第二章地图的数学基础

地图的数学基础一、地球椭球体

地球自然表面是一个起伏不平，十分不规则的表面。为了寻求一种规则的曲面来代替地球的自然表面，人们设想当海洋静止时，平均海水面穿过大陆和岛屿，形成一个闭合的曲面，该面上的各点与重力方向（铅垂线）成正交，这就是大地水准面。大地水准面包围的球体，叫大地球体，它是对地球形体的一级逼近。第一节地球椭球体与大地控制由于受地球内部物质密度分布不均等多种因素的影响而产生重力异常，致使铅垂线的方向发生不规则变化，故处处与铅垂线方向垂直的大地水准面仍然是不规则的，但大地水准面从整体上看，起伏是微小的，且形状接近一个扁率极小的椭圆绕大地球体短轴旋转所形成的规则椭球体，这个椭球体称为地球椭球体。其表面是一个规则数学表面，可用数学公式表达，所以在测量和制图中用它替代地球的自然表面。地球形体的二级逼近。一、地球椭球体地球椭球体有长半径a（赤道半径）和短半径b（极半径）之分，f=(a-b)/a为椭圆的扁率。a、b、f是其三要素，决定地球椭球体的形状和大小。因推算所用资料、年代和方法不同，许多科学家所测定地球椭球体的大小也不尽相同。我国1952年以前采用海福特椭球体，从1953年起采用克拉索夫斯基椭球体，这是原苏联科学家克拉索夫斯基1940年测定的。1978年，我国决定采用1975年第十六届国际大地测量及地球物理联合会推荐的新椭球体，称为GRS(1975),建立了中国独立的大地坐标系。

由于地球椭球体长短半径差值很小，约21km，在制作小比例尺地图时，因为缩小的程度很大，如制作1：1000万地图，地球椭球体缩小1000万倍，这时长短半径之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地图时，可忽略地球扁率，将地球视为圆球体，地球半径为6371km。制作大比例尺地图时必须将地球视为椭球体。地球的形状确定之后，还需确定大地水准面与椭球体面之间的相对位置。

确定大地水准面与椭球体面之间的相对位置的方法是在地球表面适当位置选择一点p,假设椭球体和大地球体相切于P’,P’位于P点的铅垂线上，过椭球体面上p’的法线与该点对于大地水准面的铅垂线相重合，椭球体的形状和大小与大地球体很接近，从而也就确定了椭球体与大地球体的相互关系。这种与局部地区的大地水准面符合得最好的一个地球椭球体，称为参考椭球体。确定参考椭球体，进而获得大地测量基准面和大地起算数据的工作，称为参考椭球体定位。地球形体三级逼近二、大地控制

