第2章 轴向拉伸及压缩

第2章轴向拉伸与压缩目录2.1轴向拉伸和压缩概述

2.2轴力与轴力图2.3拉（压）杆横截面与斜截面上的应力

2.4拉(压)杆的变形与胡克定律

2.5材料在拉伸和压缩时的力学性能2.6强度计算*2.7拉伸和压缩超静定问题工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。屋架结构简图2.1轴向拉伸和压缩概述受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆桁架的示意图（未考虑端部连接情况）受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。

材料力学中的杆件，如果没说明，通常不计自重。求图示拉杆m－m截面的内力PNxY｝

mmPP2.2轴力与轴力图N：分布内力系的合力称为内力，代表移去部分对保留部分的作用。由平衡方程NP=0

N=P

N

总是与轴线重合，故称为轴力。轴力通常用字母N表示，它的单位即为力的单位，基本单位为牛顿(N)，常用单位有千牛(kN)。PNxY｝

保留右段时：PN=0N=P

N与N大小相等，方向相反，为一对作用力与反作用力。mmPPPNxYPN｝

(1)假想的截面截开指定截面m－m

；(2)用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；(3)根据分离体的平衡求出内力值。截面法求轴力的步骤：符号规定：

正号轴力--N的方向与截面外法线方向一致。负号轴力--N的方向与截面外法线方向相反。也即：拉伸为正、压缩为负。

例2－1一直杆受力如图所示。试求各段中横截面上的轴力。6kN10kN8kN4kNDABCIIIIIIIIIIII6kNAN1II解：在AB段内，沿横截面I－I把杆件假想截开，保留左段，假设I－I截面上有正号的轴力N1，以杆轴为x轴，由静力平衡条件6kNAN1IIN1-6=06kN10kN8kN4kNDABCIIIIIIIIIIII6kNAN1N26kN10kNIIII

在BC段内沿横截面II－II将杆假想地截开，并留下左段为脱离体，假设II－II截面的轴力为正号的N2由静力平衡条件.N26kN10kNIIIIN2-6+10=06kN10kN8kN4kNDABCIIIIIIIIIIII6kNAN1N2N36kN10kN4kNIIIIII

用同样方法可求CD段内任意横截面的内力。用假想截面沿III－III截面切开，保留右段，设该截面的轴力为正号的N3，利用平衡方程，易求得N34kNIIIIIINxN图（kN)6kN10kN8kN4kNDABCIIIIIIIIIIII4+4+6446++轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。F(f)(c)F【例2-1】试作图a所示杆的轴力图。1.用截面法分别求各段杆的轴力。为求轴力方便，先求出约束力

FR=10kN。在AB段用1-1截面将杆截开，以左端杆为分离体（图c），由SFx=0得FN1=10kN(拉力)10kN解:以图d为分离体，由SFx=0，得FN2=50kN(拉力)10kN40kN取截面3－3右边为分离体（图e），假设轴力为拉力。同理，FN4=20kN(拉力)由SFx=0，得FN3=-5kN（压力）。(e)25kN20kN由轴力图可见2.以横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力的大小，由以上结果作轴力图如图所示。已知：F1=40kN,F2=30kN,F3=20kN求：1-1，2-2和3-3截面的轴力，并作杆件的轴力图。解：1-1截面，取右边，受力如图。练习：2-2截面,取右边,受力如图。3-3截面,取右边,受力如图。ΣX=0，FN3=-F3=−20(kN)轴力图【例2-2】试作图a所示杆的轴力图。FFFl2ll(a)ABCD1.用截面法分别求各段杆的轴力约束反力为FR=FFR2FFFq11233(b)l2llxABCD解:以图c为分离体，得FN1=F以图e为分离体，得FN3=F(c)11AF33D(e)2FFFqFR11233(b)l2llxABCDx4l-x以图d为分离体，得BqFFxA22(d)2FFFqFR11233(b)l2llxABCDFN

图FFF+-+(f)2.由以上结果画出轴力图如图f所示FFFl2ll(a)ABCD求分布荷载作用的BC段的轴力时，不允许用合力2lq＝2F代替分布荷载。求轴力时，不允许将力沿其作用线段移动，例如，将作用在D截面的力F移到C截面时，AB、BC段的轴力不变，而CD段轴力为零。FFFl2ll(a)ABCD注意：画轴力图的要求①平行并对齐原杆件②轴力的符号要标在图上③控制点的坐标要标上N—一般地，为位置的函数，dA组成垂直于横截面的平行力系，其合力即为轴力2.3拉（压）杆横截面与斜截面上的应力

