高中数学人教A版第二章数列 一等奖

2023学年江西省南昌市重点中学高一（下）4月月考数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列{an}的前几项为，则此数列的通项可能是（）A． B． C． D．2．若函数f（x）=cos（2x+φ）是奇函数，则φ可取一个值为（）A．﹣π B．﹣ C． D．2π3．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2n﹣1（n∈N+），则a2023的值为（）A．2 B．3 C．2023 D．30334．已知△ABC的边BC上有一点D满足=3，则可表示为（）A．=﹣2+3 B．=+ C．=+ D．=+5．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，a1+a2=2，a5+a6=8，则S10=（）A．16 B．32 C．40 D．626．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA=2sinBcosC，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形7．设向量，，若向量λ与向量垂直，则λ+μ=（）A． B． C．0 D．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A=sinA，bc=2，则△ABC的面积为（）A． B． C．1 D．29．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日穿（第一天挖）一尺，小鼠也日穿一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日（第几天）两鼠相逢（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知△ABC中，满足b=2，B=60°的三角形有两解，则边长a的取值范围是（）A．＜a＜2 B．＜a＜2 C．2＜a＜ D．2＜a＜211．已知O为△ABC内一点，满足4=+2，则△AOB与△AOC面积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：112．定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{sin（2x+），cos2x}，且f（x）在区间[s，t]上的值域为[﹣1，]，则区间[s．t]长度的最大值为（）A． B． C． D．π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若cos（﹣α）=，则cos（+α）=．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．15．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，2a7﹣a8=5，则S11=．16．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，与x轴交于A、B两点，与y轴交于P点，其一条对称轴与x轴交于C点，且PA=PC=2，PB=BC．则ω=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{bn}的前2n项和T2n．18．已知渡船在静水中速度的大小为m/s，河水流速的大小为2m/s．如图渡船船头方向与水流方向成夹角，且河面垂直宽度为．（Ⅰ）求渡船的实际速度与水流速度的夹角；（Ⅱ）求渡船过河所需要的时间．[提示：4+2]．19．设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b（sinB﹣sinC）+（c﹣a）（sinA+sinC）=0（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，sinC=sinB，求△ABC的面积．20．已知，，函数f（x）=cos＜，＞．（Ⅰ）求函数f（x）零点；（Ⅱ）若△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且f（A）=1，求的取值范围．21．已知平行四边形ABCD中，，，对角线AC交BD于点O，AB上一点E满足，F为AC上任意一点．（Ⅰ）求值；（Ⅱ）若，求的最小值．22．已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足2Sn=3an﹣3（n∈N+），等差数列{bn}的前n项和为Tn，且b5+b13=34，T3=9．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}的通项公式为cn=anbn，问是否存在互不相等的正整数m，k，r使得m，k，r成等差数列，且cm，ck，cr成等比数列？若存在，求出m，k，r；若不存在，说明理由．

2023学年江西省南昌市重点中学高一（下）4月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列{an}的前几项为，则此数列的通项可能是（）A． B． C． D．【考点】归纳推理．【分析】由题意，各项的分母为2，分子分别为1，6，11，16，21，可得数列的通项．【解答】解：由题意，各项的分母为2，分子分别为1，6，11，16，21，此数列的通项可能是an=，故选A．2．若函数f（x）=cos（2x+φ）是奇函数，则φ可取一个值为（）A．﹣π B．﹣ C． D．2π【考点】余弦函数的图象．【分析】利用诱导公式，三角函数的奇偶性，求得φ的值．【解答】解：∵函数f（x）=cos（2x+φ）是奇函数，∴φ=kπ+，k∈Z，故当k=﹣1时，φ=﹣，故选：B．3．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2n﹣1（n∈N+），则a2023的值为（）A．2 B．3 C．2023 D．3033【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由a2023=S2023﹣S2023，代值计算即可．【解答】解：∵Sn=2n﹣1（n∈N+），∴a2023=S2023﹣S2023=2×2023﹣1﹣2×2023+1=2故选：A4．