大地控制的主要任务是确定地面点在地球椭球体上的位置。包括两个方面：一是点在地球椭球体面上的平面位置，即经度和纬度；二是确定点到大地水准面的高度，即高程。1.地理坐标系地理坐标系：用经纬度表示地面点位的球面坐标系。在大地测量学中有三种描述：天文经纬度：天文经度即本初子午面与过观测点的子午面所夹的二面角；天文纬度即过某点的铅垂线与赤道面间的夹角。天文经纬度通过天文测量方法得到，可作为大地测量中定向控制及校核数据之用。大地经纬度：大地经度（L）指过参考椭球面上某一点的大地子午面与本初子午面之间的二面角，大地纬度（B）是指过参考椭球面上某一点的法线与赤道面的夹角。大地经纬度是以地球椭球面和法线为依据，在大地测量中得到广泛采用。地图学中常采用大地经纬度。地心经纬度：地心经度等同于大地经度，地心纬度是指参考椭球面上的任意一点和椭球体中心连线与赤道面之间的夹角。地理研究和小比例尺地图制图对经度要求不高时常采用此经纬度。2.我国的大地坐标系统1954年北京坐标系：1954年，我国将原苏联采用克拉索夫斯基椭球元素建立的坐标系，联测并经平差计算引申到我国，以北京为全国大地坐标原点，确定了过渡性大地坐标系，称1954北京坐标系。缺点是椭球体面与我国大地水准面不能很好地符合，误差较大。2.我国的大地坐标系统1980年国家大地坐标系：1978年采用新的椭球体参数GRS(1975)，以陕西省西安市以北泾阳县永乐镇某点为国家大地坐标原点，进行定位和测量工作，通过全国天文大地网整体平差计算，建立了全国统一的大地坐标系，即1980年国家大地坐标系。优点：椭球体参数精度高；定位采用的椭球体面与我国大地水准面符合好；天文大地坐标网传算误差和天文重力水准路线传算误差都不太大，而且天文大地坐标网坐标经过了全国性整体平差，坐标统一，精度优良，可以满足1：5000甚至更大比例尺测图的要求等。与当今社会发展存在的矛盾：①坐标维的矛盾。随着卫星定位导航技术在我国的广泛使用，二维不能适应现代的三维定位技术；②精度的矛盾。卫星定位技术可达10-7～10-8的点位相对精度，而西安80系只能保证3×10-6；③坐标系统（框架）的矛盾。数字地球的发展要求用户需要提供与全球总体适配的地心坐标系统。3.高程系高程控制网的建立，必须规定一个统一的高程基准面。我国利用青岛验潮站1950～1956年的观测记录，确定黄海平均海水面为全国统一的高程基准面，并在青岛观象山埋设了永久性的水准原点。以黄海平均海水面建立起来的高程控制系统，统称“1956年黄海高程系”。1987年，因多年观测资料显示，黄海平均海平面发生了微小的变化，由原来的72.289m变为72.260m，国家决定启用新的高程基准面，即“1985年国家高程基准”。高程控制点的高程也发生微小的变化，但对已成图上的等高线的影响则可忽略不计。4．大地控制网大地控制网由平面控制网和高程控制网组成。包括具有精确测定平面位置和高程的典型的具有控制意义的点，它是测制地图的基础。平面控制网采用平面控制测量确定控制点的平面位置，即大地经度（L）和大地纬度（B）。其主要方法是三角测量和导线测量。4．大地控制网三角测量：在平面上选择一系列控制点，建立三角网，经测量由已知推算未知。为达到层层控制的目的，由国家测绘主管部门统一布设一、二、三、四等三角网。一等三角网是全国平面控制的骨干，由近于等边的三角形构成，边长在20～25km左右，基本上沿经纬线方向布设；二等三角网是在一等三角网的基础上扩展的，三角形平均边长约为13km，这样可以保证在测绘1:10万、1:5万比例尺地形图时，每150km2内有一个大地控制点，即每幅图至少有3个控制点；以此类推，保证不同比例尺地图的精度。三角测量示意图4．大地控制网导线测量：把各个控制点连成连续折线，然后测定这些折线边长和转角，最后根据起算点坐标及方位角推算其它点坐标。包括：一种是闭合导线；另一是附合导线。建立大地控制网时，通常要隔一定距离选测若干大地点的天文经纬度、天文方位角和起始边长，作为定向控制及校核数据使用，故大地控制网又有天文大地控制网之称。高程控制网是在全国范围内按照统一规范，由精确测定了高程的地面点所组成的控制网，是测定其它地面点高程的基础。表明地面点高程位置的方法有两种：绝对高程，即地面点到大地水准面的高度。相对高程，即地面点到任意水准面的高度。建立高程控制网的目的是为了精确求算绝对高程，即高程。水准测量借助水准仪提供的水平视线来测定两点之间的高差，是建立高程控制网的主要方法。两点之间的高差H=a-b，设HA为已知点的高程，则待求点的高程HB=HA+H三、全球定位系统GPS（globalpositioningsystem）是美国国防部开发的星际全球无线电导航系统，它可为全球范围的飞机、舰船、地面部队、车辆、低轨道航天器，提供全天候、连续、实时、高精度的三维位置、三维速度以及时间数据。GPS应用于测量工程与经典大地测量相比的优势：①观测站之间无需通视；②定位精度高；③提供三维坐标；④操作简便；⑤全天候作业。GPS的组成主要有空间星座部分、地面监控部分和用户设备部分组成卫星导航系统工作原理1.空间星座GPS卫星星座由24颗卫星构成，均匀分布在6个轨道面内，每个轨道面有4个卫星；卫星轨道面与地球赤道面的倾角为60º；轨道平均高度20183km，卫星运行周期11小时58分。保证至少可以同时接收到4颗卫星的定位数据。2.地面监控部分监控站主控站注入站2.地面监控部分主控站一个，设在美国的科罗拉多的斯普林斯。主控站负责协调和管理所有地面监控系统的工作，包括：根据所有地面监测站的观测资料推算编制各卫星的星历、卫星钟差和大气层修正参数等，并把这些数据及导航电文传送到注入站；提供全球定位系统的时间基准；调整卫星状态和启用备用卫星等。2.地面监控部分注入站又称地面天线站，主要任务是通过一台直径为3．