1、拉(压)杆横截面上的应力考察杆件受力变形：PP—横截面上正应力计算公式的符号规定与N一致。拉应力为正号的正应力。压应力为负号的正应力。

例2－3

图(a)所示构架的BC杆为直径d=20mm的钢杆，AB杆的横截面积为540mm2，已知P=2kN,试求AB杆和BC杆横截面上的应力。ACBP30(a)解：(1)计算各杆轴力AB和BC均为二力杆。设两杆均受拉力，作节点B的受力图图(b)，由静力平衡条件：…(1)…(2)30PxyNABNBC(b)B由(2)式可得将NBC的值代入(1)，可得(2)计算各杆应力

例2-4试求图a所示正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN。1.作轴力图如图所示。分别求各段柱的工作应力。Ⅰ段柱横截面上的正应力Ⅱ段柱横截面上的正应力(压应力)(压应力)结果表明，最大工作应力为smax=s2=-1.1MPa

(压应力）例2-5试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：d=200mm，d=5mm，p=2MPa。

薄壁圆环(δ<<d)在内压力作用下，径向截面上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法向力FN后，用式s=FN/(bδ)求拉应力。解:用径向截面将薄壁圆环截开，取其上半部分为分离体，如图b所示。分布力的合力为由SFy=0，得径向截面上的拉应力为圣维南原理：“力作用于杆端方式不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受影响。”应力集中现象(a)PPKK横截面是特殊的截面，任意斜截面以与横截面的夹角来表示。2、拉(压)杆横截面上的应力截面法PNpkk由平衡方程N=P斜截面面积记作A，设横截面面积为A1、轴向变形，泊松比l1ll1b1bb1PPPP(a)(b)轴向变形：L=L1L2.4拉（压）杆的变形·胡克定律

同时杆的伸长（缩短）不足以反映杆的变形程度。线应变横向线应变：实验表明:在弹性范围内加载，纵向线应变与横向线应变之间存在如下关系v：泊松比，无量纲2、胡克定理引入弹性模量EEA：抗拉刚度弹性模量和泊松比都是材料的弹性常数。例2－6一构件如图所示，已知：P1=30kN，P2=10kN，AAB=ABC=500mm2，ACD=200mm2，E=200GPa。ABCDP1P2100100100试求：(1)各段杆横截面上的内力和应力；(2)杆的总伸长。+ABCDP1P210010010020kN10kNN解：①作轴力图如上图所示。“AB”，“BC”，“CD”段上任意横截面上的应力分别为：②求横截面上的应力③虽然杆AD不满足胡克定律的适用条件，但AB段、BC段和CD却能分别满足胡克定律，因此，我们可按胡克定律分别求AB、BC、CD三段杆的伸长量，然后相加得到杆AD的总伸长量。+ABCDP1P210010010020kN10kNN即AD杆缩短了0.015mm。D点向左位移了0.015mm。如果在杆总长范围内，不能满足杆伸长计算公式的适用条件，但将杆分成若干段(n段)每一段能分别满足式的适用条件。则杆的总伸长公式为

例2－7

试求自由悬挂的直杆由于自重引起的最大正应力和总伸长。设杆长l，截面积A，容重，弹性模量E均为已知。lOA解：(1)计算杆内的最大正应力，先求离下端为x处截面上的正应力，利用截面法，得：mmlxAxmmAN(x)xOmmlxAxOON+AxAlx(2)计算杆伸长，由于N为x的函数，因此不能满足胡克定律的条件。在离杆下端为x处，假想地截取长度为dx的微段，其受力如图所示。在略去高阶微量的条件下，dx微段的伸长可写为所以整个杆件的伸长为：dxN(x)+dN(x)N(x)x杆伸长计算公式：均匀变形分段均匀变形非均匀变形例2-8图示杆系中，荷载

P=100kN。试求结点A的位移DA。已知：a=30°，l=2m，两杆直径均为d=25mm，材料的弹性模量为E=210GPa。求拉（压）杆系节点位移的关键在于确定变形后节点的位置。本例中，解除铰链A

