第二章 数学模型

第二章控制系统的数学描述方法

---控制系统的数学模型目的

建立控制系统的数学模型，为课程的后续内容提供必备的工具内容掌握建立物理系统数学模型的方法掌握数学模型的相互转换掌握数学模型的图解形式引言数学模型：描述系统动态特性的数学表达式。建立数学模型的目的：是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。有许多类型的控制系统，其组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统运动的模型却可以是相同的。在研究一个控制系统时，首先要建立该控制系统的数学模型。得到了描述系统运动的数学模型，就可以采用数学分析的方法来研究该系统的运动规律。建立数学模型的方法

解析法（机理模型）：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出各变量之间的数学关系式。实验法（实验建模）：对系统施加典型测试信号（脉冲、阶跃或正弦信号），记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递函数或频率特性。通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部特征而抓住其内在的共同运动规律.数学模型微分方程传递函数频率特性结构图信号流图状态空间表达式反映元件及系统的特性要正确实验法解析法写出的数学式子要简明数学模型时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图频域：频率特性线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换§2.1控制系统的微分方程引例：由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路，写出以ui为输入，uc为输出的系统关系方程。

控制系统的微分方程依据：电学中的基尔霍夫定律

由（2）代入（1）得：令T=RC

方程可简写为即两边求导得因为电容电流为线性定常系统的微分方程可表示为线性定常系统满足叠加定理参数为常数为输出信号的各阶导数为输入信号的各阶导数叠加定理如果有 输入x1(t)输出y1(t)

输入x2(t)输出y2(t)则系统的输入为输出保持线性可加为2.控制系统微分方程的建立用解析法建立运动方程的步骤是：

分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；从输入端入手，依据各元件所遵循的物理、化学、生物等规律，列写各自方程式；在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线性化处理；对微分方程进行标准化处理：与输出量相关的各项置于等号左侧，而与输入量相关的置于等号右边；等号左右各项均按降幂排列；将各项系数归化为具有一定物理意义的形式。消去中间变量，得到描述元件输入和输出关系的微分方程；电学系统：

元件约束三种基本线性元件电阻R、电容C和电感L电学系统：

网络约束基尔霍夫电压电流定律：在电路的任一闭合回路中，各支路电压的代数和为零流出（或流入）任意节点的各支路电流的代数和为零例：考虑由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路，写出以ui

为输入，u0为输出的微分方程。由基尔霍夫电压定律元件约束整理得关注：系统中独立蓄能元件的个数与微分方程阶数的关系。力学系统：

牛顿定律约束例：设弹簧－质量－阻尼器系统如图所示，试列出以力Fi

为输入，以质量单元的位移x为输出的运动方程。物体所受的外力合等于物体质量与加速度的乘积由牛顿第二定律：外力粘性阻力弹性阻力代入整理合力mFk(弹簧的拉力)Fi(t)外力Ff阻尼器的阻力虎克定律:弹簧弹力等于弹性系数与相对变形位移的乘积粘性摩擦定律:粘性摩擦力等于摩擦系数与相对速度的乘积§2.2非线性微分方程的线性化为什么要线性化非线性系统的性质比线性系统要复杂得多哪种非线性系统可以线性化连续可导的非线性系统如何进行线性化使用小偏差法

部分非线性系统，在一定条件下可近似地视为线性系统，这种有条件地把非线性系统数学模型化为线性数学模型来处理的方法，称为非线性数学模型的线性化。连续可导的非线性特性本质非线性特性除本质非线性系统之外，大部分非线性系统都可以在工作点邻域线性化。小偏差理论具有连续变化的非线性函数A[x0，y0]为预定工作点，则该非线性函数可以线性化的条件是变量x偏离预定工作点很小。在给定工作点领域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。近似线性化方程为令作变量替换得线性化方程非线性系统作线性化时的步骤：

例：三相全桥整流调速装置输入量为控制角输出量为整流电压UD

,二者之间的关系为试建立其线性化方程。解：预定工作点为线性化方程为例：单摆系统的运动方程为试列写其线性化方程。解：运动方程中的非线性项为预定工作点为线性关系为当预定工作点为[0,0]线性化方程为当预定工作点为

