第二章无限期限与世代交叠模型

第二章:无限期限与时代交叠模型◆拉姆塞-卡斯-库普曼模型◆Diamond（代蒙德）模型拉姆塞-卡斯-库普曼模型2.1假设2.2家庭与厂商的行为2.3经济的动态学分析2.4福利2.5平衡增长路径2.6贴现率下降的效应2.7政府购买的效果Diamond模型2.8假定2.9家计行为2.10经济动态2.11动态无效的可能性2.12Diamond模型中的政府家庭存在大量且同质的家庭，家庭的规模以n的速度增长，家庭的每一个成员在每个时点上供给一单位的劳动。家庭拥有初始资本量为K(0)/H初始资本量。不存在折旧，家庭将其收入在消费和储蓄间进行分配。以便其最大化其终身效用。家庭的效用函数为：瞬时效用函数采取如下形式：这个函数是著名的相对风险厌恶不变函数。（2.1）（2.2）2.1假设拉卡库模型的假设厂商：

◆厂商的数量众多，生产函数为Y=F(K,AL),其特征与第一章的假设相同。

◆

厂商所处的要素市场和产品市场是竞争性的。

◆厂商将A当做是固定的，A以g的速率外生的增长。

的作用决定在不同期间的意愿，其越小，随着消费的上升，边际效用的下降越慢，家庭越容许其消费随时间而变动。如果接近于零，例如效用关于C几乎是线性的，并因此家庭更愿意接受其消费的更大的变动，以便充分利用其贴现率与从储蓄中获得的报酬率中的微小差额。特别地，在任何时间点上消费替代性等于。瞬时效用函数的三个特征

◆如果<1，关于C是递增的；>1，则是递减的。给除以可以确保无论取什么值，消费的边际效用是正的。◆在的特殊情形中，瞬时效用函数可以简化为lnc。◆确保终身效用不会发散，否则，家庭可以获得无限的终身效用，并且其最大化问题不会有良好的定义。2.2家庭与厂商的行为厂商：由于产品市场和要素市场都是竞争性的，因而厂商的利润为零真实利率是真实工资是每单位有效劳动的工资是（2.3）（2.4）（2.5）家庭的预算约束家庭的预算约束是其终身消费的贴现值不能超过其初始值的财富与其终身劳动收入的先值之和我们可以写出从t=0倒t=的积分形式的一种极限。则（2.7）等价于：（2.7）（2.8）（2.10）表明，在极限时形式中家庭所持有资产的现值不能是负的。这就是著名的非蓬齐条件。在s时刻，家庭和资本持有量为：（2.10）家庭最大化问题代表性家庭想在其预算约束限定下最大化其终身效用。为做到这一点，我们需要用每单位有效劳动的消费与劳动去表示目标函数与预算约束将c(t)设为每单位有效劳动的消费。因此每工人的消费C(t),等于A(t)c(t).家庭的瞬时效用函数等于：（2.11）把（2.11）以及事实带入目标函数（2.1）-（2.2）中，得到：（2.12）现在考虑预算约束(2.6)。在t时刻，家庭的总消费等于每单位有效劳动的消费乘以家庭的有效劳动量。同理，在t时刻家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动的工资乘以家庭的有效劳动量。因此可以把（2.6）改写成：（2.13）