6m的天线，将来自主控站的卫星星历、钟差、导航电文和其它控制指令注入到相应卫星的存储系统，并监测注入信息的正确性。注入站现有3个，分别设在印度洋的迭哥加西亚、南太平洋的卡瓦加兰和南大西洋的阿松森群岛。2.地面监控部分夏威夷设有一个监测站。主要任务是连续观测和接收所有GPS卫星发出的信号并监测卫星的工作状况，将采集到的数据连同当地气象观测资料和时间信息经初步处理后传送到主控站。地面监控系统除主控站外均由计算机自动控制，勿需人工操作。各地面站间由现代化通讯系统联系，实现了高度自动化和标准化。3.用户设备部分GPS接收机GPS数据处理软件微处理机及终端设备欧洲伽利略卫星导航定位系统2002年3月24日，欧盟首脑会议批准了建设伽利略卫星导航定位系统的实施计划。由于在科索沃战争以及阿富汗战争期间，欧洲军队使用GPS技术事实上都受到了限制。因此，欧盟首脑们意识到：“如果放弃伽利略计划，我们将在今后20-30年间失去防务上的主动权。”此外，伽利略计划带来的经济利润也是不容忽略的。欧盟的一项研究预测表明，发展伽利略卫星导航定位技术，仅在欧洲就可以创造出14万多个就业岗位，每年创造的经济收益将会高达90亿欧元，到2020年，伽利略系统的经济收益将达到740亿欧元。2008年年底，建成（27+3）伽利略卫星工作星座。我国已成为建设伽利略系统的合作伙伴，并于2004年1月10日，在长江上进行了EG－NOS欧洲静地卫星导航重叠系统的动态应用测试，为合作建设伽利略系统进行科技准备。俄罗斯的GLONASS1995年俄罗斯耗资30多亿美元，完成了GLONASS导航卫星星座的组网工作。它也由24颗卫星组成，分布在3个轨道平面上，每个轨道平面有8颗卫星，原理和方案都与GPS类似。GLONASS一开始就没有加SA干扰，GLONASS导航定位精度较低，约为30—100米，测速精度0.15米/秒。其应用普及情况远不及GPS，这主要是俄罗斯没有开发民用市场；另外，GLONASS卫星平均在轨道上的寿命较短，由于经济困难无力补网，在轨可用卫星少，不能独立组网。“北斗一号”卫星导航定位系统我国独立自主的卫星导航定位系统；我国已建立完善的卫星导航定位系统；区域卫星导航定位系统2004年5月25日零时34分，“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心成功将第三颗“北斗一号”导航定位卫星送上太空。前两颗分别于2000年10月31日和12月21日发射升空。这两颗卫星运行至今，导航定位系统工作稳定，状态良好，取得了显著效益。这次发射的“北斗一号”是导航定位系统的备份星。它与前两颗“北斗一号”工作星组成了中国完整的卫星导航定位系统，确保全天候、全天时提供卫星导航信息。它标志着中国已建立了完善的第一代卫星导航定位系统。对中国国民经济建设和国防建设的进一步发展将发挥重要作用。“北斗一号”与GPS和GLONASS使用范围不同：“北斗一号”是区域卫星导航系统，只能用于中国及其周边地区；而GPS和GLONASS都是全球导航定位系统，在全球的任何一点，只要卫星信号未被遮蔽或干扰，都能接收到三维坐标。卫星数量和轨道不同：“北斗”是3颗，位于高度近3.6万Km的地球同步轨道。GPS和GLONASS是24颗，位于2万Km高度，分别在6个和3个轨道面上。定位原理不同：“北斗”是用户先发射需定位的信号，通过卫星转发至地面控制中心，控制中心解算出位置后再通过卫星转发给用户；而GPS和GLONASS只需要接收4个卫星的位置信息，由自己解算出三维坐标。“北斗”本身是两维导航系统，仅靠2颗星的观测量尚不能定位，观测量的取得及定位解算均在地面中心站进行，卫星和用户机需具有转发或收发信号功能，这实际上也就具有了一定的通信功能。GPS的应用主要体现在GPS卫星定位和导航：静态定位和动态定位。在飞机、轮船、车辆上广泛应用的导航就是一种广义上的动态定位。第二节地图比例尺地球与地图的大与小的矛盾一、地图比例尺的概念当制图区域比较小，景物缩小的比例也比较小时，这时不论采用何种投影，图上各处长度缩小的比率都可以看成是相等的，地图比例尺的含义可以理解为图上长度与地面相应水平长度之比。（1/M=d/D，d为地图上线段的长度，D为地面上相应直线距离的水平投影长度，M为比例尺分母）当制图区域相当大，制图时对景物的缩小比率也相当大，在这种情况下采用的地图投影比较复杂，地图上的长度也因地点和方向不同而有所变化。在这种情况下所注明的比例尺含义，其实质是在进行地图投影时，对地球半径缩小的比率，称为地图主比例尺，地图经过投影后，地图上只有个别的点或线没有长度变形。其它大于或小于主比例尺的比例尺称为局部比例尺。地图比例尺的精确定义：地图上沿某方向的微分线段和地面上相应微分线段水平长度之比。二、地图比例尺的形式传统地图上的比例尺通常有以下几种表现形式数字式比例尺：如“1∶10000”文字式比例尺：如“图上1厘米等于实地1千米”图解比例尺：直线比例尺斜分比例尺复式比例尺。二、地图比例尺的形式直线比例尺是以直线线段形式标明图上线段长度所对应的地面距离。二、地图比例尺的形式斜分比例尺，是一种根据相似三角形原理制成的图解比例尺，利用这种斜分比例尺，可以量取比例尺基本长度单位的百分之一。它是由纵、横两种分划组成的复合比例尺，纵分划为斜线，横分划及其注记与直线比例尺相同。使用时，先在图上用量角规卡出欲量线段的长度，再到复合比例尺上比量。比量时：每上升一条水平线，斜线的偏值将增加0.01基本单位；量角规的两脚务必位于同一水平线上。二、地图比例尺的形式复式比例尺又称投影比例尺，是一种根据地图主比例尺和局部比例尺组合成的一种图解比例尺。地图投影使得不同部位长度变形程度不同，复式比例尺既有适用于没有变形的点或线上的直线比例尺（主比例尺），又有对每条纬线或经线单独设计的直线比例尺。

