2017-2018版高中数学第一章计数原理1分类加法计数原理和分步乘法计数原理学案2-3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE1分类加法计数原理和分步乘法计数原理学习目标1。理解分类加法计数原理与分类乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．知识点一分类加法计数原理(加法原理）第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务,每天有7个航班,6列火车．思考1该志愿者从上海到天津的方案可分几类?思考2这几类方案中各有几种方法？思考3该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？梳理分类加法计数原理(加法原理)完成一件事,可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝__________种方法．知识点二分步乘法计数原理(乘法原理)李娜为备战网球公开赛,需从北京到A城进行封闭式训练,中途要在B城停留，若从北京到B城有7次航班，从B城到A城有6列动车．思考1李娜从北京到A城需要经过几个步骤？思考2李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？梳理分步乘法计数原理(乘法原理)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么,完成这件事共有N＝____________种方法．类型一分类加法计数原理例1在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个?反思与感悟（1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事．(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路跟踪训练1设集合A＝{1，2,3,4｝,m，n∈A,则方程eq\f（x2，m)＋eq\f（y2，n)＝1表示焦点位于x轴上的椭圆的有(）A．6个 B．8个C．12个 D．16个类型二分步乘法计数原理例2（1)4名同学选报跑步、跳高、跳远3个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？(2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得),共有多少种可能的结果？反思与感悟在运用分步乘法计数原理解决问题时,应首先弄清分步的主体是什么，再根据主体进行分步，最后根据分步乘法计数原理进行解题．跟踪训练2从－2，－1,0,1，2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c,则可以组成抛物线的条数为________．类型三两个计数原理的应用例3如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不同的种植方法．反思与感悟综合应用两个原理时,一定要把握好分类与分步．分类是根据完成方法的不同类别,分步是根据一种方法进程的不同步骤．跟踪训练3如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．1．在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数,其中假分数的个数为（)A．20B．10C．5D．242．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(）A．7B．12C．64D．813．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（)A．56 B．65C.eq\f(5×6×5×4×3×2，2) D．6×5×4×3×24．如图,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有________种。ABCD5．如图，A→C有________种不同的走法．1．使用两个原理解题的本质eq\x（分类)→eq\x（将问题分成互相排斥的几类,逐类解决）→eq\x(分类加法计数原理)eq\x（分步)→eq\x（把问题分化为几个互相关联的步骤,逐步解决）→eq\x（分步乘法计数原理）2．“分类”“分步”的注意点（1）分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数．（2)分步要做到“步骤完整"．完成了所有步骤,恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘，得到总数．答案精析问题导学知识点一思考1两类，即乘飞机、坐火车．思考2第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车）有6种方法．思考3共有7＋6＝13(种)不同的方法．梳理m1＋m2＋…＋mn知识点二思考12个．思考27×6＝42(种）．梳理m1×m2×…×mn题型探究例1解方法一一个两位数由十位数字和个位数字组成，可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能．一个两位数的个位数字可以是0,1，2,3,4,5,6，7,8，9,把这样的两位数分成10类．第一类:当个位数字为0时，十位数字可以是1,2，3,4，5,6，7,8，9，有9个满足条件的两位数．第二类：当个位数字为1时，十位数字可以是2,3，4,5,6,7，8,9，有8个满足条件的两位数．第三类：当个位数字为2时，十位数字可以是3,4，5，6，7，8，9，有7个满足条件的两位数．以此类推，当个位数字分别是3,4,5，6，7,8，9时，满足条件的两位数的个数分别为6,5，4,3,2,1,0。由分类加法计数原理，满足条件的两位数有9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝45（个）．故个位数字小于十位数字的两位数共有45个．方法二考虑两位数“ab”与“ba”中，个位数字与十位数字的大小关系,利用对应思想解决．在总共90个两位数中，个位数字等于十位数字的两位数为11,22,33，…99,共9个；另有10,20，30,…,90，共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置；其余90－18＝72个两位数，按“ab”与“ba"进行一一对应，则每一个“个位数字小于十位数字的两位数”就与另一个“十位数字小于个位数字的两位数"对应,故其中“个位数字小于十位数字的两位数”有72÷2＝36（个)．故满足条件的两位数的个数为9＋36＝45，即个位数字小于十位数字的两位数共有45个．跟踪训练1A例2解(1）要完成的是“4名同学每人从3个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项,4名同学都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项,选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81（种)报名方法．（2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军是4名同学中的某一人，有4种可能的情况,于是共有4×4×4＝64(种)可能的情况．跟踪训练2100例3解方法一分为两类:第一类：当花坛A,C中种的花相同时有4×3×3＝36(种）；第二类：当花坛A,C中种的花不同时有4×3×2×2＝48（种）．共有36＋48＝84（种）．方法二分为四步:第一步:考虑A，有4种；第二步：考虑B，有3种；第三步：考虑C,有两类：一是A与C相同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同,C的选法有2种,此时第四步D的选法也有2种．共有4×3×（1×3＋2×2）＝84(种）．跟踪训练3解由题意,四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3＝60(种）染色方法．当S,A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1，2,3。若C染2,则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．由分