第六章拉压杆件的应力变形分析及强度设计xin

1第六章拉压杆件的应力变形分析与强度设计§6-1

轴向拉压概念与实例§6-2

轴向拉压杆的内力、应力及变形分析§6-5轴向拉压杆系的超静定问题§6-3材料在拉压时的力学性能§6-4轴向拉压杆的强度计算2活塞杆FFF厂房的立柱工程桁架一、轴向拉压的工程实例

§6-1轴向拉压概念与实例3二、轴向拉压的概念（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。（1）受力特点：FN1FN1FN2FN2外力合力作用线与杆轴线重合。以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。ABCF4§6-2

轴向拉压杆的内力、应力及变形分析一、轴向拉压杆横截面的内力——轴力（用FN

表示）6-2-1轴向拉压杆的内力与应力5推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式二、轴向拉压杆横截面的应力1、实验：变形前受力后FF2、变形规律：横向线——仍为平行的直线，且间距增大。纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。3、平面假设：（1）变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截面沿杆轴线作相对平移，即仍垂直于杆的轴线。（2）纵向线互不挤压，即单向受力。6横向线——仍为平行的直线，且间距增大。纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。拉伸7横向线——仍为平行的直线，且间距减小。纵向线——仍为平行的直线，且间距增大。压缩85、应力的计算公式：——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式4、应力的分布规律——应力沿横截面均匀分布F单位，6、拉压杆内最大的正应力：等直杆：变直杆：97、正应力的符号规定——同内力拉应力为正值，方向背离所在截面。压应力为负值，方向指向所在截面。8、公式的使用条件(1)轴向拉压杆，即外力的合力作用线与杆件的轴线重合。(2)只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面。关于加力点附近区域的应力分布和应力集中的概念详见教材P118。(3)横截面沿轴线变化，但变化缓慢，外力作用线与轴线重合，如图所示。P/2(4)也适用于阶梯杆，但要分段求。10三、轴向拉压杆任意斜截面上应力1、斜截面上应力确定(1)内力确定：(2)应力确定：①应力分布——均布②应力公式——FNa-F=0FFFFFNaFNa根据变形规律，杆内各纵向线变形相同，因此，斜截面上各点受力也相同。截面法设杆的横截面面积为A，则斜截面面积为：这是斜截面上的全（总）应力112、符号规定⑴a：斜截面外法线与x轴的夹角。由x轴逆时针转到斜截面外法线——“a”

为正值；由x轴顺时针转到斜截面外法线——“a”为负值。⑵σa：同“σ”的符号规定⑶τa：在保留段内任取一点，如果“τa”对该点之矩为顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。aF正应力剪应力为横截面正应力斜截面上的总应力123、斜截面上最大应力值的确定,横截面上。,450斜截面上。FFNa由上述分析可知，杆件受拉或压时，横截面上只有正应力；斜截面上既有正应力又有剪应力。而且，对于不同倾角的斜截面，其上正应力和剪应力各不相同。13讨论：1、2、即横截面上的正应力为杆内正应力的最大值，即与轴线成45°的斜截面上切应力达到最大值，3、即纵截面上的应力为零，且与正应力相等。而切应力为零。因此在纵截面不会破坏。14

例题1杆OD左端固定，受力如图，OC段的横截面面积是CD段横截面面积A的2倍。求杆内最大轴力，最大正应力，最大切应力及其所在位置。O3F4F2FBCD15解：1、作轴力图3F2FF（在OB段）O3F4F2FBCDFN可见：162、分段求（在CD段）3、求CD段与杆轴成45°的斜面上。3F2FFFNOBCD17例2图示矩形截面（b

h）杆，已知b=2cm

，h=4cm，

P1=20KN，P2=40KN，P3=60KN，求AB段和BC

段的应力。ABCP1P2P3P1N1压应力P3N2压应力18例3图示为一悬臂吊车，BC为实心圆管，横截面积A1=100mm2，AB为矩形截面，横截面积A2=200mm2，假设起吊物重为Q=10KN，求各杆的应力。ABC解：首先计算各杆的内力：需要分析B点的受力QF1F2B19ABCBC杆的受力为拉力，大小等于F1AB杆的受力为压力，大小等于F2由作用力和反作用力可知：最后可以计算的应力：BC杆：AB杆：QF1F2BF’1F’1F’2F’220例4木立柱承受压力P=14KN，木柱截面积（2）计算木柱的正应力求木柱顺纹方向切应力大小及指向。（1）计算木柱的内力:FN=－P（3）计算顺纹方向的切应力Pστ30oC压应力21例5图所示吊环由斜杆AB、AC与横梁BC组成，α=20°，斜杆的直径d=55mm，材料为锻钢，已知吊环的最大吊重P=500KN，求斜杆内的应力。解：1.内力分析设斜杆A处受力为FN。节点A的受力如右图所示。2.确定斜杆的应力（轴力为-FN）：PFNFNααA226-2-2