A(t)L(t)等于。把这个事实带入(2.13)，并给两边除以A(0)L(0)/H。从而得到：（2.14）最后，由于与成比例。我们可以把预算约束（2.10）的非蓬齐条件表达式改写为：（2.15）家庭行为家庭的问题便是在预算约束（2.14）的限制下，选择c(t)的路径去最大化终身效用(2.12)。利用目标函数(2.12)与预算约束（2.14）构造拉格朗日函数：对于每一个单个的C(t)，一阶条件是（2.16）（2.17）为明白（2.17）对消费行为的含义，首先给上式两边取对数（2.18）两边求导可得：由于一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率，则有（2.20）由于C(t)等于c(t)A(t)，C的增长率等于c的增长率加上A的增长率。（2.20）隐含着每个工人的消费以的速率增长。因此阐明：如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费的速率，每个工人的消费将上升。越小，则实际效用随着消费的变化就越少，从而，消费对贴现率与实际利率之间的差异做出反应，就越大。直觉上欧拉方程描述了在给定c(0)时，c必须如何随时间变化：如果c不按(2.20)演化。那么家庭会在不改变终身消费的现值的条件下，用提高终身生效用的方式重新安排其消费。c(0)的选择因此按如下决定，即在所形成的路径上终身消费的现值等于其初始财富与未来收入的现值之和。当c(0）太低时，其消费支出不会用尽其财富。当c(0)太高时，消费支出大于其可用尽的终身财富。因此这种路径是不可行的。经济的动态学C的动态学由于则（2.20）可以改写成：(2.23)C图2.1c的动态学K的动态学假设不存在折旧，因此则有：对于既定的k,意味着的c的水平是由给出的。当消费等于实际产出与持平投资线的差额时，等于零。C的这个值关于k是递增的直至。接着c关于k会下降。当c超过可获得的水平时，k则下降；当c小于该水平时，k上升。对于充分大的k持平投资超过总产出故在此条件下，对于一切c的正值，是负的。这些信息总结在图2.2中。（2.24）图（2.2）k的动态学kCck图2.3c与k的动态学说明：◆图2.3把图2.1和2.2中的信息结合在一起。◆图2.3是画出的水平小于黄金律k的水平。需要注意的是：小于k的黄金律水平。因为是有定义的。而黄金律水平的k是由定义的。由于是负的。当且仅当这等价于因此处在曲线的顶点的左边。C的初始值◆K的初始值是给定的，c的初始值必须被决定。图2.3表明在给定c和k的初始值时，为满足家庭的跨期最优化条件。以及连接k的变化与产出和消费的方程。C与k如何地必须随时间而演化；k的初始值是给定的，但是C的初始值必须被决定。◆这个问题在图2.4中被强调。当k被给定时，假定c的各种可能值，最后得到c的唯一取值。其中ABC三点的初始消费之较高。最终经济处于消费永久上升，而资本永久下降的路径。而D点表明初始消费很低的，最终经济处在消费日益下降，而资本日益上升的路径上。但如果经济正好处在临界水平上它会最终收敛于c和k均不变的点上。值得说明的是：为排除由低于F的点开始的路径，可以利用资本持有量的极限行为表示的预算约束DCBAFkc如果经济由与D点类似的点开始，最终k会超过黄金资本存量水平。过了这个时刻，实际利率因而日益上升。由于k也是发散的。因此发散。因此趋于无穷大。即等价于较之家庭的终身消费的贴现值，其终身收入的贴现值是无穷大大。最后，如果经济从F开始，k收敛于。因此r收敛于。最终地，正在以的速率下降.由点F开始的路径也是唯一可行的路径。

