条件是c>或fc<f；导模的截止也是由于消失模的出现。圆波导中的导模存在两种简并现象：一种是TE0n模与TM1n模简并，即有cTE0n=cTM1n;另一种是m0的TEmn或TMmn模的极化简并。圆波导的主模是TE11模，其截止波长最长，cTE11＝3.14a.由于场的极化方向具有不确定性使波导在Ф方向可能存在cos或sin两种可能的分布。二者独立存在，相互正交，具有相同的截止波长—极化简并。2/4/2023圆形波导中三种主要波型2/4/20232/4/20232/4/20232/4/2023 同轴线是一种典型的双导体传输系统,是最常见的TEM模传输线。它分为硬、软两种结构。硬同轴线是以圆柱形铜棒作内导体,同心的铜管作外导体,内、外导体间用介质支撑,这种同轴线也称为同轴波导。 软同轴线的外导体是铜丝网,在内、外导体间用介质填充,外导体网外有一层橡胶保护壳,这种同轴线又称为同轴电缆。 早先认为同轴线是TEM传输模式，研究业已结束。当我们把精力转向矩形波导、圆波导时，人们又突然想到既然在波导中可以存在无穷多种模式，那么同轴线为什么就不行呢？于是，又对同轴线打——“回马枪”。同轴线与波导不同，它有着中心导体，其主模均是TEM模。3.3同轴线2/4/2023a、同轴线为图示双导体系统，因而其中既可存在TEM波，又可存在TE、TM波。b.TEM波是工作波型，它没有截至现象，其传输不受频率限制。当同轴线的横向尺寸过大时，同轴线中除了传输TEM

波之外，还将出现高次模，通常这是不希望的。因此，为了保证TEM波的单模传输，必须确定高次模中截止波长最长的模。2/4/20231、同轴线传输主模—TEM模(1)TEM模的场分量和场结构

同轴线传输的主模是TEM模，这种模将TEM模横向分布函数满足的二维拉普拉斯方程：同轴线中TEM模的场结构如图2/4/2023TEM模的场分量和场结构从，引入位函数又2/4/2023势满足拉普拉斯方程边界条件令2/4/2023不随φ变化2/4/20232/4/2023(2)同轴线中TEM模的特性参量对于同轴线中的TEM模，

相移常数为:相速与光速的关系为:特性阻抗为:波导波长为：2/4/20232、E波的截止波长

由横—纵向场方法，可得纵向场分量满足如下亥姆霍兹方程：边界条件为：应用分离变量法，并考虑到边界条件，可得各模式的纵向场分量分别为：在同轴线中，除传输TEM主模外，还可能传输高次模—TE模和TM模。但在实际应用中，同轴线是以TEM模工作的。2/4/2023

（1）式称为同轴线E波的特征方程。由此可解出kc。kc的解有无穷多个，每个对应一个波型和一个截止波长。（1）式是超越方程，严格求解很困难，一般用图解法或数值法或解析近似法求解。以解析近似法为例，当宗量|x|>>1时，由Bessel函数和Neuman函数的渐进性质，可得2/4/2023由此可得：3、H波的截止波长用类似的方法可得H波的特征方程为：最低次E01模的截至波长对m=0的情况，利用Bessel函数的导数关系，有：2/4/2023此式与m=1时E波的关系式相同，于是：对m0的情况，要用数值方法求解，其近似解为：最低次H11模的截至波长：2/4/20234、单模传输条件由以上可以看出，同轴线中截止波长最长的波是H11波。因此，为了保证同轴线单模传输，必须使H11波截止，即使工作波长2/4/2023设计同轴线需选择它的内、外导体半径a和b。并考虑以下几个因素：在工作频带内，保证工作波型TEM的单模传输；功率容量要大；损耗要小。5、同轴线尺寸选择同轴线只传播TEM模，最低次导模为TE11模，截止波长最大，应满足6、同轴线的应用问题2/4/2023

同轴线的功率容量受介质材料击穿电场强度的限制，为此先求出极限功率Pbr和介质的击穿场强Ebr之间的关系。设同轴线内、外导体之间的电压幅度为Vm，则传输功率为：计算极限功率Pbr

Vm可通过同轴线中TEM的电场强度的幅度Em来计算：代入同轴线的特性阻抗，得2/4/2023

当同轴线中的最大电场强度达到击穿场强Ebr时，功率P达到极限值。由最后得若填充介质为空气，则在介质一定的情况下，Pbr与a和b有关。如果，令b不变，只改变a令若填充介质为空气，则相应于该尺寸的同轴线的特性阻抗约为2/4/2023

R为同轴线单位长度的电阻：同轴线的衰减常数为：

计算同轴线的衰减常数

最后得由上面可以看出，获得最大功率容量和最小衰减的条件并不相同，如果两者兼顾，可取b/a=2.303。此时衰减比最佳值约大10％，功率容量比最大值约小15％。这时的特性阻抗为50（以空气填充为例，硬同轴线）。在微波波段，同轴线的特性阻抗常取50和75两种。由

