第2章-时变电磁场

第2章时变电磁场亥姆霍兹定理的基本内容一个矢量场只可能有两种源——旋度源和散度源，此外，再无其它类型的源。若在给定边界空间中，一个矢量场的旋度和散度都给定了，则该矢量场的解是唯一确定的。已知在电磁场中矢量A的散度源矢量A的旋度源边界条件电流密度J电磁场唯一地确定电荷密度边界条件为电导率:为介电常数:，其中为磁导率:，其中本构关系式（与媒质有关的特性方程）第2节麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组的积分形式直观地给出了方程的物理意义2.1麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组是电磁现象的基础，可以用来解释所有的电磁现象。麦克斯韦（1831--1879)，伟大的英国物理学家、数学家。麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。麦克斯韦在前人成就的基础上，对整个电磁现象作了系统、全面的研究，将电磁场理论用简洁、对称、完美数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典电动力学主要基础的麦克斯韦方程组。据此，1865年他预言了电磁波的存在，并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出结论：光是电磁波的一种形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。麦克斯韦于1873年出版了科学名著《电磁理论》。系统、全面、完美地阐述了电磁场理论。这一理论成为经典物理学的重要支柱之一。建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。法拉第电磁感应定律：导体回路l中的感应电动势等于该回路所围面积的磁通量的时间变化率的负值。麦克斯韦方程组第一方程法拉第(1791－1867)，英国物理学家、化学家，也是著名的自学成才的科学家。法拉第于1831年发现了电磁感应定律。这一划时代的伟大发现，使人类掌握了电磁运动相互转变以及机械能和电能相互转变的方法，成为现代发电机、电动机、变压器技术的基础。

法拉第于1833-1834年连续发现电解第一和第二定律，为现代电化学工业奠定了基础。1845年发现磁致旋光效应（法拉第效应）。法拉第名言：希望你们年青的一代，也能象蜡烛为人照明那样，有一分热，发一分光，忠诚而踏实地为人类伟大的事业贡献自己的力量。

法拉第被称为是19世纪最伟大的实验物理学家，他的照片在1991年至2001年时，被印在20元的英镑纸币上麦克斯韦修正的安培环路定律：磁场强度沿闭合回路l的环流量等于通过l所包围面积的传导电流与位移电流。麦克斯韦方程组第二方程—传导电流密度—位移电流密度—全电流密度安培(1775～1836)，法国物理学家。安培最主要的成就是1820～1827年对电磁作用的研究：①发现了安培定则；②发现电流的相互作用规律；③发明了电流计；④提出分子电流假说；⑤总结了电流元之间的作用规律——安培定律。安培被誉为“电学中的牛顿”。

高斯电场定律：电场通过闭合曲面S的净通量等于S所包围体积V中的总电荷。麦克斯韦方程组第三方程—体电荷密度高斯磁场定律：通过闭合曲面S的磁通量横为零。麦克斯韦方程组第四方程高斯磁场定律说明磁单极子不存在。SBNS2.2麦克斯韦方程组的微分形式描述了空间电磁场与场源之间的关系高斯（1777～1855），德国数学家、物理学家。在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高斯被誉为“数学王子”。高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。

