第10章梁及结构的位移计算

第10章梁与结构的位移计算§1工程中的变形问题§2挠曲线近似微分方程§3积分法求梁的挠度和转角§4叠加法求挠度和转角§5单位荷载法§6图乘法§7弹性体互等定理§8结构的刚度校核§1工程中的变形问题§1工程中的变形问题1、梁的挠曲线：一条光滑、连续而平坦的曲线。

挠曲线方程——2、梁横截面位移

（1）挠度y—横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。

（2）转角θ—横截面绕中性轴所转的角位移。

3、挠度y和转角θ的关系：4、挠度、转角的正负号规定：θ：

逆时针为正、顺时针为负。

y：§2挠曲线近似微分方程在纯弯曲情况下，梁轴线曲率的表达式为：

横力弯曲曲率公式：

平坦曲线：

∴

§2挠曲线近似微分方程§3积分法计算梁的变形

积分一次，可得转角方程：

再积分一次，可得挠度方程：

式中：C、D——积分常数

**积分常数由边界条件、光滑连续条件确定。例题图示悬臂梁。B端受集中力P的作用。EI为常数，试求梁的最大的挠度和最大的转角。解：1、列弯矩方程：2、列挠曲线近似微分方程：积分一次得：——①再积分一次得：——②3、确定积分常数：边界条件代入①、②式C=0D=0转角挠度4、方程：y例题图示简支梁，受均布荷载q作用，EI为常数，试求梁的最大挠度f和两端截面的转角。

解：1、列弯矩方程：2、列挠曲线近似微分方程：积分一次得：再积分一次得：3、确定积分常数：边界条件转角挠度4、方程：FAyFBy§4叠加法计算梁的变形

理论依据——

叠加原理：

总变形=∑分变形例题已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC

；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解yC1yC2yC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。解yC1yC2yC33）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和例题已知EI为常数，试用叠加法求图示外伸梁截面C的挠度。

例题已知EI为常量，试用叠加法求图示悬臂梁C截面的挠度。

§5单位荷载法结构的位移(DisplacementofStructures)A位移转角位移线位移A点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面转角F功的概念：功=力乘以在力的方向上所发生的位移。力力偶广义力线位移角位移广义位移一点的线位移两点的相对线位移一个截面转角两个截面相对转角§5单位荷载法§5单位荷载法一、外力功的计算

常力做功

变力做功

位移与静力荷载dyyFFy§5单位荷载法一、外力功的计算

常力做功

变力做功

力力偶广义力线位移角位移广义位移一点的线位移两点的相对线位移一个截面转角两个截面相对转角轴向拉伸扭转弯曲剪切§5单位荷载法二、线弹性杆的变形能

微段的弯曲应变能全梁的弯曲应变能则可积分上式得到

例：求刚架C点的竖向位移。xxxlABCq例:1)求A点水平位移2)求A截面转角3)求AB两点相对水平位移4)求AB两截面相对转角步骤:1）虚设一单位荷载(单独作图)2）分别求出两种状态下的弯矩图3）代入公式进行计算ll§6图乘法EIEI梁和刚架：一、问题的提出ACBαMMi=xtgαyxMFdxxy0x0ω注：y0=x0tgα①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。④面积ω与竖标y0在杆的同侧，ωy0取正号，否则取负号。二、图乘公式åòå==DFEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAFdxxMtgEI1aòdsEIMMFÞ直杆òdxEIMMFòÞ=CEIEI1dxMMFòÞBAFdxxtgMEI1a是直线M三、几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线ω=hl/3二次抛物线ω=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点EIEI1.根据拟求位移虚设单位力。2.内力计算。（1）荷载作用下弯矩图MF。（2）单位力作用下弯矩图。3.图乘求位移。ACB四、图乘法计算位移的一般步骤例1：求B端的转角。1.根据拟求位移做单位力状态。2.内力计算。（1）荷载作用下内力图MF。（2）单位力作用下内力图。3.图乘求位移。解:()()若两个弯矩图都是直线图形，则纵坐标yc可取任一图形。