特殊比例尺变比例尺：当制图的主区分散且间隔的距离比较远时，为了突出主区和节省图面，可将主区以外部分的距离按适当比例相应压缩，而主区仍按原来规定的比例尺表示。无级别比例尺：是一种随数字制图的出现而与传统的比例尺系统相对而言的一个新概念，并没有一个具体的表现形式。在数字制图中，由于计算机或数据库里可以存贮物体的实际长度面积体积等数据，并且根据需要可以很容易按比例任意缩小或放大这些数据，因此没有必要将地图数据固定在某一比例尺上。三、地图比例尺的作用比例尺决定着地图图形的大小：同一地区，比例尺越大，地图图形越大，反之，则小。反映地图的量测精度：正常人的视力只能分辨出地图上不小于0.1mm的两点之间的距离，0.1mm是将地物按比例尺缩绘成图形时可以达到的精度极限，称比例尺精度或极限精度。1:1万，水平量测精度1m，比例尺越大，地图的量测精度越高。比例尺决定地图内容的详细程度：比例尺愈大，地图内容愈详细，符号尺寸亦可稍大些；反之，地图内容则愈简略，符号尺寸相应减小。第三节地图投影概述地球球面与地图平面之间的矛盾一、地图投影的概念1.地图投影研究的对象：地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，已经形成了一门独立的学科。2.地图表面和地球球面的矛盾：地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要直接展成平面，必然发生断裂或褶皱。将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，都是有裂隙的。3.地图投影的概念球面上任一点的位置用地理坐标（φ、λ）表示，而平面上点的位置用直角坐标（x,y）或极坐标（r，θ）表示，所以要将地球球面上的点转移到平面上，必须采用一定的数学方法来确定地理坐标与平面坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。二、地图投影的基本方法1.几何投影（透视投影）：假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。地图投影面除平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光源除位于球心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫几何投影或几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平面矛盾的方法。二、地图投影的基本方法2.数学解析法：随着科学的发展，几何透视法远不能满足编制各类地图的需要，出现了解析法。解析法是不借助于几何投影光源（而仅仅借助于几何投影的方式），按照某些条件用数学分析法确定球面与平面点与点之间一一对应的函数关系。

