高中数学人教B版1第二章圆锥曲线与方程2

2023年10月北京市西城区高中示范校高二数学（人教B版）解析几何教材建议一．课标要求 1．理解直线倾斜角与斜率的概念（B），掌握过两点的直线斜率的计算公式（C），2．掌握直线方程的形式（点斜式、两点式、一般式），体会斜截式与一次函数的关系（C），3．能判断两条直线平行或垂直（C），会求两条直线的交点坐标（B），两点间距离、点到直线距离（C）、平行线间距离公式（B），4．掌握圆的标准方程与一般方程（C），5．能判断直线与圆（C）、圆与圆的位置关系（B），6．掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质（C），7．了解双曲线的定义、标准方程、几何图形，知道双曲线的有关性质（A），8．解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）（C）,9．了解曲线与方程的对应关系感受数形结合的思想（B）．二．教学建议1．曲线与方程的知识坐标系：直线坐标系→平面直角坐标系→空间直角坐标系．点的坐标，两点间的距离公式，中点的坐标公式．坐标系下，点有坐标，点运动后留下的痕迹——轨迹，而曲线上每一点的坐标都应该满足一个关系式——方程，我们研究方程的性质，从而达到研究曲线的目的，因此，方程与曲线之间就有一种替代的关系，那么，需要什么条件方程与曲线之间才能达到这种关系呢?例如：经过、点的直线与方程是否具有这种关系？例如：经过、点的直线与方程是否具有这种关系？由此可见，方程与曲线之间的关系需要双方面的（等价的、充要的、双箭头的）．定义：平面直角坐标系中，如果曲线上的点与方程的解满足：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，就称方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线．明确了曲线与方程的关系，下面就涉及到如何求出曲线的方程．例．已知：定点、两点间的距离为，动点到、距离的平方和为，求：动点的轨迹方程．解：以的中点为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设：，、，，反之：设是方程的解，即，以此组解为坐标的点为，，即点在曲线上，动点的轨迹方程：．求曲线方程的步骤：（1）建立平面直角坐标系（已有坐标系的省略）；（2）设点的坐标（包括未知点和已知点）；（3）找到曲线中的几何关系；（4）把几何关系代数化（）；（5）化简代数化后的方程；*（6）证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．2．曲线中基本量的熟练掌握直线：中的斜率；圆：中的圆心与半径；椭圆：中的的关系；双曲线：中的关系；抛物线：中的焦准距．例1．的三个顶点分别为、、，求：三角形三边所在的直线方程．解：，直线的方程：，，直线的方程：，，直线的方程：，例2．求：经过点且横、纵截距的绝对值相等的直线方程．解：设所求直线方程：（），则横截距为，纵截距为，由题知：，则或，直线方程：或例3．求：经过两点、且圆心在轴上的圆的方程．解：由圆的圆心在轴上可设圆心坐标为，则，即，则，，圆的方程：．例4．求：经过两点、且以线段为直径的圆的方程．解：由题知，圆心为线段的中点，即，半径，圆的方程：．例5．已知：椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，短轴长为，求：椭圆的方程．解：椭圆中，，则，椭圆方程：或例6．求：坐标轴为对称轴，离心率为，长轴长为的椭圆的方程．（或）例7．若双曲线的一个焦点是，则实数．例8．若椭圆与双曲线有共同的焦点、，是两曲线的一个公共点，则等于（C） A． B． C． D．例9．抛物线过点，则点到此抛物线的焦点的距离为．3．曲线系的运用 斜率为的直线系方程：； 过定点的直线系方程：或；与直线平行的直线系方程：；与直线垂直的直线系方程：； 与双曲线有共同双曲线的双曲线系方程：．例1．求：经过与的交点且与原点距离为的直线方程．提示：直线与的交点为，设过点的直线系方程：或，…（或）例2．求：与双曲线有共同的渐近线，且经过定点的双曲线方程．提示：设所求双曲线方程：，…（）三．几何性质（定义）的体现例1．求：经过点且到点、距离相等的直线的方程．提示：所求直线与直线平行或过线段中点，…例2．已知：直线过点且与轴及轴的正半轴分别交于、两点，求：（为原点）的面积的最小值及此时直线的方程．提示：当点为线段中点时，的面积的最小，…例3．已知：直线：，圆：（1）求证：对于直线与圆都相交；（2）当相交的弦长最短时，求：直线的方程．（）提示：直线：过定点，而点在圆内，…例4．求：经过圆：与圆：的交点且面积最小的圆的方程．（）提示：利用两个圆的方程得出交点弦的方程，交点弦即为直径，…例5．已知：直线：与圆：有两个交点、，当时（为坐标原点），求：实数的值．（）（勾股定理、圆系方程、多参方法）例6．点是椭圆上的一点，它到其中一个焦点的距离为2，为的中点，为原点，则（）CA．B．2C．4D．8提示：点、、（另一个焦点）构成三角形，是一条中位线，，…例7．已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点．若，则双曲线的离心率为（）DA．B．C．D．提示：由得到，则，…F1F2P例8．求：以椭圆的焦点为焦点，且经过直线上一点的椭圆中，长轴最短的椭圆方程．（F1F2P提示：此题可转化为在直线找一点，使得最小例9．已知直线（）与抛物线：相交于两点，为的焦点，若，求的值．提示：利用抛物线定义，由得到，即为中点，又由为中点得到，从而得到点坐标例10．已知：点为圆：上一点，求下列表达的取值范围：（１）；（引申：，）（２）；（３）．（；；）四．综合问题的处理——不是算得多而是写得多例．已知椭圆过点，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线，分别交直线于，两点,线段的中点为。记直线的斜率为，求证：为定值．解：（Ⅰ）椭圆的方程为；（Ⅱ）根据已知可设直线的方程为，设，由，得，则.直线，的方程分别为：，令，则，∴.∴.写好基本步骤：设点坐标、联立方程、带入消元、判别式、韦达定理，强调步骤、格式书写清楚．五．三年来的高考题（2023北京理）6.若双曲线（）的离心率为，则其渐近线方程为BA． B． C． D．（2023北京理）9.在极坐标系中，点到直线的距离等于.（2023北京理）3．曲线（为参数）的对称中心（）BA．在直线上B．在直线上C．在直线上D．在直线上（2023北京理）11．设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________．（2023北京理）10．若双曲线的一条渐近线为，则_______．（2023北京理）11．在极坐标系中，点到直线的距离为________．1（2023年北京卷（理））19．已知：是椭圆：上的三个点，是坐标原点.（Ⅰ）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由.解：（Ⅰ）菱形的面积是；(=2\*ROMANII)四边形不可能是菱形.（2023北京理）19．已知：椭圆，（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）椭圆C的离心率；（Ⅱ）此时直线AB与圆相切。（2023北京理）19．已知椭圆：的离心率为，点和点（）都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)点Q的坐标为或．（2023年北京文）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）CA． B． C． D．（2023年北京文）若抛物线的焦点坐标为，则____；准线方程为,（2023北京文）7．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）BA．7B．6C．5D．4（2023北京文）10．设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为．（2023北京文）2、圆心为且过原点的圆的方程是（）DA．B．C．D．（2023北京文）12、已知是双曲线（）的一个焦点，则．（2023年北京文）直线():相交于,两点,是坐标原点，(1)当点的坐标为,且四边形为菱形时，求的长；(2)当点在上且不是的顶点时,证明四边形不可能为菱形．解:(=1\*ROMANI)|AC|=；(=2\*ROMANII)略．（2023北京文）19．已知椭圆：．（