轴向拉压杆的变形计算一、轴向拉压杆的变形分析1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。231、轴向变形：（1）轴向线应变：（2）虎克定律:（虎克定律的另一种表达方式）EA——抗拉（压）刚度

DL——伸长为正，缩短为负ΔL=L1－L，在弹性范围内,又因为：所以：242、横向变形：横向线应变：μ为横向变形系数（泊松比）在弹性范围内：25(1)等直杆受图示载荷作用，计算总变形（各段EA均相同）二、轴向拉压杆的轴向变形计算26（2）阶梯杆，各段E、A不同，计算总变形。

27以上两种情况下轴向变形公式的适用条件①线弹性②L长度内，FN、E、A为常数(均匀变形)（3）轴向变形的一般公式28拉压杆轴向变形计算公式：均匀变形分段均匀变形非均匀变形拉压杆横向变形计算公式：29例1解：分段求解试分析杆AC的轴向变形

Dl，各段EA相同。30F2FaaABCFNxF3F例2：已知杆件的E、A、F、a。求：△LAC

；εAB

（AB段的线应变）。解：1)画FN

图：2)计算：负值表示位移向下31例3

已知：l=54mm，di=15.3mm，E＝200GPa，

m=0.3，拧紧后，Dl

＝0.04mm。

试求：(a)螺栓横截面上的正应力

s

(b)螺栓的横向变形

Dd32解：1)求横截面正应力2)

螺栓横向变形

螺栓直径缩小

0.0034mm33三、计算桁架节点的位移桁架——一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构。一般具有三角形单元的平面或空间结构，桁架的优点是杆件主要承受轴向拉力或压力，从而能充分利用材料的强度，在跨度较大时可比实腹梁节省材料，减轻自重和增大刚度，故适用于较大跨度的承重结构和高耸结构，如屋架、桥梁、输电线路塔、卫星发射塔、水工闸门、起重机架等。由于桁架中的杆件变形，造成杆件的铰接点位移。求解时注意利用小变形条件，“以切代弧”。PABC三角支架节点A的位移为A=AA’lBCAA’lABKH由三角形AKA’：例如：注意：节点位移与杆伸长是两个不同的概念。BCPA’KHA解：1.求各杆内力:例题4求:B点的位移

如图三角架ABC，若已知，，2.各杆变形:

P3.求B点位移:作位移图：以切线代圆弧例题4B点铅垂位移

：B点水平位移：

37

力学性能：材料在受力后表现出的变形和破坏特性§6-3材料在拉压时的力学性能材料通常可分为塑性（韧性、延性）材料和脆性材料两大类。塑性材料是指断裂前要产生较大塑性变形的材料，如低碳钢、铜和铝等；脆性材料是指断裂前产生的塑性变形很小的材料，如铸铁、石料和玻璃等。不同的材料具有不同的力学性能38拉伸标准试样压缩试件——很短的圆柱型：

h=(1.5~3.0)dhd材料的力学性能可通过实验得到——常温静载下的拉伸压缩试验39万能试验机40拉伸试验与拉伸图

(F-Dl

曲线

)41σOεaebdc低碳钢轴向拉伸时的力学性能(四个阶段)一、塑性（韧性）材料在拉伸时的力学性能421、弹性阶段该段内变形在外力撤销后会完全消失;发生的变形均为弹性变形。ｂ点所对应的应力是弹性阶段的最高值，弹性极限是材料只出现弹性变形的极限值；σOεaebdcσe(oab段)43比例极限σOεaebdc比例极限是应力-应变之间服从胡克定律的应力的最大值。在弹性阶段内有一段特殊的直线段在该段内σ、ε之间呈线性关系,称为比例阶段，也称为线弹性阶段；在线弹性阶段内应力－应变之间满足（虎克定律）Ｅ称为材料的弹性模量；E=线弹性阶段ａ点对应比例阶段的最高应力；Oa段，tgσP一般钢材:E=200GPa。44注意(１)只有工作应力时，σ、ε之间才服从胡克定律(２)时，但仍为弹性变形；胡克定律不再成立，