鞍点路径◆对于k的任何为正的初始水平，存在一个一个惟一的c的初始水平。它与家庭的跨期最优化，资本存量的动态学，家庭预算约束以及k不为负的要求相一致将这种初始的c作为k的一个函数的函数便是著名的鞍点路径。2.4福利一个十分自然的问题是，这种经济的均衡是否代表一个可期望的值。微观经济学第一福利定理告诉我们，如果市场是竞争的完全的，并且不存在外部性，那么分散化的均衡时帕累托的。由于福利定理在我们的模型中成立，均衡必为帕累托有效的。并且由于所有家庭拥有效用，这意味着分散化均衡在对所有家庭采用相同方式的配置中会产生最高的可能效用。2.5平衡增长路径经济行为一旦已经收敛于点E，它便等同于处在平衡增长路径上的索罗经济的行为。因此索罗模型关于经济增长的驱动力的核心含义并不能够依据一个不变的储蓄率的假设决定。即使当储蓄是内生的，劳动的有效性增长仍是每工人产出不断增长的惟一可能的源泉。平衡增长路径和资本的黄金律水平索罗模型和拉-卡-库模型的平衡增长路径之间的惟一显著的差异是：拥有资本量大于黄金资本水平的平衡路径时不可能的。在索罗模型中，充分高的储蓄率引致经济达到一个平衡路径，存在一些可行的选择，它们涉及在美时刻跟高水平的消费。因此k收敛于与一个低于黄金律水平的资本量。由于是经济收敛于平衡增长路径时的k的最优水平，它便是著名的修正的黄金律资本存量。2.6贴现率下降的影响由于是主导家庭对现期与未来消费之间偏好的参数，在这个模型中，其变化的效应和索罗模型中储蓄率的上升，十分相似。定性效应的变化影响的方程，不影响的方程。当下降时线向右边移动。在变动的时刻，k的值，即每单位有效劳动的资本存量由经济的历史给定，且不能间断的给定。而当变动时，c发生跳跃。贴现率下降的效应类似于索罗模型中储蓄率上升的效应。在两种情形中，k逐渐上升到其新的较高的水平，而c初始下降但接着上升到其开始时的水平。因此贴现率的永久性下降会产生每工人资本增长率与每工人资本增长率与每工人产出的暂时性增长。其唯一差异在于：下降的情形中，产出的储蓄部分在调整过程中一般是不变的。调整速率与鞍点路径的斜率在与的附近取一阶泰勒近似。这便是因而，方程（2.25）与（2.26）写成：（2.25）（2.26）（2.27）（2.28）回忆利用这个表达式计算（2.27)中导数，并给它们在、处取值，可得（2.29）同理利用求出（2.28）中的导数，这便获得（2.30）进而，给（2.29）和（2.30）两边除以则得到的增长率的表达式。（2.31）（2.32）方程（2.31）和（2.32）意味着的增长率只会依存于的比率。如果给定的值恰好使以相同的速度下降。那么意味着的比率不发生变化，其增长率也不发生变化。因此增在持续以相等的比率下降。由（2.32）的条件因此为设方程（2.31)意味着（2.33）（2.34）（2.35）设如果为正，那么正在增长，这边是经济不是沿着一条直线走向（）的。相反它增在沿着一条直线偏离（）。因此如果经济收敛于（）。那么必定为负的。图（2.7）表明了经济顺利收敛于的直线。它由AA表示，这便是线性化系统的鞍点路径。这个图也表明经济沿哪条直线偏离该条件被标为BB.如果c(0)与k(0)的初始值均处在这条路径上。（2.32）表明将稳定地以的速率增长。由于是负的。则意味着之间的关系所具有的符号将不同于的。因此，鞍点路径AA的斜率为正，BB线的斜率为负。调整的速率为了理解（2.37）对于收敛于平衡路径的速度的含义。考虑我们常用的柯布道格拉斯生产函数。则由于平衡增长路径上的消费等于产出减去持平投资，没单位有效劳动的消费等于。因此可以把的表达式改写为（2.38）（2.39）假设政府在每单位时间以每单位有效劳动的速率购买产出。政府购买不会影响到由私人消费获得的效用，也不会影响未来产出。那么投资是在产出同私人消费与政府购买之间的差额。因此k的运动方程（2.24）变成较高的G值把轨迹向下移动;如果k保持不变，那么由政府购买的产品越多，由私人购买的产品越少。2.7政府购买的效应（2.40）政府购买融资的税收会影响家庭预算约束。（2.14）会变成：(2.41)政府购买的永久性与暂时性变动的效应设G（t）在某个数量为的水平上保持不变，经济处在平衡增长路径，并且存在一个未预期的永久性的G的趋向的增加。由（2.39）可知的轨迹向下移动的数量等于G的增加量。并且政府购买并不影响欧拉方程，的轨迹不受影响，这便是图2.8所表示的情形。为应对这种变化，c必须跳跃，使得经济处在其新的鞍点路径上。