第3章 理想不可压缩流体平面流

第3章理想不可压缩流体平面位流3．1理想不可压缩流体平面位流的基本方程3．2几种简单的二维位流3．2．1直匀流3．2．2点源3．2．3偶极子3．2．4点涡3．3一些简单的流动迭加举例3．3．1直匀流加点源3．3．2直匀流加偶极子3．3．3直匀流加偶极子加点涡3．4二维对称物体绕流的数值解本章讨论怎样求解不可压理想流体无旋运动的规律。在理想不可压条件下欧拉方程和连续方程包括四个方程和四个未知函数（u,v,w,p），理论上是可解的由于飞行器的外形都比较复杂，要在满足如此复杂的边界条件下求该偏微分方程组的解析解是非常困难的，原因在于方程包含非线性项，而且方程中速度与压强相互耦合，需要一并求出人们发现在无旋条件下问题可以得到大大简化，尤其是可以将速度和压强分开求解，这是因为无旋条件可使关于速度位的方程化为线性方程，从而便于单独求得速度位即求出速度，而压强可利用伯努利方程求解本章的思路是，先针对理想不可压无旋流求得一些典型的速度位基本解，将这些基本解进行叠加得到满足非常简单边界条件的流动。对复杂外形的绕流，介绍用基本解进行叠加的数值解法大意§3．1平面不可压位流的基本方程

有无旋条件，就有位函数φ

存在，并且位函数与速度分量之间满足：平面流动的连续方程是：结合两式，得平面不可压位流必须满足的方程：该方程称为拉普拉斯方程，是个只与速度有关的线性方程，给定适当边界条件方程是容易求解的。1.位函数φ

及流函数ψ

所满足的方程对于二维不可压缩流动，微分形式的质量方程可以写为：

数学上这是使成为某个函数ψ的全微分的充要条件，即

或：代入无旋条件：也满足拉普拉斯方程：这也是只与速度有关的线性方程，给定边条容易求解。位函数与流函数的关系称为柯西－黎曼条件：2.叠加原理拉普拉斯方程可用算子▽2

表为▽2φ＝0。它是个线性方程，可以用叠加原理求复合的解。所谓叠加原理是说如果有分别满足拉普拉斯方程，则这些函数的线性组合也必满足拉普拉斯方程：此外，由于速度分量与位函数之间的关系是线性的因此也满足叠加原理：而压强与速度间关系为非线性故不满足叠加原理3.边界条件边界条件是在流场边界上规定的条件，边界通常分为内边界和外边界。对飞行器或物体而言，内边界即飞行器或物体表面，外边界为无穷远。数学上满足拉氏方程的函数称为调和函数。故要找一代表具体的定常不可压理想位流运动，就是要找一个能符合具体流动边界条件的调和函数，求出位函数或流函数之后，即可求出速度分布，然后用伯努利方程求解压强分布。按照在边界上所给条件是针对位函数自身还是位函数的法向导数，边界条件分为三种类型：（1）第一边值问题（狄利希特问题）：给出边界上位函数自身值（2）第二边值问题（诺曼问题）：给出边界上位函数的法向导数值（3）第三边值问题（庞卡莱问题）：给出部分边界上位函数自身值，部分边界上位函数的法向导数值气动问题大多数属于第二边值问题将坐标系与飞行器或物体固连，则外边界在远离物体处，速度为V∞，内边界是物体表面，不允许流体穿过或表面法向速度为零外边界内边界n为物面法向可以证明，拉普拉斯方程的解若在给定边界上能满足上述条件，则解是唯一的求不可压理想无旋流绕物体的流动问题就转化为求解拉普拉斯方程的满足给定边条的特解这一数学问题位函数Φ的性质小结速度位函数由无旋条件定义，位函数值可以差任意常数而不影响流动。(2)速度位函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度分量，速度位函数沿着流线方向增加。(3)对于理想不可压缩无旋流动，速度位函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，满足解的线性迭加原理。(4)速度位函数相等的点连成的线称为等位线，速度方向垂直于等位线。(5)连接任意两点的速度线积分等于该两点的速度位函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两点的位置。对封闭曲线，速度环量为零。流函数Ψ的性质小结(1)流函数由平面不可压缩连续条件定义，流函数值可以差任意常数而不影响流动。(2)等流函数线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量方向重合。(3)对于理想不可压缩无旋流动，流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，解也满足叠加原理。(5)平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线的流量。(4)等流函数线与等位线正交。xyABdso位函数Φ和流函数Ψ之间满足柯西-黎曼条件：速度分量与位函数和流函数之间的关系是：§3．2几种简单的二维位流