线性化方程为注意本质非线性系统不可以作线性化。

工作点邻域的线性化方程是增量方程，增量范围过大时，将不满足线性化条件。

不同的工作点，不同的线性化系数，有不同的线性化方程。多变量情况时，其线性化方法相似。为连续可导的非线性函数为预定工作点，则其在预定工作点附近的线性化方程为§2.3拉氏变换及其应用拉氏变换f(t)F(s)拉氏变换的基本定理拉氏反变换F(s)f(t)拉氏变换法求解微分方程§2.3拉氏变换及其应用已知时域函数f(t)

，如果满足相应的收敛条件，则可以定义其拉氏变换为拉氏变换的定义式中变量s为复变量，表示为s=+

j

记为函数f(t)的拉氏变换当t<0,f(t)=0拉氏积分运算符复变量一一映射拉氏变换为拉普拉斯（Laplace）变换的简称对于任何时间连续的时间函数来说，它与拉氏变换之间保持唯一的对应关系。2.常用信号的拉氏变换单位脉冲信号f(t)0at1/a单位脉冲信号数学表达式单位阶跃信号数学表达式单位斜坡信号数学表达式指数信号数学表达式正、余弦信号数学表达式3.拉氏变换的基本定理线性定理

若函数分别有其拉氏变换：则延迟定理若则例

：周期锯齿波信号如图所示，试求该信号的拉氏变换。解：第一周期信号由延迟定理对于周期信号有衰减定理若则例：求函数 的拉氏变换解：微分定理若且f(t)的各阶导数存在，则f(t)

各阶导数的拉氏变换为：微分定理若初始条件为零s为微分算子积分定理若则为积分算子若初始条件为零，则初值定理且在t=0处有初值f(

0

)若终值定理若且f(∞)存在，则

则卷积定理若则卷积4.拉氏变换的优点：简化函数简化运算5.拉氏反变换拉氏变换：已知f(t)

求F(s)拉氏反变换：已知F(s)

求f(

t)

根据拉氏变换的基本定理部分分式法分母全部为单根分母有重根拉氏变换的逆运算称为拉氏反变换。几个重要的拉氏变换对f(t)

F(s)f(t)

F(s)A(s)=0全部为单根为F(s)对应于极点si

的留数。A(s)=0所有的解称为F(s)的极点。例:已知 求F(s)

拉氏反变换。解：A(s)=0有重根………例：求 的拉氏反变换f(t)。解：例：已知 试求其拉氏反变换

f(t)解：微分方程的求解经典法求解拉氏变换法求解简单问题：已知系统的输入信号，系统的输出随时间变化的规律如何？6.应用拉氏变换解微分方程方程两边作拉氏变换代入初始条件和输入信号写出输出量的拉氏变换作拉氏反变换求出系统输出的时间解

例：求解微分方程例

RC滤波电路如图所示，输入电压信号ui(t)=5V，电容的初始电压uc(0)

分别为0V和1V时，分别求时间解uc(t)。

解：两边取拉氏变换得将代入，整理得

uc(0)=0V

时uc(0)=1V

时问题：

以微分方程作为系统的数学模型，当系统的参数变化时，系统的运动如何分析？

应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算，可使问题分析大大简化。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且还可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。系统微分方程初始条件为零时，拉氏变换为§2.4传递函数传递函数的定义

传递函数的性质典型环节的传递函数

传递函数的定义

在零初始条件下，系统或环节输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比，称为系统或环节的传递函数则输出的拉氏变换为传递函数的表示形式多项式形式零极点形式因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶次，即,是有理真分式。若,我们就说这是物理不可实现的系统。特征方程K根轨迹增益，首项系数归一实数或复数零极点形式例：

系统运动的微分方程模型为：其中，y为输出，r为输入，请确定系统的传递函数。解：对方程两端取拉氏变换，得：

代入零初始条件，得：

于是，传递函数为：

2.传递函数的性质

(1)传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的；

(2)传递函数与微分方程一一对应；

(3)传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物理结构的有关信息；

(4)传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关；

(5)传递函数与系统的输入输出的位置有关；

(6)传递函数只适用于线性定常系统。3.典型环节的传递函数

1）比例环节:其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示式中——环节的放大系数，为一常数。传递函数为：特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。2）积分环节:其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表示传递函数为：特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。3）微分环节：是积分的逆运算，其输出量和输入量的关系，由下式来表示传递函数为：式中——环节的时间常数。特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。4）一阶惯性环节:其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示传递函数为：式中T——环节的时间常数。特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即发现，输出无振荡。

