第一章1数的概念扩展

初等代数引言一、代数学的起源与形成※现代意义下的代数学奠基于16世纪和17世纪※1859年，清代代数学家李善兰把英文algebra译成代数学，以表达该学科用字母代表数的特点，这就是“代数”的来源．※代数学有记载的最早起源可追溯到公元前1800左右公元前1800年左右的古巴比伦数学文献里已经含有二次方程和某些特殊的三次方程．从那时起直到公元15世纪的三千多年里，中国、印度、阿拉伯和欧洲都在不同的方面对代数学的发展做出了贡献．中国在代数的发展中做出了杰出成就．例如，公元前约1世纪的《九章算术》，记载了“方程术”和“正负术”等重要成就．到了13世纪前后，中国数学在高次方程的数值解法、同余式理论以及高阶等差数列等方面同样取得了瞩目的成就．二、关于代数学的几个历史观点1、代数学是研究方程解法和字母运算的科学※纵观代数学发展的整个历史，大体上经历了初等代数的形成、高等代数的创建以及抽象代数的产生和发展三个历史阶段．☆在初等数学漫长的渐进阶段，其中心问题一直是方程的解法．最早得到二次方程解法的是巴比伦人和中国人．但他们都没有使用符号．☆公元3世纪的希腊数学家丢番图，以及后来的印度数学家都曾使用过一些数学符号．公元9世纪的阿拉伯人热心采用了印度的数码、计数法和各种运算方法，并推进了方程解法的研究，但却断然抛弃了印度人的数学符号．文艺复兴时期现代印刷业的出现，使得标准符号的引进有了事先和推广的可能

韦达是第一位有意识地系统使用字母，从而使符号化代数得以初步形成的数学家．经过笛卡尔、沃利斯、牛顿等人的改进代数符号进一步完善．

1768年，欧拉发表《对代数的完整的介绍》，系统地论述了方程理论和其他代数知识．这部著作表明初等代数完全形成．2、代数学是研究多项式和线性代数的科学☆17世纪以来，随着一元三次方程（塔尔塔利亚）和一元四次方程（费拉里）求根公式的发现，鼓励人们去探索更高次方程的根式解．虽然许多数学家求解五次方程的努力没有成功，但却由此产生了多项式理论．☆代数学的另一个方向是关于线性方程组的研究．马克劳林和克莱姆得到了克莱姆法则．后来经过贝祖、范德蒙和拉普拉斯等人的研究，行列式理论初步形成．柯西在前人研究的基础上给出了系统的近代行列式理论，并建立了特征方程和特征根的理论．

19世纪中期，凯莱和西尔维斯特等人为矩阵理论奠定了基础．3、代数学是研究各种代数结构的科学☆19世纪初期，两位年轻数学家阿贝尔和伽罗华在代数学研究中取得了划时代的突破性进展阿贝尔首次证明了一般五次方程不可能用根式求解．伽罗华则进一步得到了代数方程能用根式求解的充要条件是同构群可解，并创造了伽罗华理论．他所引进的群和域的概念，成为尔后发展起来的抽象代数的基石．4、代数学是推动数学发展、解决科学问题的有力工具☆笛卡尔在他《指导思维的法则》一书中，提出了一个后来被成为“笛卡尔模式”的解决问题的通用方法．其要点是第一，将任何种类的问题划归为数学问题；第二，将任何种类的数学问题划归为代数问题；第三，将任何种类的代数问题划归为单个方程的问题．三、作为教学科目的中学代数在内容的深度上不同在内容的广度上不同新课标下的中学代数的基本内容第一章

数与数系§1.1数系的发展历史一、数的概念发展简介正分数是紧接自然数之后产生的，距今已有四千多年，但是零的符号“0”迟至公元后才在印度出现中国是最早使用十进位值数制的文明古国．

约在公元前5世纪，希腊的毕达哥拉斯学派就发现了不可公度量的存在，相当于发现了无理数（希帕索斯

），但是该学派却不肯接受也不愿使用无理数．负数在中国的《九章算术》里就已正式出现，其中“正负术”记载了正负数加减运算的法则．16世纪中叶，意大利数学家卡尔达诺在《大术》一书中讨论三次方程的解时，使用了负数的平方根．他因此享有发现虚数的荣誉．但在以后两百多年间，许多数学家都不承认虚数的合理性．直到18世纪下半叶，由于欧拉和高斯的著作中自由地使用了虚数，并建立了比较系统的复数理论，虚数才得到广泛承认．到了19世纪70年代，戴德金和康托尔等数学家运用现代数学方法，建立起严格的实数理论．至此，实数系和复数系的理论基础才牢固地确立．二、数系扩展的方式与原则通常把对某种运算是封闭的数集叫做数系．自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R和复数集C都是数系．1.数系扩展的方式(两种)(1)添加元素法(2)构造法

例如，，都不是数系，因它们未带有运算．2.数系扩展的原则设数系A扩展后得到新的数系B，不论采用哪种扩展方法，都应遵循以下原则：(1)(2)A的元素间所定义的一些运算或基本关系在B中被重新定义．而且对于A的元素来说，重新定义的运算和关系与