第二章压弯杆件

第二章压弯杆件§2-1概述1．有关基本概念实际工程结构中，很少有理想轴心受压的情况，较为常见的是压弯杆件。压弯杆件的几种常见情况：图(a)是偏心受压杆的等效形式；图(b)中杆中弯矩是由横向力引起的；图(c)是两杆端偏心距不同，引起两杆端弯矩大小不等；

(2)强轴与弱轴：抗弯刚度大的形心轴称为强轴，小的则称为弱轴。处于三维空间的杆件，较易绕弱轴发生弯曲，如图所示。(3)单向弯曲杆件：若压弯杆件至少有一个纵向对称面，弯矩作用在对称面上，称为单向压弯杆件；双向压弯杆件：无纵向对称面，或虽有一个纵向对称面，但弯矩偏离纵向对称面，将引起压弯杆件两个方向的弯曲，称为双向压弯杆件。本章仅研究单向压弯杆件。(4)压弯杆件的稳定问题，属于极值点失稳。压弯杆件的极限承载力，有时取决于失稳破坏(稳定性问题)，有时取决于材料破坏(强度问题)，具体情况与杆件长细比有关。2．压弯构件的强度条件按材料力学，压弯杆件横截面上正应力的强度条件是，或，，即，。式中：W=I/ymax，为抗弯截面系数；Ns=Afy，M=0时截面轴力的弹性极限；Ms=Wfy，N=0时的弹性极限弯矩。3．偏心受压混凝土柱的破坏

图中abcd是偏心受压混凝土柱破坏时的N-M实验曲线。ob直线：长细比为lo/ho8的短柱，

纵向弯曲影响小，发生强度破坏，

极限荷载是No；(2)oc曲线：lo/ho=8~30的长柱，纵向弯曲

的影响逐渐增大，极限荷载N1<No，

但仍是强度破坏的特征；(3)oe曲线：lo/ho>30的细长柱，极限荷载

N1<<No，此时截面内应力远小于材料

强度，属于失稳破坏。

混凝土结构中，一般不采用细长柱，所以一般为强度破坏。4．钢结构中偏心受压柱的破坏N-M曲线如右图所示虚线是精确结果，一般采用直线，偏安全。钢结构中长细比lo/ho一般较大，一般发生失稳破坏。计算时必须校核稳定性条件。§2-2压弯杆件的弹性稳定性§2-1概述1．有关基本概念一、压弯杆件的弯矩和挠度如右图所示。忽略轴力N影响的弯矩称为一阶弯矩，计入N影响的弯矩称为二阶弯矩。采用小挠度理论，同时考虑轴向与剪切变形的影响，挠曲线微分方程式是=N/EA，轴力N产生的轴向正应变。通常只需考虑弯曲一项，格构式压杆一般要考虑剪切变形，多层混凝土框架与拱需考虑轴向变形。只考虑弯曲一项，有下面分析二阶弯矩的计算。二阶弯矩与挠曲线形状有关。1.均布横向荷载下：如下图示。代入有令，可解出由杆端条件，x=0,y=0；x=l,y=0。可解出A、B，结果有令，跨中最大挠度是式中：

是N=0时，中点的挠度，(u)是中点挠度放大系数，中点最大弯矩是式中，，一阶弯矩。为了便于工程应用，将secu可展开成级数形式，又因为式中，可得于是，有这一形式应用很方便。2.横向力为集中荷载Q：如下图示。截面弯矩是，左右对称M(x)表达式代入弯曲微分方程中，有杆端条件是：y(0)=0,，解出

，B=0。有中点最大挠度与弯矩是中点最大挠度与弯矩是式中，，N=0时的中点挠度；是挠度增大系数。式中，，一阶弯矩。同样，将tgu展开成Taylor级数，可将增大系数

化为于是，有3.压弯杆件两端受弯矩作用：如下图示。杆中弯矩是代入弯曲微分方程中，有杆端条件是：y(0)=0,，解出

于是，有令，M1=M2=Mo，中点最大挠度与弯矩是式中，，N=0时的中点挠度；，中点挠度放大系数。式中，Mo是一阶弯矩。同样，将secu展开成Taylor级数，可得

