2017-2018版高中数学第一章导数及其应用1.4.2微积分基本定理（二）学案2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．4.2微积分基本定理(二)明目标、知重点会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．1．曲边梯形的面积(1）当x∈[a，b]时，若f(x)〉0，由直线x＝a,x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积S＝ʃeq\o\al（b,a)f（x)dx.（2）当x∈［a，b］时，若f（x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f（x）围成的曲边梯形的面积S＝－ʃeq\o\al(b，a)f（x）dx。2．两函数图象围成图形的面积当x∈［a,b］时，若f（x）>g(x）〉0,由直线x＝a，x＝b（a≠b)和曲线y＝f(x),y＝g（x)围成的平面图形的面积S＝ʃeq\o\al(b，a)［f（x）－g（x)]dx。(如图)探究点一求不分割型图形的面积思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答求由曲线围成的面积，要根据图形,确定积分上下限,用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．例1求由曲线y＝x2,直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．解方法一如图，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝x）)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，，y＝2x））解出O，A，B三点的横坐标分别是0，1,2.故所求的面积S＝eq\i\in(0,1,）（2x－x）dx＋eq\i\in（1,2,）（2x－x2）dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f（x2,2）))eq\o\al（1，0)＋eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x2－\f(x3，3)))）)eq\o\al(2，1)＝eq\f(1，2）－0＋(4－eq\f（8,3))－(1－eq\f（1,3）)＝eq\f（7,6）.方法二由于点D的横坐标也是2，故S＝eq\i\in(0，2,）（2x－x)dx－eq\i\in(1，2,）(x2－x）dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f(x2，2）））eq\o\al（2，0）－eq\b\lc\\rc\|（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－\f(x2,2)))）)eq\o\al（2,1）＝2－(eq\f（8，3）－2)＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,2））＝eq\f(7，6)。方法三因为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,4)y2）)′＝eq\f(y,2),eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2,3）y\f（3，2）－\f(y2，4）））′＝eq\r(y)－eq\f（y，2)，故所求的面积为S＝eq\i\in(0,1,)(y－eq\f(y，2）)dy＋eq\i\in（1,4,）(eq\r（y)－eq\f（y,2)）dy＝eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)y2）)eq\o\al（1，0)＋eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2，3）y\f(3，2）－\f（y2，4)））））eq\o\al（4,1）＝eq\f（1,4）＋(eq\f(2，3）×8－eq\f（1,4)×16）－(eq\f(2，3)－eq\f（1，4)）＝eq\f(7，6).反思与感悟求由曲线围成图形面积的一般步骤：（1)根据题意画出图形;(2)找出范围,确定积分上、下限；(3）确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．解由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x2－4,y＝－x＋2））得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝5））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2,y＝0)），所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为（－3,5）和(2,0），设所求图形面积为S，根据图形可得S＝ʃeq\o\al（2，－3)(－x＋2)dx－ʃeq\o\al(2，－3）（x2－4）dx＝(2x－eq\f(1，2）x2）｜eq\o\al(2,－3)－(eq\f（1,3)x3－4x）|eq\o\al（2,－3)＝eq\f(25,2）－(－eq\f（25,3）)＝eq\f（125,6)。探究点二分割型图形面积的求解思考由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求？答求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．例2计算由直线y＝x－4,曲线y＝eq\r(2x）以及x轴所围图形的面积S。解方法一作出直线y＝x－4,曲线y＝eq\r（2x)的草图．解方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝\r（2x)，,y＝x－4))得直线y＝x－4与曲线y＝eq\r（2x)交点的坐标为(8，4)．直线y＝x－4与x轴的交点为(4，0)．因此，所求图形的面积为S＝S1＋S2＝ʃeq\o\al(4，0)eq\r（2x）dx＋eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（ʃ\o\al(8，4）\r（2x)dx－ʃ\o\al(8,4)x－4dx)）＝eq\f(2\r(2)，3）x｜eq\o\al（4，0)＋eq\f(2\r(2），3）xeq\f（3，2)｜eq\o\al（8,4)－eq\f(1,2）（x－4)2｜eq\o\al（8，4）＝eq\f(40，3）。方法二把y看成积分变量，则S＝ʃeq\o\al（4,0)（y＋4－eq\f（1，2)y2)dy＝(eq\f（1,2）y2＋4y－eq\f（1,6）y3）｜eq\o\al(4,0)＝eq\f（40,3)。