实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。5）二阶振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的二阶微分方程式来表示。传递函数为：特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。6）延迟环节：其输出量和输入量的关系，由下式来表示传递函数为：式中——延迟时间特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。典型环节及其传递函数（1）比例环节（2）积分环节（3）微分环节（4）一阶惯性环节（5）二阶振荡环节（6）延迟环节以上6种是常见的基本典型环节的数学模型1）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是一一对应的；2）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传递函数；3）环节是相对的，一定条件下可以转化；4）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。§2.5动态结构图

1．结构图的组成

2．结构图的建立

3．结构图的等效变换

4．梅逊公式1）信号线：有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。2）引出点：信号引出或测量的位置。从同一信号线上引出的信号，数值和性质完全相同1.结构图的组成结构图又称方块图，是一种网络拓扑约束下的有向线图，由以下几部分组成：

U(s)Y(s)Y(s)Y(s)3）综合点：对两个或两个以上的信号进行代数运算，“＋”表示相加，常省略，“－”表示相减。4）方框：表示典型环节或其组合，框内为对应的传递函数，两侧为输入、输出信号线。E(s)=R(s)-Y(s)R(s)Y(s)G(s)R(s)Y(s)结构图的特性：1）结构图是线图方式的数学模型，可以用来描述系统的结构关系。2）结构图上可以表示出系统的一些中间变量或者系统的内部信息。这一点不同于仅符合端口关系的传递函数。3）结构图与代数方程组等价。可以通过结构图化简的方法化简代数方程组，将结构图化为一个方块，即求得控制系统的传递函数。2.结构图的建立３）根据信号的流向关系，依次将各方框连接起来，构成系统的结构图。建立系统结构图的一般步骤为：

１）列出描述系统各环节或元件的运动方程式，确定其传递函数。２）绘出各环节或元件的方框，方框中示明其传递函数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量。例

已知两级RC

网络如图所示，作出该系统的结构图。解：1）建立各元件的微分方程2）将各元件的微分方程进行拉氏变换，并改写成以下相乘形式3）按照变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，绘出系统的动态结构图另解：1）以每个电路元件为环节画出方块图①②④③2）以信号传递方向把个环节方框连接起来，绘出系统的动态结构图结构图作用：1）直观形象的分析变量之间的关系

2）方便求解传递函数或3.结构图化简

(结构图的等效变换）化简目的：

将结构图化简为一个方块，即传递函数。化简原则：

保证化简前后的代数等价关系不变

等效变换结构图的变换应按等效原则进行。所谓等效，即对结构图的任一部分进行变换时，变换前后输入输出的数学关系保持不变。结构图的基本组成形式串联连接，并联连接，反馈连接等效变换法则

环节串联G2(s)X1(s)G1(s)X(s)Y(s)环节并联

X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(s)反馈回路化简负反馈正反馈G(s)E(s)Y(s)Y(s)R(s)B(s)H(s)R(s)相加点移动前移后移互易在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框

引出点移动前移后移在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框

abab相邻引出点可互换位置、可合并相邻相加点可互换位置、可合并baba信号的引出点与相加点不可以互换（1）用最少的步骤将系统结构图化成由三种基本结构组成的图形，然后通过串联和并联变换化简信号通道，通过反馈回路变换化简回路（记住公式）。变换思路（2）通过相加点和引出点的移动(向同类移动,并利用可交换性法则）,解除回路之间互相交叉的部分,从而简化结构图。简化结构图求传递函数的一般步骤(1)确定输入量与输出量，如果作用在系统上的输入量有多个(分别作用在系统的不同部位)，则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。对于有多个输出量的情况，也应分别处理。(2)若结构图中有交叉关系，应运用等效变换法则，首先将交叉消除，化为无交叉的单回路结构。(3)对于回路可由里向外变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。变换技巧一：向同类移动