(３)由于、相差不大，、工程中并不严格区分。ab段内452、屈服阶段σOεaebdc(bc段)当应力超过弹性极限后到达某一数值时，应变而应力在曲线上出现接近水平线的小锯齿形线段。应力基本保持不变，屈服阶段所发生的变形显著增加；先是下降，屈服或流动：主要是塑性变形；然后作微小波动，而应变显著增加(塑性流动阶段)46屈服阶段的最高应力，最低应力;上屈服极限的数值：：是下屈服极限，较稳定，屈服极限与试件的形状、加载速度等因素有关，能够反映材料的力学性能。屈服极限：一般是不稳定的。σOεaebdc上屈服极限、下屈服极限：σs屈服极限塑性材料的一个重要的强度指标。47表面磨光的试件会看到这是由于晶格之间发生相对错动而形成的,由最大切应力引起。45°滑移线：45o当试件内的应力接近材料的屈服极限时，注意：试件开始出现塑性变形。与轴线大约成45°角的滑移线；48σOεaebdc材料在拉伸破坏之前所能承受的最大应力，强度极限过屈服强度以后，要使它继续变形，必须增大拉力。强化阶段所发生的变形：大部分为塑性变形，也有一小部分的弹性变形。强化阶段中最高点d点所对应的应力,σb材料又恢复了抵抗变形的能力;是衡量材料强度的另一个重要指标。3、强化阶段(cd段)强度极限：49σOεaebdc4、颈缩阶段(de段)（局部变形阶段）由于横截面面积减小，欲使试件产生变形，曲线呈下降趋势;到达ｅ点试件被拉断。拉力也相应减小，试件内的应力超过强度极限后，在试件的某局部范围内，形成颈缩现象。横向尺寸急剧缩小，断面位于横截面，由最大正应力引起破坏低碳钢拉伸破坏断口——形状为杯锥状。50②屈服极限当试件内应力达到材料的屈服极限试件开始出现塑性变形；当试件内应力达到材料的强度极限试件出现颈缩现象。5、塑性材料力学性能的三类指标（１）强度指标胡克定律成立；③强度极限时，当（线弹性范围）①弹性极限或比例极限51（２）弹性指标：弹性模量Ｅ；（３）塑性指标①延伸率δ：试件的变形量与原长的比值×100％；工程中称为塑性材料；低碳钢的延伸率为脆性材料；平均值约为20％－30％；52拉断后颈缩处截面的变化量与试件原始截面面积的比值×100％。②断面收缩率ψ：53546、卸载定律及冷作硬化（１）卸载定律试件被拉伸超过屈服阶段到达强化阶段的某一点k，如果逐渐卸载，在卸载过程中，应力与应变之间呈线性关系，且与弹性阶段的直线近似平行，即直线kk’k’ghmσoεdkeδ55δ