的约束，设1，2

杆的伸长量分别为Dl1和Dl2，分别以B和C为圆心，以l1

+Dl1和l2+Dl2为半径画圆弧，两圆弧的交点A‘‘为变形后A点的精确位置。但在小变形时，

Dl1<<l1，Dl2<<l2，可近似用A1B和A2C的垂线代替圆弧，得到交点A'作为变形后A点的位置。再根据位移图所示的几何关系求A的位移。Dl1Dl2(b)由胡克定律得其中解:1.分别求1，2两杆的轴力及伸长由结点A的平衡方程得2.求A点的位移由图b可见因为Dl1=Dl2，所以DAx=0Dl1Dl2(b)在小变形情况下，确定杆系变形后的位置时，用杆端垂线代替圆弧线是本题的重点也是难点，一定要掌握。2.杆系节点A的位移是因杆件变形所引起，但两者虽有联系但又有区别。变形是指杆件几何尺寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移动，是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受约束有关。总结2.5材料在拉伸和压缩时的力学性能低碳钢拉伸试件图片低碳钢拉伸是试件破坏断口图片一.材料的拉伸和压缩试验

圆截面试样：l=10d或l=5d(工作段长度称为标距)。

矩形截面试样：或。

拉伸试样

试验设备：(1)万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。

(2)变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。

圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能)

正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能)

压缩试样

二、低碳钢试件在拉伸时的力学性能整个拉伸过程分为：（1）ob—弹性阶段（2）bc—流动阶段（3）ce—强化阶段（4）ef—颈缩阶段1.卸载规律ABCDEFOGO1O2pe第一次加载至G点，然后卸载，其-曲线为GO1

（不是原路返回）；然后立刻进行第二次加载，其-曲线为O1GEF，其中O1O2—弹性应变OO1—塑性应变冷作硬化：第一次加载至G点，然后卸载完毕后立刻进行第二次加载，其-曲线为O1GEF，从图中可以看出，试件的弹性极限升高，塑性性能下降。ABCDEFOGO1O2pe冷拉时效：第一次加载至G点，然后完全卸载，让试件“休息”几天，然后进行第二次加载。这时-曲线为O1GHKM，可以看出，试件获得了更高的抗拉强度指标。ABCDEFOHKMGO1O2pe低碳钢的塑性指标：

伸长率：

断面收缩率：A1——断口处最小横截面面积。Q235钢：y≈60%Q235钢：

(通常d

>5%的材料称为塑性材料)三、其他金属材料在拉伸时的力学性能（主要自学）要求掌握：②

0.2对于没有明显屈服点的塑性材料，通常以材料产生0.2%塑性应变时对应的应力值代替s①铸铁胡克定律近似成立(1)、低碳钢压缩时的力学性质四、金属材料在压缩时的力学性能（主要自学）(2)、铸铁压缩时的力学性质一、拉（压）杆的强度条件极限应力u——材料强度遭到破坏时的应力。破坏：断裂、过大塑性变形脆性材料u=b塑性材料u=s2.6强度条件二、许用应力、安全系数n>1安全系数[]许用应力塑性材料脆性材料工作应力不超过许用应力强度计算以危险截面为准进行计算三种不同情况下的强度计算①

强度校核：在已知荷载、构件尺寸和材料的情况下，构件是否满足强度要求，由下式检验工程上也能认可②

设计截面：已知荷载情况、材料许用应力，构件所需横截面面积，用下式计算。③

计算许用荷载：已知构件几何尺寸和材料许用应力，则构件的最大轴力可用下式计算利用平衡方程即可求出许用荷载。例2－9图示构架，BC杆为钢制圆杆，AB杆为木杆。若P=10kN，木杆AB的横截面积为A1=10000mm2,许用应力(1)校核各杆的强度；(2)求许用荷载[P]；(3)根据许用荷载，重新设计杆件。应力[]2=160MPa。ACPBlBC=2.0mlAB=1.73m30面积为A2=600mm2,许用[]1=7MPa；钢杆的横截解：(1)校核两杆强度，为校核强度必须先求内力，为此，截取节点B为脱离体，由B节点的受力图，列出静平衡方程。BPNABNBC30解之，可得：所以，两杆横截面上的正应力分别为：两杆强度足够。

两杆内力的正应力都远低于材料的许用应力，强度还没有充分发挥。因此，悬吊的重量还可大大增加。那么B点能承受的最大荷载P为多少？这个问题由下面解决。