第三章误差理论

第三章

测量误差理论及其处理基础§3.1测量误差概述§3.2偶然误差的特性§3.3衡量精度的指标§3.4误差传播定律§3.5等精度直接观测平差§3.6不等精度直接观测平差2/4/20231长安大学地测学院

◆测量与观测值

◆观测与观测值的分类

●观测条件

●等精度观测和不等精度观测

●直接观测和间接观测

●独立观测和非独立观测§3.1测量误差概述测量即将物理量与作为单位的量比较，求出其相对于单位量的数值过程。一次测量过程称观测，得到的数值称观测值或观测结果。●

观测误差与模型误差2/4/20232长安大学地测学院

一、测量误差产生的原因●测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等

●

测量误差的表现形式

●

测量误差（真误差=观测值-真值）（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）2/4/20233长安大学地测学院例：误差处理方法

钢尺尺长误差ld

计算改正

钢尺温度误差lt

计算改正

水准仪i角误差

操作时抵消(前后视等距)

经纬仪视准轴误差C

操作时抵消(盘左盘右取平均)

…………2.系统误差

——误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。●系统误差可以消除或减弱。

(计算改正、观测方法、仪器检校)二、测量误差的分类：1.粗差(错误)——超限的误差。不允许出现在测量结果中。2/4/20234长安大学地测学院3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。

例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。三、测量误差的处理原则

多余观测

四、测量平差2/4/20235长安大学地测学院举例:

在某测区，等精度观测了358个三角形的内角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i

进行分析。

分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。§3.3偶然误差的特性2/4/20236长安大学地测学院2/4/20237长安大学地测学院用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律

图3-1误差统计直方图2/4/20238长安大学地测学院◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。

3.偶然误差的特性(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率大(聚中性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的频率大致相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零

(抵偿性)：2/4/20239长安大学地测学院偶然误差具有正态分布的特性当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小(d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。图3-2误差频率直方图2/4/202310长安大学地测学院§3.2衡量精度的指标准确度（外部精度）测量成果与真值接近的程度系统误差越小，准确度越高一、精度的概念:精密度（内部精度）观测值之间的离散程度

偶然误差越小，准确度越高精度是准确度与精密度的统称，无系统误差时二者统一2/4/202311长安大学地测学院1.方差与中误差

由正态分布密度函数式中、为常数；

=2.72828…x=y正态分布曲线(a=0)令：

，上式为：二、衡量精度的指标2/4/202312长安大学地测学院标准差的数学意义表示的离散程度x=y较小较大称为标准差：上式中，称为方差：2/4/202313长安大学地测学院测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。中误差:观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形：上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：i=i-

X2/4/202314长安大学地测学院P123表5-22/4/202315长安大学地测学院

m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离散，其精度较低：

m1=2.7是第一组观测值的中误差；

m2=3.6是第二组观测值的中误差。2/4/202316长安大学地测学院2.容许误差(极限误差)

根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：

将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7测量中，一般取三倍中误差(3m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|2/4/202317长安大学地测学院

3.相对误差(相对中误差)

——误差绝对值与观测量之比。

用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。

K2<K1，所以距离S2精度较高。例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=200米,m1=0.02m；S2=1000米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=———

20010000100050000解：2/4/202318长安大学地测学院一.一般函数的中误差令的系数为，(c)式为：由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得对(a)全微分：(b)设有函数：为独立观测值设有真误差，函数也产生真误差(a)§3.4误差传播定律2/4/202319长安大学地测学院对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)对K个(e)式取总和：(f)2/4/202320长安大学地测学院(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)由偶然误差的抵偿性知：(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：<<前面各项即(h)2/4/202321长安大学地测学院(h)考虑，代入上式，得中误差关系式：(3-26)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。2/4/202322长安大学地测学院

通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：

1.列出函数式；2.对函数式求全微分；3.套用误差传播定律，写出中误差式。2/4/202323长安大学地测学院1.倍数函数的中误差

设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式例：量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：解：列函数式求全微分中误差式二.几种常用函数的中误差

2/4/202324长安大学地测学院2.线性函数的中误差

设有函数式

全微分

中误差式例：设有某线性函数其中、、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。解：对上式全微分：由中误差式得：2/4/202325长安大学地测学院

函数式全微分中误差式3.算术平均值的中误差式

由于等精度观测时，，代入上式：得由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。2/4/202326长安大学地测学院4.和或差函数的中误差

函数式：

全微分：

中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。

解：

2/4/202327长安大学地测学院观测值函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

2/4/202328长安大学地测学院误差传播定律的应用用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差m15。例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ƒ=(1+2+3)-180解：由题意：2m=15,则m=7.5每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：2/4/202329长安大学地测学院误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度

基本公式：

求全微分：

水平距离中误差：

其中：

2/4/202330长安大学地测学院误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(2)测量高差的精度基本公式：

求全微分：

高差中误差：

其中：

2/4/202331长安大学地测学院误差传播定律的应用例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为求该正方形的周长S和面积A的中误差.解:(1)周长,(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.

面积,

周长的中误差为全微分:面积的中误差为全微分:2/4/202332长安大学地测学院解:(1)周长和面积的中误差分别为例3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.

(2)周长;周长的中误差为面积得周长的中误差为全微分:但由于2/4/202333长安大学地测学院▓观测值的算术平均值(最或是值)▓用观测值的改正数v计算观测值的中误差(即:白塞尔公式)§3.5同（等）精度直接观测平差2/4/202334长安大学地测学院

一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)

证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==1+2+···+nnn上式等号两边分别相加得和：L=2/4/202335长安大学地测学院当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均

值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L≈X2/4/202336长安大学地测学院观测值改正数特点二.观测值的改正数v：以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数v，符合[vv]=min的“最小二乘原则”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)特点1——改正数总和为零：对上式取和：以代入：通常用于计算检核L=nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特点2——[vv]符合“最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-=0x=n2/4/202337长安大学地测学院精度评定

比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：精度评定——用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：2/4/202338长安大学地测学院证明如下：真误差：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平方和由上两式得其中:2/4/202339长安大学地测学院证明两式根号内相等中误差定义:白塞尔公式:2/4/202340长安大学地测学院解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:次数观测值VVV备注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245[V]=0[VV]=60764245±1.742/4/202341长安大学地测学院距离丈量精度计算例算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。2/4/202342长安大学地测学院§3.6不同精度直接观测平差一、权的概念权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。1