§3．2．1直匀流直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为流动是无旋的，由速度位全微分积分可得位函数：又可求出流函数：

流线与等位线是正交的如图

常用的是这样的直匀流，它与x轴平行，从左面远方流来，流速为。

此时§3．2．2点源点源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。源可以有正负。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有Vr，而没有Vθ。xy位于原点的点源实验演示的点源设半径为r处的流速是Vr，那末这个源的总流量是流量是常数，故流速Vr

与半径成反比

x、y向的速度可分别写为代入速度与位函数关系可积分求位函数。比较简便的是利用极座标下位函数与速度的关系：由

位函数由上式积分得：（注：等位线Φ＝C是一系列同心圆）流函数由积分得：（注：流线ψ＝c1即θ＝c2

是一系列射线）此外注意上式中θ的值域为[-2π,2π],但反正切函数的值域为[-π/2,π/2]，故两种表达有一定区别。xy如果源的位置不在坐标原点，而在A（ξ,η）处，则相应的速度分量为：除奇点处速度无定义之外，流场其他区域都是是无旋的。点源加1/2强度点汇点源加等强度点汇偶极子§3．2．3偶极子.

p§3．2．3偶极子等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放在（-h，0）处，汇放在（0，0）处。从源出来的流量都进入汇，流动情况如图:其中θ1、θ2

分别是点P与源和汇的连线与正x的夹角应用叠加原理，位函数和流函数如下现在我们考虑一种极限情况，当h→0但同时Q 增大，使保持不变的极限情况。这时位函数变成显然等位线Φ=C是一系列圆心在x轴上的圆，且都过原点。除奇点处速度无定义之外，流场其他区域都是是无旋的。求流函数：上述位函数可写为:利用极座标下流函数与位函数的关系：对Ψ积分得：即：显然流线ψ=C是一些圆心在y轴上的圆，且均过原点。两个分速的表达式是合速要注意偶极子有轴线方向，上述布于x轴上的正负源形成的偶极子其轴线在－x方向，对于指向正x方向的偶极子，上述位函数、流函数和速度分布都要改变符号。如果偶极子轴线和x轴成θ角，正向指向第三象限如图所示，在x’y’坐标系中的位函数及流函数可写为：y’x’xy根据二坐标系的旋转变换关系：代入上述位函数和流函数表达，并注意到坐标旋转时向径不变：x’2+y’2=x2+y2，得到在(x,y)坐标系中的偶极子：如果偶极子位于（ξ，η），轴线和x轴成θ角，正向指向第三象限，则

y’x’xyξηθ实际旋涡包含有旋的涡核和涡核外的被诱导的无旋流场。rVθ＝ωrVθ＝k/rr0p实际旋涡的涡核内为有旋流涡核外为无旋流白色粉末显示实际旋涡的周向诱导速度随半径增大而减小涡核诱导流场§3．2．4点涡§3．2．4点涡点涡可以看成实际旋涡的涡核直径趋于零时的一种极限情况，除涡所在一点外，整个平面流场是无旋的，流体被点涡诱导绕点涡作圆周运动，流线是一些同心圆，流速只有周向速度，而没有径向速度。绕点涡的环量Γ是个确定的常数，例如绕半径为r的圆环作环量计算，有：

式中的是个常数称为点涡的强度，反时针方向为正。从而周向速度与离开中心点的距离r成反比：rVθ这与无限长涡线产生的诱导速度一致。由几何条件可立刻写出u

、v

分量：xyuvVθθ位函数可由上式代入等后积分求出，但方便的还是利用极座标关系：积分后得：显然等位线Φ=C是一系列射线求流函数可由极座标下流函数与位函数的柯西－黎曼关系：积分得：显然流线ψ=C是一系列同心圆，可见点涡与点源的位函数与流函数只是对调了一下（上述负号只是代表涡转向）。如果点涡的位置不在原点，而在（ξ，η），则点涡的位函数和流函数的式子分别是：

事实上沿任意形状的围线计算环量，值都是，只要这个围线把点涡包围在内。但不包含点涡在内的围线，其环量却是等于零的。点涡是实际旋涡的一种数学近似。点涡的速度在半径r→0时将使Vθ→∞势必使压强p→－∞，这是不现实的，这时粘性必然要起作用，因此实际的旋涡存在一个涡核，核内流体Vθ与半径成正比为有旋流，核外为无旋流。实际涡核尺寸与粘性和涡强弱有关，一般不大，故数学上抽象为一个点，形成点涡模型。直匀流：xy基本解位函数、流函数小结：ab§3．3一些简单的二维位流迭加举例