引出点向引出点移动，相加点向相加点移动。移动后再将它们合并，以减少结构图中引出点和相加点的数目。一般适用于前向通道。变换技巧引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41向同类移动G2H1G1G3相加点移动G1G2G3H1G2无用功向同类移动G1化简G2H1G1G3G1G2H1G1+G3G1ReductionG2H1G1+G3G1G1+G321+--Y(s)R(s)+例：求传递函数Y(s)/R(s)+-2Y(s)1-R(s)+Y(s)1-R(s)例

两级RC滤波网络的结构图如图所示，试采用结构图等价变换法化简结构图。解：令例：化简系统结构图，求取系统传递函数。系统传递函数例：化简结构图求系统传函。变换技巧二：作用分解

同一个变量作用于两个相加点，或者是两个变量作用于同一个方框，可以把这种作用分解成两个单独的回路，用以化解回路之间的相互交叉。一般适用于反馈通道。G1G4H3G2G3H1H1H3G1G4G2G3H3H1作用分解G1G4H3G2G3H1H1H3G1G4G2G3H3H1作用分解先简化红线框例：求系统传递函数。反思：有没有更好的方法？4.梅逊公式（Mason）

梅逊公式是基于信号流图理论的计算公式，是一种简捷方便的方法。

结构图及其等效变换虽然对分析系统很有效，但是对于比较复杂的系统，结构图的变换和化简过程往往显得繁琐、费时，并易于出错。如采用信号流图，则可利用梅逊公式，不需作变换，也不必化简，可将传递函数一次写出。

信号流图由节点和支路组成

O：节点，表示系统中的变量或信号。

：支路，连接节点的有向线段，上写传递函数（称为支路增益）表示变量之间的传输关系。

箭头方向表示信号传送方向。信号流图理论信号流图和及结构图类似，都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系。因而信号流图也是数学模型一种表示。x1x4x3x2abc1信号流图的基本术语1.输入节点：只有输出支路，没有输入支路的节点称为输入点。它对应于自变量。3.混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点。输入节点输出节点输入节点2.输出节点：只有输入支路，没有输出支路的节点称为输出节点。它对应于因变量。4.通路：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通路。5.开通路：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路。6.闭通路：如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通路或称为回路。7.回路增益：回路中各支路增益的乘积称为回路增益。8.前向通路：从输入节点开始并终止于输出节点且与其他节点相交不多于一次的通路，称为前向通路。9.前向通路增益：在前向通路中，各支路增益的乘积称为前向通路增益。10.不接触回路：如果一信号流图有多个回路，各回路之间没有任何公共节点，就称为不接触回路，反之称为接触回路。和和输出节点1混合节点

输入节点1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a单独回路(7个)不接触回路(2组)信号流图的基本性质1．节点代表系统中的变量,并等于所有流入该节点的信号之和。在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号传送到所有的输出支路。2．以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。3．通过增加一个具有单位增益的支路，可以把混合节点化为输出接点。4．对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。信号流图和方框图是一一对应的，且可以互相转化。5.信号流图只适用于线性系统。由系统结构图绘制信号流图

信号流图包含了结构图所包含的全部信息，在描述系统性能方面，其作用是相等的。但是，在图形结构上更简单方便。结构图：输入量相加点引出点信号线方框输出量信流图：输入节点混合节点支路输出节点由系统结构图绘制信号流图的步骤

结构图信流图变量传递相加点变成混合节点－11）将方框图的所有信号(变量)换成节点，并按方框图的顺序分布好；2）用标有传递函数的线段(支路)代替结构图中的方框。例：画出系统的信流图。

G1G6G7G2G3G5-H1-H2G4abcdR(s)C(s)注意：引出点和比较点相邻的处理例：绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。1将结构图的变量换成节点，并按结构图的顺序分布好；解：2用标有传递函数的线段(支路)代替结构图中的函数方框。abc结构图信号流图梅逊公式回路总增益

(闭环传函)第i个前向通路增益第i条前向通路余子式特征式例：用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。解：（1）找出上图中所有的前向通路只有一条前向通路

（2）找出系统中存在的所有的回路共有三个回路，三个回路的增益之和为（4）由于这三个回路都与前向通路相接触，故其余因子Δ1=1。（5）故该系统的传递函数为：

（3）这三个回路都存在公共节点，即不存在不接触回路。故系统的特征方程式为：例：设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数。H2CG2G3G4-RG1--H1G3R(S)11G1G2C(s)G4-1-H2