代表了该种材料的延伸率。(2)变形分析k’ghmσoεdkek点所对应的总变形:Og段K点的弹性变形k’g段ok’段在拉断点e点处：试件的总变形ohmh部分om为卸载后不再消失的塑性变形；弹性变形塑性变形是卸载后不再消失的塑性变形；δ56（3）冷作硬化试件经过卸载后再加载，试件会沿k’kde被拉断;与未卸载的试件相比：比例极限提高；（k点对应）相应的塑性性能降低材料的脆性——冷作硬化。增加；（延伸率减小）；σdekk’δδ’在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后短期内又继续加载，材料的比例极限提高而塑性变形降低的现象。57另一方面冷作硬化使材料变脆，7、合理利用工程中采用冷作硬化提高材料的弹性阶段，如：起重机的钢索和建筑用的钢筋常采用冷拔工艺来提高强度；容易产生裂纹，往往在工序中安排退火，以消除材料的脆性。58二、其他塑性(韧性)材料在拉伸时的力学性能高碳钢（T10A）黄铜（H62）无屈服阶段和颈缩阶段；无屈服阶段；对于塑性材料的重要强度指标是屈服极限59对于没有明显屈服极限的塑性材料，名义屈服极限产生0.2％的塑性应变时的应力为名义屈服极限规定：各类碳素钢中，随含碳量的增加，强度极限相应提高，屈服极限但延伸率δ降低；如：合金钢、工具钢、高强度钢材的屈服极限很高，但塑性性能较差。εσ0.2O黄铜0.2%σ60但在工程中铸铁的拉应力不能很高，铸铁拉伸破坏特点应力－应变曲线为一段微弯曲线;无明显的直线部分，无屈服、无颈缩现象;在较小的应力下被拉断；拉断前的变形小，(1)(2)延伸率很小，是典型的脆性材料；(3)割线弹性模量：由于没有明显的直线阶段，弹性模量E的数值随应力的大小而变。在较低的拉应力的作用下，可近似认为服从胡克定律。三、脆性材料拉伸时的力学性能（灰口铸铁）61通常取曲线的割线代替曲线的开始部分，脆性材料只有唯一的强度指标(4)强度极限以割线的斜率作为弹性模量E，称为割线弹性模量；试件拉断时所能承受的最大应力；(5)断面：位于横截面上；由最大拉应力引起破坏；(6)铸铁的抗拉性能如何？不抗拉。σσbt62故国内企业采用球墨铸铁代替钢材制作曲轴、齿轮等。处理：铸铁经过热处理，微观组织变成球状，即经过球化处理成为球墨铸铁后，力学性能有显著变化：不但有较高的强度，还有较好的塑性性能；球墨铸铁灰口铸铁63①屈服阶段以前，1、低碳钢压缩时的力学性能拉压曲线大致重合，拉压时的弹性模量Ｅ，屈服极限大致相同；故塑性材料的抗拉压强度相等。四、材料压缩时的力学性能②屈服阶段以后：低碳钢试件越压越扁，横截面不断增大，抗压能力继续提高，得不到压缩时的强度极限64②压缩强度极限压缩强度极限＝（４～５）拉伸强度极限位于度角的斜面上;①无明显的直线部分、无屈服、无颈缩；明显增大;③断面：由最大切应力引起破坏。形成鼓形压断2、铸铁压缩时的力学性能652、塑性材料在破坏前发生相当大的变形，由于工程结构都不允许材料屈服而产生残余的塑性变形，总结1、当应力不超过一定的限度，应力－应变的关系均在不同程度上成正比，这时材料服从胡克定律。其强度指标是所以设计塑性材料的杆件时，视为极限应力。总是把663、脆性材料在破坏前没有较大的变形;4、塑性材料的抗拉压强度相同，宜作受压构件；故把视为极限应力。唯一的强度指标脆性材料抗压不抗拉，尽量避免使脆性材料构件处于受拉状态。一般作受拉构件。671、材料的极限应力（危险应力、失效应力）：塑性材料为屈服极限

脆性材料为强度极限材料的极限应力是指保证正常工作条件下，该材料所能承受的最大应力值。

所谓正常工作，一是不变形，二是不破坏。§6-4轴向拉压杆的强度计算一、几个重要概念682、工作应力？工程实际中是否允许不允许！

前面讨论杆件轴向拉压时截面的应力是构件的实际应力——工作应力。

工作应力仅取决于外力和构件的几何尺寸。只要外力和构件几何尺寸相同，不同材料做成的构件的工作应力是相同的。

对于同样的工作应力，为什么有的构件破坏、有的不破坏？显然这与材料的性质有关。69原因：#实际与理想不相符生产过程、工艺不可能完全符合要求对外部条件估计不足数学模型经过简化某些不可预测的因素#构件必须适应工作条件的变化，要有强度储备#考虑安全因素许用应力70一般来讲因为断裂破坏比屈服破坏更危险3、许用应力——构件安全工作时的最大应力（其中n为安全系数,值＞1）注意：安全系数取值考虑的因素（a）给构件足够的安全储备。（b）理论与实际的差异。71二、强度设计准则（强度条件）最大工作应力轴力横截面积材料的许用应力等直杆：变直杆：72（3）确定许用载荷——已知：[σ]、A。求：[F]FNmax≤[σ]A。→[F]

（2）设计截面尺寸——已知：F、[σ]。求：A解：A≥FNmax／[σ]。三、三类强度设计问题（1）强度校核——已知：F、A、[σ]。求：解：？≤？解：73例1

已知一圆杆受拉力F=25kN，直径d=14mm，许用应力[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求(强度校核)。解：1、轴力FN

=F

=25kN2、应力：3、强度校核：此杆满足强度要求，能够正常工作。FF25KNXFN74例2已知简单构架：杆1、2截面积A1=A2=100mm2，材料的许用拉应力[st]=200MPa，许用压应力[sc]=150MPa

试求：载荷F的许用值[F]。75解：1.对B点受力分析3.利用强度条件确定[F