最后，有4.偏心受压杆件：如下图示。令，M1=Ne1,M2=Ne2，就化为上一种情况，利用上面的结果，有当e1=e2=e时，最大挠度与弯矩是式中，

二、边缘纤维屈服准则1．有关概念图(a)为一根两端受弯矩Mo作用的压弯杆件，当N与M成比例增加时，轴力N与杆件中点挠度

的关系曲线。图中虚线是把压弯杆视为完全弹性杆时的N-曲线，以水平线NE（Euler临界力）为渐近线，产生弹性失稳破坏。实线代表弹塑性杆的N-曲线。上升段OB为稳定阶段，下降段BC为失稳阶段。杆件在极值点B失稳。失稳时，构件截面边缘屈服，进入塑性阶段。对于弹性压弯杆件，若以截面边缘纤维开始屈服作为失稳准则，称为边缘纤维屈服准则。这相当于曲线上的A点，相应的荷载NA称为边缘纤维屈服荷载，它是压弯杆承载力的下限，上限是Nu。2．佩里-罗伯逊(Perry-Robertson)公式是根据边缘纤维屈服准则推导出来的，用于计算压弯杆的承载力，现介绍如下。对于压弯杆件，考虑二阶弯矩，由前面的结果知，压弯杆的最大弯矩可表示成令，有，又令，则，C称为弯矩增大系数。若杆件有初始弯曲变形yo=asin(x/l)，初始中点挠度为a，此时最大弯矩是由材料力学知最大弯曲正应力是，Mmax/W，W为截面抗弯系数。根据边缘屈服准则，得荷载偏心距是e=Mo/N，截面核心e’定义为，e’=W/A，则相对偏心率相对初偏心率Euler临界应力；截面平均应力。此式可整理成如下几种形式或，或，此即，佩里-罗伯逊(Perry-Robertson)公式。取m=0，即为具有初始缺陷的轴压杆的计算公式。对于偏心受压杆，若再考虑初偏心eo的影响，由上面结果知，有或，此为有名的正割公式。取m=0，可用于轴压杆。式中，相对偏心率(荷载偏心作用引起)

相对初偏心率，。

§2-3压弯杆件的弹塑性稳定性概述由下图知，压弯杆件的最大承载力是Nu，这是极限荷载准则。从弹性极限荷载NA到最大极限荷载Nu的AB段曲线，压弯杆件处于弹塑性变形阶段，横截面上同时存在弹性区与塑性区。有可能受压一侧出现塑性区，也有可能受拉一侧先出现塑性区，或两侧同时出现塑性区，如右下图所示。进入弹塑性阶段以后，压弯杆件的受力情况与加载过程有关。如图2-10所示，设杆件受轴力N与弯矩M作用，即图中B点。OB表示比例加载。OB1B表示先作用M，再作用N。OB2B表示先作用N，再作用M。若取OB1B为加载过程，先只有M作用，使杆件两侧都出现塑性区，再施加轴力N，则受压一侧相当于加载的情况，应取切线模量。而在受拉一侧，相当于卸载，应力应变关系中应取弹性模量。若为比例加载，不会出现卸载的情况。所以，弹塑性分析较为复杂，一般而言，应根据以下三个方面的关系进行求解：(1)平衡微分方程，或，，Mo为横向力产生的弯矩(2阶导数为横向分布荷载集度q)。(2)几何方程，曲率(小变形情况)。

(3)物理方程，即M、N、k之间的关系，，或，。

一般为非线性关系。一般只有数值解。某些简单情况下，可得到近似的解析解。下面介绍雅若克方法。一、雅若克近似解析法雅若克解法用于计算矩形截面偏心受压杆在弯矩作用的平面内的极限荷载Nu。基本假设：材料的理想弹塑性的，其应力应变关系如右图a(2)杆件挠度曲线为正弦曲线，图(b)所示，即，a(3)只考虑杆件中点截面上的内力与外力的平衡。下面分偏心距较小、较大及大小偏心的界限等情况分别进行讨论。1.偏心距较小，只在杆件一侧出现塑性区图(d)是中点截面上的应力分布。由平截面假设，截面上的应变如图(e)所示。由平衡条件，得主矢为截面上的轴力主矩为截面上的弯矩假设挠曲线方程是正弦函数中点曲率是，

又由图(e)知，，得出，由图(c)(d)知，利用这些关系式，消去c1、d1、g1，可导出压弯杆件弹塑性阶段的so-d方程。或，压弯杆件弹塑性阶段的N-d方程。利用极值条件，或

