高中数学人教A版1相似三角形的判定及有关性质 第4节

第一讲第四节一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC中，CD⊥AB于点D，下列不能判定△ABC为直角三角形的是()A．AC＝2，AB＝2eq\r(2)，CD＝eq\r(2)B．AC＝3，AD＝2，BD＝3C．AC＝3，BC＝4，CD＝eq\f(12,5)D．AC＝7，BD＝4，CD＝2eq\r(3)解析：根据勾股定理可知A、C正确，根据射影定理的逆定理知D正确．答案：B2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若BC＝m，∠B＝α，则AD长为()A．msin2α B．mcos2αC．msinαcosα D．msinαtanα解析：由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，∴AD＝mcosαsinα，故选C．答案：C3．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中，一定能确定△ABC为直角三角形的个数为()①∠1＝∠A②eq\f(CD,AD)＝eq\f(DB,CD)；③∠B＋∠2＝90°；④BC∶AC∶AB＝3∶4∶5.A．1 B．2C．3 D．4解析：①能．∵∠1＋∠B＝90°，若∠1＝∠A，则∠A＋∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形．②能．若eq\f(CD,AD)＝eq\f(DB,CD)，则CD2＝AD·BD，∴AB2＝(AD＋BD)2＝AD2＋BD2＋2AD·BD＝AD2＋BD2＋2CD2＝(AD2＋CD2)＋(BD2＋CD2)＝AC2＋BC2，∴△ABC为直角三角形．③不能．∠B＋∠2＝90°，又∠B＋∠1＝90°，则∠1＝∠2，并不能得到△ABC为直角三角形．④能．设BC＝3x，AC＝4x，AB＝5x，则AB2＝BC2＋AC2，△ABC为直角三角形．答案：C4．已知△ABC中，AD是高，且AD2＝BD·DC，则∠BAC()A．大于90° B．等于90°C．小于90° D．不能确定答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．CD是Rt△ACB斜边AB上的高，则cosA用线段的比表示为________或________或________.答案：eq\f(AD,AC)eq\f(AC,AB)eq\f(CD,BC)6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝eq\f(4,5)，则CD＝________.解析：在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝eq\f(4,5)，由sin∠ACD＝eq\f(AD,AC)，得AC＝eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(4,\f(4,5))＝5，又由射影定理AC2＝AD·AB，得AB＝eq\f(AC2,AD)＝eq\f(25,4).∴BD＝AB－AD＝eq\f(25,4)－4＝eq\f(9,4)，由射影定理CD2＝AD·BD＝4×eq\f(9,4)＝9，∴CD＝3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知直角三角形周长为48cm，一锐角平分线分对边为3∶(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．解析：(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，由BC＝8x，过D作DE⊥AB，由题意可得，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48.又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三边长分别为：20cm,12(2)作CF⊥AB于F，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝eq\f(AC2,AB)＝eq\f(122,20)＝eq\f(36,5)(cm)．同理：BF＝eq\f(BC2,AB)＝eq\f(162,20)＝eq\f(64,5)(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为eq\f(36,5)cm，eq\f(64,5)cm.8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F，且BD·CF2＝CD·EF2.求证：EF∶DF＝BC∶AC．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD．∴eq\f(EF,AD)＝eq\f(CF,CD)，∴eq\f(EF2,CF2)＝eq\f(AD2,CD2).又∵BD·CF2＝CD·EF2，∴eq\f(EF2,CF2)＝eq\f(BD,CD).∴eq\f(AD2,CD2)＝eq\f(BD,CD)，即AD2＝BD·CD．∴∠BAC＝90°.∴AC2＝BC·CD．∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF.又EF∥AD，∴eq\f(AE,DF)＝eq\f(AC,DC).∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(AC,DC)＝eq\f(AC·BC,AC2)＝eq\f(BC,AC)，即EF∶DF＝BC∶AC．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AE平分∠BAC交BC于E，CE∶EB＝4∶5，CD＝24，求AD∶DB及S△ABC．解析：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴eq\f(AC2,BC2)＝eq\f(AD,BD).而AC2＋BC2＝AB2，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(AC2,AB2－AC2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,AC)))2－1)，又AE平分∠BAC，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CE)＝eq\f(5,4)，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\