已知△ABC的边BC上有一点D满足=3，则可表示为（）A．=﹣2+3 B．=+ C．=+ D．=+【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据向量的三角形法则和向量的几何意义即可求出．【解答】解：由=3，则=+=+=+（﹣）=+，故选：B5．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，a1+a2=2，a5+a6=8，则S10=（）A．16 B．32 C．40 D．62【考点】等比数列的通项公式．【分析】先求出首项和公比，再根据等比数列的求和公式计算即可【解答】解：设公比为q，由a1+a2=2，a5+a6=8，，解得a1=2﹣2，q=，或q=﹣（舍去），S10==62，故选：D．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA=2sinBcosC，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【考点】正弦定理．【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．【解答】解：因为sinA=2sinBcosc，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC﹣sinCcosB=0，即sin（B﹣C）=0，因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．三角形为等腰三角形．故选：A．7．设向量，，若向量λ与向量垂直，则λ+μ=（）A． B． C．0 D．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由、的坐标计算可得λ=（2λ+4μ，λ+3μ），进而由向量λ与向量垂直，分析可得（λ）•=0，化简即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，则λ=（2λ+4μ，λ+3μ），若向量λ与向量垂直，则有（λ）•=（2λ+4μ）﹣（λ+3μ）=0，即λ+μ=0；故选：C．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A=sinA，bc=2，则△ABC的面积为（）A． B． C．1 D．2【考点】正弦定理；二倍角的余弦．【分析】由已知利用二倍角余弦函数公式可求sinA，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：由cos2A=sinA，得：或﹣1（舍去），∴，故选：A．9．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日穿（第一天挖）一尺，小鼠也日穿一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日（第几天）两鼠相逢（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为=2n﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距离=2﹣，∴2n﹣1+2﹣=5，即2n﹣=4，解得n∈（2，3），取n=3即两鼠在第3天相逢．故选：C．10．已知△ABC中，满足b=2，B=60°的三角形有两解，则边长a的取值范围是（）A．＜a＜2 B．＜a＜2 C．2＜a＜ D．2＜a＜2【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可知：三角形有两个解，则满足，代入即可求得边长a的取值范围．【解答】解：由三角形有两解，则满足，∴，解得：2＜a＜，边长a的取值范围（2，），故选C．11．已知O为△ABC内一点，满足4=+2，则△AOB与△AOC面积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：1【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】利用向量的运算法则：平行四边形法则得到O为中线CD的中点，得到三角形面积的关系．【解答】解：设AB的中点为D，∵O为△ABC内一点，满足4=+2，∴﹣4=﹣+2﹣2，∴+=﹣2，∴O为中线CD的中点，∴△AOD，△BOD，△AOC的面积相等，∴△AOB与△AOC的面积之比为2：1，故选：D．12．定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{sin（2x+），cos2x}，且f（x）在区间[s，t]上的值域为[﹣1，]，则区间[s．t]长度的最大值为（）A． B． C． D．π【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】作出函数的图象，利用特殊角的三角函数值，即可得出结论．【解答】解：在同一坐标系中，作出函数f（x）=min{sin（2x+），cos2x}的图象，由cos2x=，x取，sin（2x+）=﹣1，x取π，π﹣=，即f（x）在区间[s，t]上的值域为[﹣1，]，则区间[s．t]长度的最大值为，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若cos（﹣α）=，则cos（+α）=﹣．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化解可得答案．【解答】解：∵cos（﹣α）=，则cos（+α）=cos[π﹣（）]=﹣cos（）=﹣．故答案为：．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量投影的定义，利用数量积的运算求出对应的值即可．【解答】解：单位向量的夹角为，，则在上的投影是：||cos＜，＞==•=（2﹣）•=2﹣•=2﹣1×1×1×cos=．故答案为：．15．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，2a7﹣a8=5，则S11=55．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列公差为d，根据a7+d=a8带入2a7﹣a8=5，可得a6=5，S11=可得答案．