第4章最小二乘法

4.4分段插值法给定

(x∈［-5,5］)。取等距节点xi=-5+i(i=0,1,…,10),试建立插值多项式L10(x),并作图形,观察L10(x)对f(x)的逼近效果。分段三次埃尔米特插值为了避免Runge现象的发生,很自然地会想到把区间［-5,5］等分为10个小区间,在每一个小区间内应用低次插值。但由于每个小区间只有两个端点（插值节点）,按照已知的方法,得到的将是一个分段线性插值函数。

已知xi,f(xi),f'(xi)(i=0,1,…,n),求分段三次插值函数H(x)满足

H(xi)=f(xi),H'(xi)=f'(xi) i=0,1,…,n为了得到插值函数,考虑任意子区间xi,xi+1］,i∈(0,1,…,n-1),采用Lagrange插值函数结构,在第i个子区间上H(x)=f(xi)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f'(xi)h3(x)+f'(xi+1)h4(x)

这样，就把H(x)的构造问题转化为四个插值基函数hk(x)(k=1,2,3,4)的构造问题。

4.5三次样条插值

“样条”一词本来是指在飞机或轮船设计过程中为了描绘出光滑的外形曲线所用的一种工具，即一个具有弹性的细长木条。事实上，在作了某些近似简化后，样条的数学模型并不复杂，它只是分段的三次多项式曲线：在相邻两块压铁之间是三次多项式曲线；在压铁处，左右两段曲线的切线和曲率是连续的。

定义给定［a,b］的分划：a=x0<x1<…<xn=b,如果函数s(x)在区间［a,b］上满足以下条件：（1）在每一个子区间（xi,xi+1）(i=0,1,…,n-1)上s(x)是三次多项式；（2）s(x)在区间［a,b］上具有二阶连续导数；（3）s(xi)=yi(i=0,1,…,n),s'(x0)=y'0,s′(xn)=y'n。称s(x)为三次样条函数。

曲线拟合法

设一组观测数据为xx0x1x2x3…xnyy0y1y2y3…yn

其中xi≠xj(i≠j),我们要根据这一系列数据找出函数关系y=f(x)。若用插值函数φ(x)代替函数关系f(x),要求满足插值原则

φ(xi)=f(xi),i=0,1,2,…,n

由于观测点和观测数据本身就有误差,就会使函数保留这些误差,而影响逼近函数的精度。

在实际问题中,往往并不要求近似函数φ(x)所表示的曲线通过这些观测点,而只要求由已知数据(xi,yi)(i=0,1,…,n)找出x,y之间的依赖关系,使得近似函数φ(x)能充分地反映函数y=f(x)的大致面目,也即与f(x)有最好的拟合(或逼近)。这就是曲线拟合问题。例如,已知数据x012345y11.62.12.43.23.4我们可以用近似函数

图4.4

因为曲线拟合问题并不要求满足插值原则

φ(xi)=yi,i=0,1,2,…,n

故在节点x0,x1,x2,…,xn上φ(x)与f(x)有误差

ri=φ(xi)-yi,i=0,1,2,…,n

称ri为用φ(x)拟合f(x)的偏差。我们仅对φ(x)为多项式情形进行讨论。

当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数在数据点处的偏差,(i=1,2,…,m)严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和最小,此即称为最小二乘原理•最小二乘法的求法•最小二乘法的几种特例例题

例设有一组数据表x1345678910y2781011111098试用二次多项式来拟合这组数据。解首先算出

的值分别为53,76,489,381,3547,3017,25317,然后得到正则方程组9α0+53α1+381α2=7653α0+381α1+3017α2=489381α0+3017α1+25317α2=3547

解得

α0=-1.4597,α1=3.6053,α2=-0.2676

因此所求的二次多项式

P2(x)=-1.4597+3.6053x=0.2676x2

给出的数据和二次多项式表示的曲线见图4.5。

图4.5

最后必须指出,在实际问题中,近似函数φ(x)的选取只能凭经验得到。例

(1)加速度与时间的关系是线性关系,可选取

φ(x)=α0+α1x(2)炮弹在空中的高度与时间的关系近似于抛物线,可选取

φ(x)=α0+α1x+α2x2此外,当φ(x)不是多项式时,如(1)幂函数

φ(x)=axb(2)指数函数

φ(x)=aebx(3)对数函数

φ(x)=a+blnx

例求一个经验函数

φ(x)=aebx(a,b为常数)

使它能和下面给出的数据相拟合。x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6解对经验公式两边取对数得

lnφ(x)=lna+bx

令

A=lna,B=bu=lnφ(x)

则

u=A+Bx

可算得

于是得到正则方程组