X=f1(φ、λ)Y=f2(φ、λ)函数f1、f2的具体形式，是由给定的投影条件确定的。有了这种对应关系，就可把球面上的经纬网交点表示到平面上了。

球面上任意一点的位置决定于它的经纬度，实际投影时是先将一些经纬线的交点展绘在平面上，再将相同经度的点连成经线，相同纬度的点连成纬线，构成经纬线网。有了经纬线网，就可以将球面上的地理事物，按其所在经纬度，用一定的符号画在平面上相应位置处。地图投影的实质是将地球椭球面上的经纬网按一定的数学法则转移到平面上。经纬线网是绘制地图的“基础”，是地图的主要数学要素。三、地图投影的变形1.地图投影变形的概念由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，无论采用什么投影，投影后经纬网形状与球面上的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发生了变形，而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物也必然发生了变形。为正确使用地图，必须了解投影后产生的变形，所以变形问题是地图投影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布规律，具有重大的实际应用价值。2.研究变形的方法研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的。为了研究变形，首先让我们分析一下地球仪上经纬网的特点：所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。经线表示南北方向；纬线表示东西方向。经线和纬线是相互垂直的。纬差相等的经线弧长相等；同一纬线上经差相等的纬线弧长相等，不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极缩小。同一纬度带，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。3.投影变形的相关概念（1）变形椭圆在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除在接触点位置外，一般情况下为椭圆，下面我们用数学方法验证一下。

设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度（为1），M(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为：x2+y2=1A位于以经纬线为直角坐标轴X、Y的坐标系上，X’、Y’为投影后坐标轴，A‘(x’，y’)是A(x，y)的投影，令经线长度比为m，纬线长度比为n，则:x’/x=m，y’/y=n——〉x=x’/m，y=y’/n(x,y)为圆上一点，将其代入圆的方程，得：x’2/m

2+y’2/n

2=1这是一个椭圆方程，这就证明了椭球体面上的微小圆，投影后为椭圆。故叫做变形椭圆。

研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，说明变形性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长短半径方向之间，长度比μ，为b<μ<a;椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变形;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。dabcd’oo’a’b’c’

（2）主方向由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的微小线段投影后一般不一定正交，例如设o是球面上一点，过o作两条垂线ac和bd，投影后为a’c’和b’d’。即地球面上角aob和角boc为直角，投影后分别为锐角a’o’b’和钝角b’o’c’。

主比例尺和局部比例尺平常地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定比例尺缩小，如制1:100万地图，将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，则1:100万就是地图的主比例尺。由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。思考是否存在没有长度变形的投影？四、地图投影的分类地图投影的种类很多，由于分类的标志不同，分类的方法也不同。按变形性质分类等角投影等积投影任意投影按构成方法分类几何投影条件投影按变形性质分类（1）等角投影（正形投影）：角度变形为0，地球面上的微小圆经过投影后仍为相似的微小圆，其形状保持不变，只有长度和面积变形。等角投影的条件是：ω=0sin(ω/2)=(a—b)/（a+b)=0a=b，m=n等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不同地点长度比不一定相同。多用于编制航海图、洋流图、风向图等地形图。（2）等积投影：投影后图形保持面积大小相等，没有面积误差。也就是球面上的不同地点微小圆投影后为面积相等的各个椭圆，但椭圆的形状不一样。因此有角度和长度变形。等积投影条件：Vp=P―1＝0；P=1（P=ab，所以a=1/b或b=1/a）由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。按变形性质分类按变形性质分类（3）任意投影：任意投影是既不等角也不等积的投影。这种投影的特点是面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。在任意投影中，有一种特殊的投影，叫做等距投影，其条件是，m=1。即变形椭圆上的一个半径和球面上相应微小圆半径相等。