Fl/2l/2EIABm=11/2Fl/4ql2/2

MFMFF=1l

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqAB例2：求梁B点转角位移。例3：求梁B点竖向线位移。3l/4当图乘法的适用条件不满足时的处理a)曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b)当EI分段为常数或、均非直线时，应分段图乘再叠加。FFaaa例4：求图示梁中点的挠度。FaFaMFF=13a/4a/2a/2Fl/2l/2C例5：求图示梁C点的挠度。MFFlCF=1l/2l/6l6EIFl123=FlEIC212=△5Fl/6？？EIFl4853=Fl65×øöllEIyC22210çèæ××==Dwa）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2()bcadbdacl+++=226öødcçèæ+323bl+2dcøöçèæ+332al=2òyydxMMki+=2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）=111（1）32649非标准图形乘直线形S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）=332364（3）9（2）32649＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非标准抛物线乘直线形11ly1y2y323=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=øöççèæ++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DBxyyyEIwww↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MFω1ω2ω3B练习：计算B点水平位移F=1例6：求跨中C点的竖向位移1.根据拟求位移做单位力状态。2.内力计算。（1）荷载作用下内力图MF。（2）单位力作用下内力图。3.图乘求位移。解:()()若MF是曲线，M是折线，则应分段图乘。

对吗？应分段！H1EI2EI1CABH2FF=11.根据拟求位移做单位力状态。2.内力计算。（1）荷载作用下内力图MF。（2）单位力作用下内力图。3.图乘求位移。解:例7：求C点的水平位移若各段EI不同，则分段图乘。

MFFH2MH2FH1H11.当两图均为直线时，y0不受限。2.若一图是曲线，另一图是折线，应分段图乘。3.若图形较复杂，形心不便确定，可将其分解为简单图形。4.若杆各段EI不同，应分段图乘。5.虚设单位力。求线位移——集中力求角位移——集中力偶求相对位移——一对力五、图乘规律练习、已知EI为常数，求C、D两点相对水平位移。qMF解：lqh4kN4kN.m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m4m4mEIAB求θB5kN12844MFkN.m1kN.mql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lEIB1ql2/83ql2/2MFl求B点竖向位移。()练习、图示梁EI为常数，求中点C的竖向位移。l/2ql/2MF请问：错在啥地方？请问：错在啥地方？l/2ql/2MF解法一l/2ql/2MF解法二应用条件：1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形体系。一、功的互等定理功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态①的外力在状态②的位移上作的功V1等于状态②的外力在状态①的位移上作的功V2。即：V1=V2§7弹性体的互等定理二、位移互等定理F1①F2②

位移互等定理：由单位荷载F1=1所引起的与F2相应的位移δ21等于由单位荷载F2=1所引起的与F1相应的位移δ12。Δ21Δ12jijijFdD=FFD=D121212FFD=D212121称为位移影响系数，等于Fj=1所引起的与Fi相应的位移。注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。2）δ12与δ21不仅数值相等，量纲也相同。三、反力互等定理△1△2r11r21r22r12

反力互等定理：由单位位移△1=1所引起的与位移△2相应的反力r21等于由单位位移△

2=1所引起的与位移△

1相应的反力r12。

注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用于超静定结构。Fl/2l/23Fl/16CA①θΔC②例：已知图①结构的弯矩图求同一结构②由于支座A的转动引起C点的挠度。解：V12=V21∵V21=0∴V12=FΔC－3Fl/16×θ＝0ΔC=3lθ/16例：图示同一结构的两种状态，求Δ=？F=1①②m=1m=1ABΔ=θA+θBθBθAΔ计算梁变形的目的之一，就是对梁进行刚度校核。

1、刚度条件：

式中：

——容许挠度值（通常用跨度的若干分之一表示）。

——容许扭转角。

2、刚度校核

梁需满足强度条件刚度条件

（设计）

（校核）§8结构的刚度校核根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B处转角不超过许用数值。B1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为：解例题已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=2