物理意义：任何从一闭合面流出的电流都意味着该闭合面内的电荷的减少量。电荷既不能被创造也不能被消灭，可表达为：电荷守恒定律电荷密度与电流密度的关系电流连续性方程可由麦克斯韦第二、第三方程导出：反映了电荷和电流之间满足电荷守恒定律。电流连续性方程的推导麦克斯韦方程组实际上是由法拉第电磁感应定律、安培环路定律和高斯定律构成。完整描述电磁场的特性同时需要法拉第电磁感应定律、安培环路定律、高斯定理和电荷守恒定理。关于麦克斯韦方程组微分形式的几点讨论：只适用于场量和源一阶可微的情况，否则只能利用积分形式反映了场与源之间的局部特性J为磁场的旋度源之一，ρ为电场的散度源(磁场无散度源)，时变电场与时变磁场互为对方的旋度源满足线性叠加原理便于计算限定形式的麦克斯韦方程组(H)=0(E)=麦克斯韦方程组的正弦稳态相量形式第3节电磁场定理静电场和恒定磁场的特性积分形式微分形式电位移矢量的通量特性-电场的高斯定理静电系统的守恒定理静电场的守恒特性：当电荷在电场中移动一周时，电场力所做的功为零，电场能量既不增加也不减少。说明当场源一定时，电场也为固定值。静电场的基本方程积分形式微分形式磁感应强度的通量特性-磁场的高斯定理恒定磁场与电流的关系恒定磁场的基本方程对点电荷q产生的电场任取一闭合面积分：q在S内q在S外证明：一、电场的高斯定理若S内有N个点电荷q1、q2、…qN，则将点电荷推广到分布电荷v、S、l，可得注意：方程右边的被积函数及积分区域均是左边的闭合面所包围的,如当闭合面内充满体电荷时，的外包围面即是S对上式应用散度定理，可得高斯定理的微分形式：高斯定理的一般积分形式：这表明：电位移矢量在空间某点的变化率等于电荷的体密度。静电场的散度源是电荷，电荷密度不为零的点能发出或汇聚电力线。注意：E应在体积中连续适于解决：由电场分布求解体积中的体电荷密度。q⊖-q由一个闭合面内穿出的电通量等于闭合面所包围的全部体积内的净电荷量。D适于解决：平面对称、轴对称、球对称的电场问题。

闭合面外的电荷对场的影响电力线的性质：▲

E线不能相交;▲

E线愈密处，场强愈大;▲

E线与等位线（面）正交；▲

E线起始于正电荷，终止于负电荷;▲

E线的方向即为电场的方向。求线电荷密度为l的无限长带电直线的电场。解：（1）建立适当的坐标系电荷分布具有轴对称性，选柱坐标系（2）分析场的分布特征zaP(,z)电场沿径向分布，只有E分量，E=aE（3）根据场分布作一闭合面——高斯面取高度为1的闭合圆柱面，即S=aS侧+azS上底

-azS下底

（4）代入高斯定律中计算：即l0时例无限大平面均匀带电，电荷面密度为，求电场强度。解：（1）电荷分布具有平面对称性，选取直角坐标系（2）均匀面电荷产生的电场垂直于带电平面（3）以带电平面为对称面，作一平行六面体，设其侧面面积为S。xs0结论：无限大均匀带电平面在两侧产生反向均匀电场-xOxS例半径为a的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场为求电荷密度

(r)。解：例磁场高斯定理的积分形式为：应用散度定理，可得高斯定理的微分形式：二、磁场的高斯定理表明磁场为无散场磁通连续性方程电流回路

c产生的磁场为在此磁场中任取一闭合面(BC)A=B(CA)nB求磁感应强度穿过任意闭合面的通量证明：IdldBaRdBaRIdl=0B=0(BC)A=B(CA)

磁通连续性原理穿出闭合曲面的磁通量恒为零。这意味着所有的磁力线都是闭合的，即磁场中没有独立的源(孤立的磁荷)存在。磁场高斯定律的物理意义：

磁力线的性质：•B线是闭合的曲线;•B线不能相交；•闭合的B线与交链的电流成右手螺旋关系；•B强处，B线稠密，反之，稀疏。一载流导线I

位于无限大铁板上方的磁场分布（B线）长直螺线管磁场的分布（B线）两根异向长直传输线的磁场分布两根同向长直传输线的磁场分布两对上下放置传输线的磁场分布两对平行放置传输线的磁场分布三、原始的安培环路定律安培环路定律的积分形式（I与c呈右手螺旋关系时为正，反之为负）安培环路定律的微分形式表明磁场是有旋度的场，给出了源和场之间的关系。当电流连续分布时，利用斯托克斯定理，得安培定律的物理意义：磁场强度沿任意闭合路径的环流量等于回路所包围的电流的代数和。安培定律表明：磁场的涡旋源是电流，磁场是有旋场。半径为