等角投影等积投影等距投影任意投影如图表示各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆的形状。通过比较可以看出：①等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等积特性。②任意投影不能保持等积、等角特性。③等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形比较大。按构成方法分类（1）几何投影把地球球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面而得到的，根据几何面的形状，可进一步分为如下几类：①方位投影以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆，切点或相割的割线无变形。这种投影适合作大致为圆型的制图区域。方位投影总结特点：投影平面上，由投影中心（平面与球面的切点）向各方向的方位角与实地相等，其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆。绘制地图时，总是希望地图上的变形尽可能小，且分布较均匀。一般要求等变形线最好与制图区域轮廓一致。因此，方位投影适合绘制区域轮廓大致为圆形的地图。从区域所在的地理位置来说，两极地区和南、北半球图采用正轴方位投影；赤道附近地区和东、西半球图采用横轴方位投影；其他地区和水、陆半球图采用斜轴方位投影。按构成方法分类②圆柱投影以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。正轴圆柱投影总结特点：经纬线互相垂直直线，经纬线方向是主方向。切圆柱投影，赤道是一条没有变形的线，离开赤道越远变形越大，等变形线与纬线平行，称平行线状分布。适合绘制赤道附近和沿赤道两侧呈东西方向延伸地区的地图。按构成方法分类③圆锥投影以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。双标准纬线等角圆锥投影，广泛应用于中纬度地区的分国地图和地区图。例如“中国地图集”各分省图就是用的这种投影。“世界地图集”大部分分国地图采用该投影。世界上有些国家如法国、比利时、西班牙也都采用此投影作为地形图的数学基础。此外西方国家出版的许多挂图地图集中已广泛采用等角圆锥投影。圆锥投影总结特点：纬线是同心圆弧，经线是放射状直线束，经纬线互相垂直，经纬线方向是主方向。等变形线是平行与纬线的同心圆弧，离开标准纬线越远变形越大。适合绘制中纬度沿东西方向延伸地区的地图。思考题：编制中国教学地图为什么多采用双标准纬线等距圆锥投影？伪圆锥伪圆柱按构成方法分类（2）条件投影不借助于任何几何面，根据一定的条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬网形状又可分为伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影和多圆锥投影等。多圆锥等差分纬线多圆锥投影特点：赤道和中央纬线是互相垂直的直线，其他纬线是对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线上，其他经线为对称于中央经线的曲线，每一条纬线上各经线间的间隔，随离中央经线距离的增大而逐渐缩小按等差递减。极点为圆弧，其长度为赤道的1/2。我国地图出版社于1963年设计的一种不等分纬线的多圆锥投影。是我国编制“世界地图”常用的一种投影。投影的变形性质属任意投影。我国绝大部分地区的面积变形在10%以内，面积比等于1的等变形线自东向西横贯我国中部。中央经线与南北44度纬线交点处没有角度变形，我国绝大部分地区角度变形最大在10度以内，少数地区在13度左右，我国位于地图中央，图形较正确，图形上太平洋保持完整，利于显示我国与邻近国家的水陆联系地图出版社用这一投影编制过数种比例尺的世界政区图和其他类型的世界地图。第四节几种投影介绍