【解答】解：{an}为等差数列，设等差数列公差为d，a7+d=a8带入2a7﹣a8=5，可得a6=5，那么S11==55．故答案为：55．16．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，与x轴交于A、B两点，与y轴交于P点，其一条对称轴与x轴交于C点，且PA=PC=2，PB=BC．则ω=．【考点】余弦函数的图象．【分析】由题意利用正弦定理求得∠BCP=∠BPC=θ的值，可得∠PBA=2θ的值，判断△PAB为直角三角形，利用直角三角形中的边角关系求得AB的值，可得半个周期的值，从而求得ω的值．【解答】解：由题意PA=PC=2，可得△PAC为等腰三角形，∴∠PAB=∠PCB=θ，由PB=BC，可得∠BCP=∠BPC=θ，∴∠PBA=2θ．令PB=BC=x，则AB=2x，△PAB中，由正弦定理可得=，即=，∴=，∴sinθ=，∴θ=，∠PBA=2θ=，∴∠APB=．由PA=PC=2，∴PB=BC=，∴AB==4=，∴ω=，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{bn}的前2n项和T2n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由S3+S4=S5可得：a1+a2+a3=a5，3（1+d）=1+4d，解得d=2，由等差数列的通项公式即可求得{an}的通项公式；（Ⅱ）．T2n=1﹣3+5﹣7+…+•（2n﹣3）﹣（2n﹣1）=﹣2n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由S3+S4=S5可得：a1+a2+a3=a5，即3a2=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴3（1+d）=1+4d，解得d=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，数列{an}的通项公式an=2n﹣1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：．∴T2n=1﹣3+5﹣7+…+•（2n﹣3）﹣（2n﹣1），=（﹣2）×n，=﹣2n，数列{bn}的前2n项和T2n=﹣2n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知渡船在静水中速度的大小为m/s，河水流速的大小为2m/s．如图渡船船头方向与水流方向成夹角，且河面垂直宽度为．（Ⅰ）求渡船的实际速度与水流速度的夹角；（Ⅱ）求渡船过河所需要的时间．[提示：4+2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）方法一：（向量坐标法）以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的模以及夹角公式即可求出，方法二：（正、余弦定理），根据平行四边形法则和正弦定理和余弦定理即可求出，（Ⅱ）先求出所走的路程，即可求出所需要的时间【解答】解：（Ⅰ）方法一：（向量坐标法）以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系由条件，，知，，由，即所以所以，即所以渡船的实际速度与水流速度的夹角；（Ⅱ）由（Ⅰ）知船垂直方向速度为所以渡船过河所需要的时间s．…方法二：（正、余弦定理）（Ⅰ）如图所示，，设渡船的合速度，则由条件，，根据向量的平行四边形法则有：，，在△OAC中，由余弦定理得=，在△OAC中，由正弦定理得，得所以渡船的实际速度与水流速度的夹角；（Ⅱ）由（Ⅰ）知船所走过路程为所以渡船过河所需要的时间s．19．设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b（sinB﹣sinC）+（c﹣a）（sinA+sinC）=0（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，sinC=sinB，求△ABC的面积．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得b2+c2﹣a2=bc，由由余弦定理求角A的大小；（Ⅱ）若a=，sinC=sinB，利用三角形的面积公式，即可求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为b（sinB﹣sinC）+（c﹣a）（sinA+sinC）=0，由正弦定理得b（b﹣a）+（c﹣a）（a+c）=0，∴b2+c2﹣a2=bc，…∴由余弦定理得，∴在△ABC中，．…（Ⅱ）方法一：因为，且，∴∴，∴tanB=1，在△ABC中，又在△ABC中，由正弦定理得，∴∴△ABC的面积…方法二：因为，由正弦定理得而，，由余弦定理得b2+c2﹣bc=a2，∴∴b2=2，即，∴△ABC的面积S==…20．已知，，函数f（x）=cos＜，＞．（Ⅰ）求函数f（x）零点；（Ⅱ）若△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且f（A）=1，求的取值范围．【考点】三角形中的几何计算；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）先化简函数，再求函数f（x）零点；（Ⅱ）求出A，C，利用正弦定理，边化角，利用三角函数知识求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由条件可知：===…∴…所以函数f（x）零点满足，得，k∈Z．…（Ⅱ）由正弦定理得由（Ⅰ），而f（A）=2，得∴，又A∈（0，π），得…∵A+B+C=π，∴代入上式化简得：…又在△ABC中，有，∴，则有即：…21．已知平行四边形ABCD中，，，对角线AC交BD于点O，AB上一点E满足，F为AC上任意一点．（Ⅰ）求值；（Ⅱ）若，求的最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（I）表示出，代入平面向量的数量积公式运算即可；（II）利用余弦定理求出cos∠BAD，根据（I）得出，设，得出关于y的二次函数，从而得出最小值．【解答】解：（Ⅰ）由平行四边形ABCD知OA=OC，OB=OD，∴，，∵，∴，而，，，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，，设，由（Ⅰ），解得，即，