可求出极限应力su与相应的中点挠度du。式中，相对偏心率，l为长细比。

2．偏心距较大，在杆件两侧出现塑性区：如下图由平衡条件，有由，知中点曲率是，又由图(c)知，

得出，

截面高度利用以上关系式，消去主矩表达式中的c2、d2、g2，有大偏心压弯杆件的N-d方程。或，，大偏心压弯杆件的so-d方程。

同样，由极值条件或，可得so的极值su与d的极值du。

m是相对偏心率，l是长细比。

两个方程是耦合的，隐含的。3．大小偏心的分界条件

小偏心情况时，c1>d1，即，。当时，为单侧出现塑性区的极限情况。此时，c1=d1。由平衡条件，有

即，因此，大小偏心的分界条件是小偏心压弯杆：大偏心压弯杆：g1是分界条件下塑性区的深度。由前面小偏心情况下的平衡关系式

可解出，压弯杆处于临界状态时，由前面小偏心情况下代入上面g1表达式中，得所以，小偏心的条件是即，再将此式代入前面小偏心情况下的表达式中，有这就是小偏心情况的判别条件。在用雅若克方法求极限应力时，关系式是耦合并隐含的，实际上要进行数值求解。更为直接的方法是数值积分法。二、数值积分法数值积分法是求解微分方程的一种方法，也是目前计算压弯杆极限荷载最有效的方法之一。计算时先将杆件划分成若干段，每段长度为Dx，如下图。利用Taylor展开式Rn为余项0<<1，实际计算时，可近似取=1/2。如果求解的是二阶微分方程，可取n+1=2。有，同理可得，此即由前一点的yi与的值，来计算后一点的yi+1与需要用到该段中点的值。如何计算，现分弹性与弹塑性压弯杆的情况的值的递推公式。进行讨论。

1．弹性压弯杆微分方程是对于各段中点，有现研究xi~xi+Dx/2这一段，段长为Dx/2，利用前面的递推公式，有代入上面微分方程中，可解出至此，根据杆端条件，从xo开始，利用前面的递推公式，依次求解出各点挠度y1、y2、…、yn等。挠度曲线已知，则利用前面公式，可计算出极限荷载或极限应力值。求解过程可编成计算机程序来完成2．弹塑性压弯杆采用切线模量理论，平衡微分方程是必须已知应力-应变关系曲线，才能确定Et，然后对上面微分方程进行求解。不方便。为此，平衡方程可取下面的形式即横截面上的正应力主矢为轴力N。即横截面上的正应力主矩为弯矩M。为此，先将截面划分为若干单元，如图。设单元j的面积为DAj，其上平均应力为sj。将上面二式用于杆件各段的中点截面，积分用求和代替，于是有，

设截面形心处的应变为eo，杆件各段中点处的曲率为处的应变为，则单元j形心然后，由应力-应变关系(根据该单元是处在弹性区还是塑性区，采用的本构关系有所不同)，求出各单元中点的应力，

注意，

先要假定验算二个平衡方程，不满足，则不断调整即通过一个迭代过程来确定或整个计算过程可编制成计算机程序来完成。§2-4工程应用一、压弯杆件的相关公式关于压弯杆件的承载力的计算，根据边缘纤维屈服准则，得到承载力的下限，偏于保守。极限荷载准则，从理论上讲是合理的，但计算极限荷载Nu，与截面形状、各部分尺寸、弯曲方向、初始缺陷等因素有关，计算非常复杂，还与加载过程有关。所有，没有一个适用于各种情况的Nu的计算公式，工程应用上很不方便。目前，计算压弯杆件多采用较简单的相关公式，称为联合作用公式。当轴压力与弯矩单独存在时杆件的承载力已知，则同时存在轴力与弯矩时的承载力必较其单独作用时为小。于是，先由典型情况求出极限荷载大小，然后预估二者同时存在时承载力的大小，再进行数值与实验验算。相关公式为一种半经验半理论的公式。

1．弹性阶段的相关公式相关公式的基本形式是从边缘纤维屈服准则得到的，根据该准则，有式中，，

a为初弯曲引起的中点挠度。若较小，可取C1，不计初弯曲，

可将上式改造成如下形式考虑初偏心时，有，式中Np=Afy为全截面屈服时的最大承载力。Mt=Efy为无轴力情况下截面弹性极限弯矩。若较小，可取C1，不计初弯曲，

可将上式改造成如下形式以上二式为压弯杆弹性阶段在弯矩作用平面内的相关公式。表示压弯杆承载力的下限。不考虑初偏心，当N=0时，Mo=Mt。当Mo=0时，N=Np。2．弹塑性阶段的相关公式弹塑性阶段的相关公式，以矩形截面偏心受压杆，当中点