可得2/4/2023 实际使用的同轴线的特性阻抗一般有50Ω和75Ω两种。50Ω(b/a=2.3)的同轴线兼顾了耐压、功率容量和衰减的要求,是一种通用型同轴传输线；75Ω的同轴线是衰减最小的同轴线,它主要用于远距离传输。2/4/2023用同轴线作传输能量的传输线时，高次模有害，应当避免。但同轴线中的高次模有时是有用的。图示为一种应用了同轴线中高次模的复合馈源，其内导体是传输TE11模的圆波导管，同时它又与外导体一起构成了一端短路的同轴线。该馈源用圆波导中的H11模激励，只要短路同轴线的长度l、同轴线内、外导体直径1、2选择得合适，口面处圆波导的H11模叠加形成的口径场，可使馈源的方向图形状和张角十分接近抛物面天线所需要的理想馈源方向图。2/4/20232/4/2023正规模的定义： 均直无耗金属波导中的TE模 和TM模。 包括无穷多个结构不同的TEmn和TMmn模式，彼此相互独立，单独存在，也可同时并存→麦克斯韦方程的两套基本的独立解。波导正规模的重要特性对称性正交性完备性3.4波导正规模的特性2/4/2023对称性： 正规模的电场和磁场对时间和距离具有对称函数和反对称函数a.正规模的电场和磁场波函数对时间t分别为对称函数和反对称函数，即有：

或b.正规模的电场和磁场的波函数关于纵坐标z的对称性。横向电场Et与纵向磁场Hz是坐标z的对称函数；横向磁场Ht与纵向电场Ez是坐标z的反对称函数，即有下标1为＋t的场，下标2为－t的场，2/4/2023如果时间t和传播方向（即坐标z）同时变换符号，则电场和磁场应同时满足以上几式，对称性则变成：下标1为＋z方向的场，下标2为－z方向的场，下标i为模式指数，i＝{m,n}2/4/2023结论：正规模的电场和磁场的横向分量或纵向分量相互同相，而横向分量与纵向分量成90°相位差。故对于正规模，是传输能量。c.对于截止模，不存在变换z的符号问题，只有时间对称关系：

可见Ei是实数，而Hi是虚数，两者相位差90°。故对于截止模或消失模，不是传输能量，而是虚功，是储能。正规模的对称性是麦克斯韦方程对称性和规则波导本身对称性的必然结果。

2/4/2023正交性：正交性是正规模的一种基本特性。在确定组成波导中的电磁场各模式的系数时，都必须应用正规模的正交特性。两个模式之间有能量交换称为“耦合”，没有能量交换为“无耦合”或“正交”。本征函数具有正交特性本征函数表征波导的正规模也就具有正交特性。2/4/2023

定理1：设i和j是规则波导中第i个和第j个TE模或TM模的纵向场分量，其kc值分别为kci和kcj，当kcikcj时，恒有

式中S是规则波导的横截面。该定理表明，两个非简并的TE或TM模的纵向场分量正交。如果两个模简并，即kci＝kcj，则应取上述模简模的适当线性组合，例如取i＝i、j＝j＋j，形成亚模i和j

，只要取待定常数为：则亚模i和j

正交。因此，在一般讨论中，假定kcikcj，并不影响最后结论。2/4/2023

定理2：编号为i和j的两个不同的TE模或TM模的横向电场分量，以及一个TM模和一个TE模的横向电场分量相互正交。即

式中上角标e表示TM波、m表示TE波2/4/2023

定理3：编号为i和j的两TE模或TM模的横向磁场分量，以及一个TM模和一个TE模的横向磁场分量相互正交。即

式中上角标e表示TM波、m表示TE波

定理4：在无耗波导中，若存在几个非简并的传输模，则这些传输模所传输的总功率等于每个模单独存在时传输的功率之和。即非简并的模之间没有功率耦合，具有功率正交性。

2/4/2023(5)模式间正交(6)模式函数正交性 推广为 （归一化）2/4/2023完备性 如前所述，波导正规模是本征函数的乘积，而本征函数系是完备的，所以正规模必然是完备的。

波导中的任意电磁场都可以用正规模叠加来代表，即用正规模的展开式来表示。2/4/2023波导中的任意电磁场的横向场可以表示为（沿正z方向传播情况）：系数和可用正交关系像确定傅立叶级数的系数那样来确定。和可以属于TE模或TM模。

令2/4/2023则上式还可写为式中和称为第i模式的模式电压和模式电流。当波导中传输任意场时，所传输的总功率为2/4/2023结果表明，波导中传输任意场时的总功率等于每个正规模所携带功率之总和，而各模式之间没有能量耦合。正如前面所讨论的色散导波系统，如矩形波导或圆波导.其TE和TM模的场解为：而场解的分量可能存在的完备形式为：2/4/2023具体TEmn和TMmn的场分量2/4/20233.5不均匀性引起模式耦合正交性→只存在于均直无耗传输系统中不均匀性→引起模式之间的能量耦合。不均匀性→z方向上横截面发生变化→截面边界条件的改变，或者局部引入介质等。矩形波导为例，其交叉功率2/4/2023或，有I＝0→三角函数的正交性三角函数在积分区间取波导截面的整个区域和时才成立→均匀波导→正交性不均匀性，假设宽边两侧种插入一片金属薄片，在不均匀区即a→a‘a‘2/4/2023

因为交叉功率的积分I中对的积分区域由a变为a’，这样，即使模式标号的两个不同模式，I中对x的积分也不一定等于零了，因此，m1≠m2，n1≠n2的不同模式之间就不一定正交。→由于金属片的插入，使得模式标号m不同的模式之间可能发生能量的交换→原来边界条件下的正交本征函数对于新的边界条件不再正交了，因此就出现了模式之间的耦合。 在均匀区，导波系统