用基本的位流解可叠加成不同的流动，例如用二点源可形成如下的模拟壁面的流动：实验演示二等强度点源模拟固璧用固壁代替右端点源实验演示的直均流加点源用曲线固壁代替点源用直均流加点源可模拟如下半无限壁面的流动：在一个平行于x轴由左向右流去的直匀流里，加一个强度为Q的源会产生如图的流动把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是：§3．3．1直匀流加点源在x轴上有一个合速度为零的点称为驻点A，令即得驻点xA坐标为：两个分速是此处速度为零是因为点源速度恰好与直匀流速度相互抵消。该速度分布的特点之一是x~±∞时，u~V∞，v~0。我们可以把外部流动看作是在直匀流中放了一个BAB′那样形状的物体所造成的流动，反过来也可认为绕该物体的流动可以用直匀流加点源来构造。该半无限体在+x无限远处，其宽度（y向尺寸）趋向一个渐近值D。过驻点A的流线BAB′是一条特殊的流线，把流场划分成为两部分。外面的是直匀流绕此围墙的流动，里面的是源流在此围墙限制之内的流动。流线BAB′的形状可以根据流函数ψ=c画出来，也可以从流量关系推算出来。由流函数表达：

由驻点坐标（y=0,θ=π)定常数c，得c＝Q/2，从而得流线BAB′的方程为：用直角坐标表达，注意到反正切的值域为[-π/2,π/2]：

该流线与y轴交于处，当即流线在无穷远处趋于宽度为的直线。

从物理上这个结果很好理解，从源流出的流量只能限制在围线中，由速度分布知：而源的流量为Q，以速度V∞流过时将占据宽度D=Q/V∞

另一方面，流线BAB′的方程：可写为：左边是直匀流V∞流过高y=rsinθ的宽度的流量，右边则是从中心角为（π－θ）中流出的流量，二者相抵消，从而得流线方程的极座标表达为：通常将压强表为无量纲的压强系数，其定义是当地静压减去来流静压再除以来流的动压头（这样得到的结果与来流参数具体值p∞、V∞

无关，具有通用性）：

流场上的压强可以用伯努利公式表达出来：得到表面压强系数的表达为：将速度分布和表面流线几何关系代入上式得到表面压强系数的结果为：Cp

沿x轴分布的曲线特点如图：直均流加变强度点源直均流加等强度点源、点汇用分布的点源、点汇构造物面直均流加偶极子实验演示的直均流加点源和点汇的其他例子§3．3．2直匀流加偶极子设直匀流平行于x轴，由左向右流。再把一个轴线指向负x的偶极子放在坐标原点处。这时，将产生如图绕圆的流动：

流函数是：

流动的位函数是：圆的半径可从驻点A的坐标定出，令：解得：从而位函数和流函数分别写为：

Ψ=0是一条特殊的流线，这时sinθ=0，即或，这就是x轴线，还有圆表面：r=a。两个分速的式子是：用在的圆上时，有：将上述速度分布代入压强系数可得：该压强系数的分布特点如图：绕圆流动在表面上只有周向速度，没有径向速度：可见在θ＝π/2处速度达到最大为2V∞。

达朗培尔疑题达朗培尔（D’Alembert，18世纪法国著名数学家）提出，在理想不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻力都是零。这个结论不符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流体力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处理实际流动是没有什么价值的。后来才知道，这样撇开粘性来处理问题，是一种很有价值的合乎逻辑的抽象，它能使我们把影响流动的各种因素分开来看清楚。譬如，早期由经验得出来的良好翼型，最大的升阻比不过是几十比一，后来在位流理论指导下，设计出来的翼型的最大升阻比竟达三百比一。这就是无粘抽象的指导意义。粘性流体绕圆柱的流动显示实验粘性流体绕圆柱的数值模拟xy§3．3．3直匀流加偶极子加点涡在直匀流加偶极子的流动之上再在圆心处加一个强度为（–）的点涡（顺时针转为负），将形成如下图的流动这时位函数和流函数分别是：在极坐标下，两个分速是：