反思与感悟两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限,若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2求由曲线y＝eq\r（x），y＝2－x，y＝－eq\f（1，3)x所围成图形的面积．解画出图形,如图所示．解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝\r（x），，x＋y＝2，)）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x）,,y＝－\f(1,3）x,))及eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＝2，，y＝－\f(1,3）x,）)得交点分别为（1,1)，（0,0)，(3，－1)，所以S＝ʃeq\o\al(1，0)［eq\r（x)－（－eq\f（1,3）x）]dx＋ʃeq\o\al(3，1）[（2－x)－(－eq\f(1，3）x)]dx＝ʃeq\o\al（1，0）(eq\r（x)＋eq\f(1，3)x）dx＋ʃeq\o\al(3，1)(2－x＋eq\f(1,3)x）dx＝（＋eq\f（1,6)x2)｜eq\o\al(1,0)＋(2x－eq\f（1,2)x2＋eq\f(1，6)x2)｜eq\o\al(3,1）＝eq\f(2，3)＋eq\f(1,6）＋（2x－eq\f（1，3)x2)|eq\o\al(3,1)＝eq\f(5，6）＋6－eq\f(1，3）×9－2＋eq\f（1,3)＝eq\f（13，6）.探究点三定积分的综合应用例3在曲线y＝x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为eq\f（1，12）,试求:切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．解如图,设切点A(x0,y0)，其中x0≠0，由y′＝2x，过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0），即y＝2x0x－xeq\o\al（2,0)，令y＝0，得x＝eq\f（x0,2)，即C（eq\f(x0，2），0)，设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，则S＝S曲边△AOB－S△ABC,∵S曲边△AOB＝S△ABC＝eq\f(1,2)|BC|·|AB｜＝eq\f（1,2）(x0－eq\f（x0,2））·xeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al（3，0）.∴S＝eq\f（1,3)xeq\o\al(3,0)－eq\f(1,4）xeq\o\al（3，0）＝eq\f（1，12）xeq\o\al（3，0）＝eq\f(1，12）.∴x0＝1，从而切点为A（1，1），切线方程为2x－y－1＝0。反思与感悟本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识,运用待定系数法，先设出切点的坐标,利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝ʃeq\o\al(1,0）(x－x2）dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x2,2）－\f（1,3）x3）)|eq\o\al（1,0）＝eq\f（1,6).又eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x－x2，,y＝kx,）)由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以,eq\f(S，2)＝ʃeq\o\al（1－k，0）（x－x2－kx）dx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1－k，2）x2－\f（1，3)x3））｜eq\o\al(1－k，0）＝eq\f(1,6）(1－k）3。又知S＝eq\f（1,6）,所以（1－k）3＝eq\f(1，2），于是k＝1－eq\r（3，\f（1,2）)＝1－eq\f(\r(3,4),2）.1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中,正确的有（)S＝ʃeq\o\al（a，b）［f(x）－g(x)］dxS＝ʃeq\o\al(8,0）(2eq\r(2x）－2x＋8)dx①②S＝ʃeq\o\al（4，1）f（x）dx－ʃeq\o\al（7，4)f(x）dxeqS＝ʃ\o\al(a,0)［gx－fx]dx＋ʃ\o\al（b，a)[fx－gx］dx③④A．①③ B．②③C．①④ D．③④答案D解析①应是S＝ʃeq\o\al(b，a)［f(x)－g（x)］dx，②应是S＝ʃeq\o\al(8,0)2eq\r（2x）dx－ʃeq\o\al(8,4）（2x－8）dx，③和④正确，故选D.2．曲线y＝cosx(0≤x≤eq\f(3，2)π）与坐标轴所围图形的面积是(）A．2 B．3C.eq\f(5，2) D．4答案B解析＝sineq\f(π,2）－sin0－sineq\f(3π，2）＋sineq\f（π，2)＝1－0＋1＋1＝3.3．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为________．答案eq\f(4,3）解析解方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝2x,,y＝x2，）)得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝0，，y＝0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,,y＝4.））∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4），（0，0）．∴S＝ʃeq\o\al（2,0）（2x－x2）dx＝（x2－eq\f（1，3）x3）｜eq\o\al（2,0)＝(4－eq\f（8,3))－0＝eq\f(4,3).4．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0,x＝4所围成平面图形的面积是________．答案eq\f（19,3）解析由图形可得S＝ʃeq\o\al(1，0）(x2＋4－5x）dx＋ʃeq\o\al（4，1）(5x－x2－4)dx＝(eq\f(1，3)x3＋4x－eq\f(5,2）x2)｜eq\o\al(1,0）＋(eq\f（5,2）x2－eq\f（1，3)x3－4x)|eq\o\al(4,1)＝eq\f（1,3)＋4－eq\f（5,2）＋eq\f（5，2）×42－eq\f(1，3）×43－4×4－eq