其简单的调整方式是；c下降的数量等于G增加的数量，并且经济总会处在新的均衡增长路径上。直觉上，政府购买与税收的永久性增加会减少家庭的终身财富，因此消费立即下降。而且资本存量和实际利率不受影响。更为复杂的情形由G的非预期的增加提供,在这种情形下，C的数量下降并不等于真个G的增加量。具体变化过程由图2.9所示。（a）部分表明G的增加时相对持久性的情形。在此情形中，c下降的数量正好等于整个G的增加量。随着G恢复到的时刻的临近。在预见到下降的情况下，家庭由增加了其消费并减少了其资本持有量。由于。可以由k的行为来推断r的行为。在政府支出较高并缓慢返回到其初始水平的期间，r逐渐上升。这由（b）部分表示。最后，（c）部分表明G的短期上升的情形，这里家庭较少地改变其消费。相反，他选择从其储蓄中更多地支付暂时的高税收。由于政府购买仔较短的时间内事较高的，其对资本存量与实际利率印象较小。E(a)图2.9政府支出暂时性增加的效应代蒙德模型2.8假设代蒙德模型与拉姆塞模型之间的核心差异是存在人口的新老交替，而非一个数量固定的永久生存的家庭。这里，新的个体继续出生，并且老的个人不断消亡。当存在新老代谢时，假设每个人只活两个时期，代表出生于t时期的个人。由于人口以n的速率增长，因此。由于个人只存活两个时期，因此，在t时期，存在个正处在他们第一个时期的个人，并且个增处在其生命的第二个时期的个人。每个个人在其年轻的时候供给1单位的劳动，并且经其多获得的劳动在第一期的消费与储蓄之间进行分配。在第二个时期，个人只简单地消费其获得的储蓄与利息。2.9家计行为设代表年轻与年老的个人在t时期的消费。因此，在t时期出生的一个人的效用依存与。因此，我们再次假设不变相对风险厌恶效用函数为：（2.42）2.9家庭行为在t时刻出生的一个个人的第二期消费时进而可得（2.43）（2.44）在预算约束（2.45的限制下。个人最大化效用。考虑求解最大化效用的两种方式。一种是沿用推导拉姆塞模型中的欧拉方程的直觉性方式。假设个人将消费减少了较小的数量接着利用新增的储蓄与资本收入把提高了。这种改变并不影响个人钟声消费的现值。因此，如果个人正在进行最优化，效用成本与变动的收益必定是相等的。如果成本小于收益，个人将会通过作出改变增加终生效用。如果成本大于收益，个人通过做出相反的改变而增加效用。与对终生效用的边际贡献分别是因此，我们设趋于零。变动的边际成本趋于。并且效用收益接近。当个人正在进行最优化时，他们是相等的。因此最优化要求:进而有（2.45）（2.46）或者（2.47）表达式(2.47）类似于拉姆塞模型中的欧拉方程。它意味着个人消费是否随着时间正在递增或者递降。这依存于是否实际报酬大于或小于贴现率。再次决定个人消费如何变化以便对之间的差异做出反应。第二种方式是构造拉格朗日函数去求解个人的最大化问题，（2.49）（2.50）（2.51）我们可以利用欧拉方程与预算约束写出用劳动收入与实际利率表达式的。特别地，给（2.48）两边乘以，并带入预算方程，从而得出（2.52）（2.53）这意味着：（2.53）方程（2.53）意味着利率决定第一个时期的单个消费者的收入份额。设s(r)表示收入被储蓄的部分，那么（2.53）意味着（2.55）方程（2.55）意味着，年轻人的储蓄关于r是递增的，当且仅当关于r是递增的。直觉上，r的上升具有收入和替代双重效应。两个时期的消费之间的替代会对第二时期的消费更有利，这个事实趋向于增加储蓄（替代效应).但既定的储蓄将会带来第二个时期的更大的消费，这个事实倾向于减少储蓄(收入效应）。因此当个人十分乐于在两个时期进行消费替代以利用报酬率激励（这是很低的时候）替代效应占优。当个人对两个时期的相似消费水平有强有力的偏好时(这便是当很高时收入效应占优。并且在的特殊情形中，这两个效应平衡，并且年轻人的储蓄与r不相关。2.10经济的动态学K的运动方程t+1时期的资本存量等于t时期年轻人的储蓄量。因此有：两边除以，便得到了一个关于每单位有效劳动的表达式。因此，替换从而得到（2.56）（2.57）（2.58）K的演化方程（2.58）隐含着把定义为的函数。给定k的初始值，该式因此决定k如何随时间而演化。使得=满足（2.58）的值是一个均衡值:一旦k达到该值，它变会留在那里。因此我们想知道是否存在k的一个或者一些均衡值，并且如果k并不是从这样的值开始的，是否它收敛于这样的一个值。为回答这些问题，我们采用对数效用与柯布道格拉斯生产的情形来说明分析。对数效用和柯布道格拉斯生产当等