仍是一条流线。在这个圆上：

可见由于引入环量－Г，在θ＝π/2处的最大速度将大于2V∞。或写出驻点的直角坐标表达：∵

驻点的位置现在不在θ=π和θ=0处了，其位置可从定出来：∴xy

θs在第三和第四象限内，前后驻点对y轴是对称的。这个角度离开π和0的多少决定于环量Γ对4πaV∞之比值；Γ越大，驻点越往下移。当点涡强度变大到Γ=4πaV∞

时，θs

=－π/2，二个驻点在－π/2处重合。当点涡强度进一步增大使Γ﹥4πaV∞

时，驻点将离开圆柱表面，且位于圆柱之下。xy下图给出几种不同点涡强度下驻点位置图画：显然，有环量的绕圆流动其左右仍是对称的，但上下已不对称了，因此在垂直于来流的y方向合力就不会为零。垂直于来流方向的空气动力分力称为升力，可以通过沿圆柱表面压强积分（利用伯努利方程将压强表为速度分布后积分求得），或者利用动量方程求出合力。§3．3．4库塔-儒可夫斯基定理下面从动量定理出发计算绕圆柱的有环量流动的升力。以原点为中心，画一个半径为r1很大的控制面S，整个控制面还包括圆的表面S1以及连接S和S1的两条割线(第二类控制体)。注意这两条割线上的压力和动量进出都对消了。S1上的压力积分是物体所受的合力。受力情况左右对称，不会有X方向合力。仅计算Y方向合力L即可。设彻体力略去不计、流动定常，根据动量方程圆柱所受到的升力L可表为：第一个积分中的p按伯努利公式用速度来表达，结果得：

在r1大圆上，，∴第二个积分得：结果与r1大小无关，总之合力L等于来流的密度ρ乘速度V∞

再乘以环量Γ。方向等于把直匀流的指向逆着环流转π/2，称为升力，该结果称为库塔-儒可夫斯基升力定理。所以:

考虑到速度、环量和升力之间的向量关系，升力定理可写为：只要是封闭物体，代表其作用的正负源强度总和必须等于零，在远离物体的地方其作用和一个偶极子没有什么区别,说明物形对升力没有直接的关系，关键在于必须有绕物体的环量存在。有了环量又有一个直匀流，便有了升力。环量之所以能产生一个Y向的合力，也可以从圆柱体上的压力分布直接看到。其中有环量和无环量绕流情况作了对比。无环量时，上半圆（θ由π至0）上的压力分布和下半圆（θ由π至2π）上的压力分布对称，结果是合力为零。有环量时，上半圆上的负压远远超过下半圆上的负压，所以有一个向上的合力，即升力。这个力的来源主要靠上半圆上的吸力。足球中的弧线球现象就是环量产生升力的例子之一：机翼的特殊形状使它不用旋转就能产生环量，上部流速加快形成吸力，下部流速减慢形成压力。§3．4二维对称物体绕流的数值解下面用解二维对称物体绕流的例子来说明奇点叠加数值解法的应用。无迎角的对称物体没有升力，根据上述分析和演示，提示我们把直匀流和分布的偶极子（或总强度为零的分布的点源和点汇，无环量）叠加起来，得到组合流动——对称封闭物体绕流。

设直匀流速度为V∞，在x轴上(a,b)范围内，连续分布单位长度内强度设为m（x）的偶极子。称为偶极子密度。该组合流动对任一空间点p(x,y)处的流函数为：对这种无升力物体的外形可以用零流线来表示，改变不同的偶极子密度分布，可以获得不同形状的封闭物体。由流函数与速度的关系确定速度分布，由速度与压强的关系即伯努利方程确定压强分布。对于实际问题，往往是给定物体的外形来确定其流动的特性。待求方程是一个积分方程，求它的解是比较困难的，但是随着计算机技术的发展，可以用数值方法比较迅速地获得这种方程的有一定准确度的数值解。二维对称物体绕流数值解法步骤首先，我们把偶极子分布区域分成等宽度的n段，设每段的宽度为△ξ，段数n可根据计算机容量及结果的准确度要求而确定。某一定点P(x,y)处流函数为：

式中为第j段的中点离原点的距离；为第j段内偶极子密度的平均值；表示第j段内偶极子的强度。用物面边界条件来确定待求的偶极子密度（现在即物面为零流线，满足Ψ＝0），对于给定物体外形上的n

个已知点（xi，yi），就可以得到一个对未知函数的n

元一次联立代数方程组： 其中Cij

为影响系数，表示处的单位偶极子密度对物体表面某点Pi(xi，yi)

处的流函数的贡献。展开上式，即

利用解一次方程组的各种计算方法，求解上面方程组，确定偶极子密度mj。

一旦解得所给定物体外形的偶极子密度分布，则可确定流场内任意点处的流函数，此后可由流函数与速度的关系及伯努利方程，确定流场内各点处的速度及压强值。在上述过程中，我们实际上是把第j段中分布的偶极子用集中在该段中点处的等强度的偶极子来代替了。显然，如果分段数量较多，这种近似表示才有一定的准确性。理论上，当段数n趋于无限大时，偶极子密度分布的数