一、墨卡托投影等角正轴切圆柱投影是荷兰地图学家墨卡托于1569年所创，所以又称墨卡托投影。一、墨卡托投影赤道投影为正长，纬线投影成和赤道等长的平行线段，即离赤道越远，纬线投影的长度也越大，为了保持等角条件，必须把地图上的每一点的经线方向上的长度比和纬线方向上的长度比相等。所以随着纬线长度比的增加，相应经线方向上的长度比也得增加，并且增加的程度相等。所以在墨卡托投影中，从赤道向两极，纬线间隔越来越大。一、墨卡托投影墨卡托投影中，面积变形最大，在纬度60度地区，经纬线比都扩大了2倍，面积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈接近两极，经纬线扩大的越多，在φ=80度时，经纬线都扩大了近6倍，面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高纬通常不绘。该投影被广泛应用于航海和航空方面，因为等角航线（或称斜航线），在此投影中表现为直线，等角航线是地球表面上与经线相交的相同角度的曲线，或者说地球上两点间的一条等方位线，船只要按等角航线航行，不用改变方位角就能从起点到达终点。一、墨卡托投影由于经线收敛于两极，所以地球表面上的等角航线是除经线和纬线以外，以极点为渐近点的旋转曲线，因墨卡托投影是等角投影，且经线投影为平行直线，则两点间的等方位螺旋线在投影中是连接两点的一条直线。一、墨卡托投影等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，这一点对于航海航空具有重要意义。因为有这个特征，航行时，在墨卡托投影图上只要将出发地和目的地连一直线，用量角器测出直线与经线的夹角，船上的航海罗盘按照这个角度指示船只航行，就能达到目的地。一、墨卡托投影但等角航线不是地球上两点间的最短距离，地球上两点间的最短距离是通过两点的大圆弧，（又称大圆航线或正航线）。大圆航线与各经线的夹角是不等的，因此它在墨卡托投影图上为曲线。一、墨卡托投影远航时，沿着等角航线，走的是一条较远路线，不太经济，但船只不必时常改变方向；大圆航线是一条最近的路线，但船只航行时要不断改变方向。如从非洲的好望角到澳大利亚的墨尔本，沿等角航线航行，航程6020海里，沿大圆航线是5450海里，相差570海里（约1000公里）。实际远洋航行时，一般把大圆航线展绘到墨卡托投影的海图上，然后把大圆航线分成几段，每一段连成直线，就是等角航线。船只航行时，总的情况来说，大致是沿大圆航线航行。因而走的是一条较近路线，就每一段来说，走的又是等角航线，不用随时改变航向，从而领航十分方便。二、桑逊投影法国人桑逊1650年所创的等积伪圆柱投影，纬线为间隔相等的平行线，经线为对称与中央经线的正弦曲线，每条纬线上经线间隔相等。所有纬线长度比均等于1，纬线无长度变形，中央经线长度比等于1，其他经线长度比均大于1，且离中央经线越远，其数值越大。赤道和中央经线是两条没有变形的线离开这两条线变形越大，适合作赤道附近南北延伸的地区地图。三、摩尔魏特投影德国人摩尔魏特1805年设计的经线为椭圆曲线的等积伪圆柱投影。纬线是从赤道向南、北间隔逐渐缩小的平行直线，中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的同中心椭圆，离中央经线经差正负90度的经线为一个圆，圆面积等于地球面积的一半。同一纬线上经线间隔相等。没有面积变形，赤道长度是中央经线的2倍，中央经线和南北纬40度的两交点没有变形，这两点向外变形逐渐增大。在国外，这种投影常用在地图集和地理课本封面上，英国1962年出版的飞利浦世界地图集中的世界地图采用这种投影。四、古德投影从伪圆柱投影的变形情况来看离中央经线越远变形越大，为了减小远离中央经线部分的变形增大，美国地理学家古德于1923年提出了一种分瓣方法，就是在地图上几个主要制图区域的中央都定一条中央经线，将地图分为几个部分，按同一主比例尺及统一的经纬差展绘地图，然后沿赤道拼接起来，这样每条中央经线两侧投影范围不宽，变形就小一些。五、摩尔魏特—古德投影为进一步保证大陆完态性，克服桑逊投影高纬部分变形大的缺憾，采取分瓣组合投影的方法，在海洋部分断裂，在南北纬40度之间采用桑逊投影，40度以外采用摩尔魏特投影，构成摩尔魏特—古德投影，国外出版的世界地图集中的世界地图经常采用这种投影，如美国出版的古德世界地图集中的世界各种自然地图，大多采用古德投影。六、彭纳投影纬线为同心圆弧，长度比等于1，中央经线为直线，长度比等于1，其他经线为对称于中央经线的曲线；在每一条纬线上的经线间隔相等，在中央经线上纬线间隔相等，中央经线与所有的纬线正交。中央纬线与所有的经线正交。无面积变形，中央经线和中纬线是两条无变形线，离开两条线越远变形越大。等积伪圆锥投影，它是由法国水利工程师彭纳于1952年首先提出并应用于法国地形图而得名。主要用于编制小比例尺的大洲图。2.5地图的分幅与编号2.5.1地图分幅1.矩形分幅2.经纬线分幅2.5.2地图编号常见的编号方式有：自然序数编号和行列式编号二、地形图的分幅与编号（旧）为了保管和使用方便，每一种基本比例尺地形图都规定有