a的无限长直导体圆柱均匀通过电流

I，计算导体内外的B。解：⑴电流分布具有轴对称性，选柱坐标⑵分析磁场的分布zaI⑶沿磁感应线取B的线积分沿

方向a时a时例解：选用圆柱坐标系，试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。例由上例由上例得与安培环路的交链的电流为3)R2≤<R32)R1≤<R21)0≤<R1四、修正的安培环路定律引入位移电流位移电流位移电流为时变电场的变化所引起的真实的电的流动，其密度定义为：定义——位移电流密度——位移电流——全电流密度引入位移电流的意义⒈从数学公式上将电和磁对偶起来⒉在理论上直接推论出电磁波的存在⒊在理论上宣告电磁场理论体系基本构建完成修正的安培环路定律解：忽略极板的边缘效应和感应电场位移电流密度位移电流电场传导电流与位移电流已知平板电容器的面积为S,相距为d,介质的介电常数，极板间电压为u(t)。试求位移电流

id；传导电流

iC与id的关系是什么?例一个点电荷q绕O点以角速度匀速转动，求O点的位移电流密度。O点的电位移矢量为解：例qrOaraJd海水的电导率为=4S/m

，r=81F/m，求f=1MHz时传导电流与位移电流的比值。解：设例讨论——良导体——良介质——理想导体——绝缘体SNABKnBc,e,i五、法拉第电磁感应定律涡旋电场电动势的定义：Ein——感应电场，也称涡旋电场，非保守场总电场E=Ec+Ein

1.法拉第电磁感应定律的积分形式㈠S不随时间变化——静止系统S以速度v运动——运动系统沿闭合回路产生的感应电动势等于穿过这个回路所包围的总的磁通量的时间变化率。2.法拉第电磁感应定律的微分形式㈠静止系统（e，E）：回路以速度

v相对磁场运动（e，E）：3.法拉第电磁感应定律的积分形式㈡——感生电动势——动生电动势4.运动系统中的法拉第电磁感应定律总结引起磁通变化而产生电场的原因有三类：称为感生电动势，这是变压器工作的原理，又称为变压器电势。•回路不变，磁场随时间变化感生电动势称为动生电动势，这是发电机工作原理，又称为发电机电势。•回路切割磁力线，磁场不变动生电动势•磁场随时间变化，回路切割磁力线

实验表明：感应电动势e与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感应电流产生。第4节边界条件4.1不同媒质分界面上的边界条件1，12，1nh12H2H1H1tH2tlcE2E1E2tE1t1，12，2h12B2B1B1nB2nSD2D1D2nD1nn边界条件总结任何分界面两侧的电场强度的切向分量总是连续的任何分界面两侧的磁感应强度的法向分量总是连续的分界面上存在面电荷时，电位移矢量的法向分量不连续分界面上存在面电流时，磁场强度的切向分量不连续对于时变电磁场，只要电场强度的切向分量满足边界条件，那么磁感应强度的法向分量的边界条件也必然满足；若磁场强度的切向分量满足边界条件，则电位移矢量的法向分量也必然满足边界条件。所以求解电磁场时，只需应用电场强度和磁场强度的切向分量边界条件即可。4.2理想介质表面的边界条件0，ρs

=Js

=0，nρs

=Js

=0E0H4.3理想导体表面的边界条件，E2

=0B、H

与t无关，可看作附加的恒定磁场，不予考虑，nD2

=E2

=0EH⊗Js----------结论⑴理想导体外侧的电场只可能有法向分量；⑵理想导体外侧的磁场只可能有切向分量；⑶理想导体内不能存在电磁场；电磁波投射到其表面时总是发生全反射而没有功率进入导体。同轴线内导体半径a=1mm，外导体半径b=4mm，内充均匀介质r=1，r=2.25，=0。已知内外导体之间①验证此电磁场满足理想导体的边界条件；②求出单位长度内外导体上分布的l(a)、l(b)和面电流i(a)

、i(b)。

解：①E=aE→n满足

Et

=0H=aH→t满足

Hn

=0例②第5节电磁场能量一、时域的玻印廷定理J外源=0玻印廷矢量（能流矢量）EHS玻印廷定理完纯介质中，=0物理意义：外界经闭合曲面S流入V内