工程力学力系的平衡条件和平衡方程

工程力学力系的平衡条件和平衡方程第一页，共八十九页，2022年，8月28日

受力分析的最终的任务是确定作用在构件上的所有未知力，作为对工程构件进行强度设计、刚度设计与稳定性设计的基础。

本章将在平面力系简化的基础上，建立平衡力系的平衡条件和平衡方程。并应用平衡条件和平衡方程求解单个构件以及由几个构件所组成的系统的平衡问题，确定作用在构件上的全部未知力。此外本章的最后还将简单介绍考虑摩擦时的平衡问题。

“平衡”不仅是本章的重要概念，而且也工程力学课程的重要概念。对于一个系统，如果整体是平衡的，则组成这一系统的每一个构件也平衡的。对于单个构件，如果是平衡的，则构件的每一个局部也是平衡的。这就是整体平衡与局部平衡的概念。第3章

力系的平衡条件与平衡方程

第二页，共八十九页，2022年，8月28日3

平面任意力系的平衡条件与平衡方程4

简单的刚体系统平衡问题5

考虑摩擦时的平衡问题

6

结论与讨论第3章

力系的平衡条件与平衡方程

2

平面力偶系的平衡条件与平衡方程1

平面汇交力系的平衡条件与平衡方程第三页，共八十九页，2022年，8月28日在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。1平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。用矢量式表示为：第四页，共八十九页，2022年，8月28日[例1]

已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。①选碾子为研究对象②取分离体画受力图解：

∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故第五页，共八十九页，2022年，8月28日由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。F=11.5kN,NB=23.1kN所以又由几何关系：第六页，共八十九页，2022年，8月28日1平面汇交力系的平衡方程

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。第七页，共八十九页，2022年，8月28日[例2]

已知P=2kN求SCD,RA解:

1.取AB杆为研究对象2.画AB的受力图3.列平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：；4.解方程第八页，共八十九页，2022年，8月28日2平面力偶系的平衡条件所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即思考：从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？PORM第九页，共八十九页，2022年，8月28日[例3]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为,求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力?解:各力偶的合力偶矩为根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。第十页，共八十九页，2022年，8月28日[例4]图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。第十一页，共八十九页，2022年，8月28日3平面任意力系的平衡条件和平衡方程3.1平衡条件平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即第十二页，共八十九页，2022年，8月28日3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程3.2平衡方程即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。由于所以第十三页，共八十九页，2022年，8月28日解：以刚架为研究对象，受力如图。解之得：例1例1求图示刚架的约束反力。APabqAPqFAyFAxMA第十四页，共八十九页，2022年，8月28日例2例2求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解之得：ABCPabqmABCPqmFBFAyFAx第十五页，共八十九页，2022年，8月28日悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁，BC为钢索，A、处为固定铰链支座，B处为铰链约束。已知起重电动电动机E与重物的总重力为FP(因为两滑轮之间的距离很小，FP可视为集中力作用在大梁上)，梁的重力为FQ。已知角度θ=30º。

求：1.电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和支座A处的约束力；2.分析电动机处于什么位置时，钢索受力最大，并确定其数值。例题3

解：

1．分析受力建立Oxy坐标系。

A处约束力分量为FAx和FAy；钢索的拉力为FTB。第十六页，共八十九页，2022年，8月28日

解：

2．建立平衡方程第十七页，共八十九页，2022年，8月28日

解：

3．讨论

由结果可以看出，当x＝l，即电动机移动到吊车大梁右端B点处时，钢索所受拉力最大。钢索拉力最大值为

第十八页，共八十九页，2022年，8月28日(1)二矩式其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若AB连线不垂直于x轴(或y轴），则力系必平衡。3.3平衡方程的其它形式FR′BxA第十九页，共八十九页，2022年，8月28日(2)三矩式其中A、B、C三点不能在同一条直线上。注意：以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。

由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过A、B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，则力系必平衡。第二十页，共八十九页，2022年，8月28日例3例4悬臂吊车如图所示。横梁AB长l＝2.5m，重量P＝1.2kN，拉杆CB的倾角a＝30°，质量不计，载荷Q＝7.5kN。求图示位置a＝2m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。第二十一页，共八十九页，2022年，8月28日例3解：取横梁AB为研究对象。ABEHPQFTFAyFAxaa从(3)式解出代入(1)式解出代入(2)式解出第二十二页，共八十九页，2022年，8月28日例3CABEHPQFTFAyFAxaa如果取B矩心列平衡方程得有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,4,5;1,3,4；2,4,5；2,3,5;3,4,5再取C为矩心列平衡方程得第二十三页，共八十九页，2022年，8月28日

力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：其中AB连线不能与各力的作用线平行。3.5平面平行力系的平衡方程F2F1F3Fn第二十四页，共八十九页，2022年，8月28日[例5]已知：塔式起重机P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？ 第二十五页，共八十九页，2022年，8月28日限制条件：解：⑴首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的Q：②空载时，W=0由限制条件为：解得因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：解得:第二十六页，共八十九页，2022年，8月28日⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA,NB为多少由平面平行力系的平衡方程可得：

解得：第二十七页，共八十九页，2022年，8月28日4简单的刚体系统平衡问题

实际工程结构大都由两个或两个以上构件通过一定约束方式连接起来的系统，因为在工程静力学中构件的模型都是刚体，所以，这种系统称为刚体系统(systemofrigiditybodies)。

前几章中，实际上已经遇到过一些简单刚体系统的问题，只不过由于其约束与受力都比较简单，比较容易分析和处理。

分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理单个刚体的平衡问题是一致的，但有其特点，其中很重要的是要正确判断刚体系统的静定性质，并选择合适的研究对象。第二十八页，共八十九页，2022年，8月28日由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。4简单的刚体系统平衡问题第二十九页，共八十九页，2022年，8月28日在静力学中求解物体系统的平衡问题时，若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超静定问题。而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数。4简单的刚体系统平衡问题第三十页，共八十九页，2022年，8月28日

静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。静定（未知数三个）

静不定（未知数四个）第三十一页，共八十九页，2022年，8月28日判断各图的超静定次数第三十二页，共八十九页，2022年，8月28日例5例5求图示三铰刚架的支座反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。可解得：CBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy第三十三页，共八十九页，2022年，8月28日例5再以AC为研究对象，受力如图。解得：FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF第三十四页，共八十九页，2022年，8月28日例6例6求图示多跨静定梁的支座反力。解：先以CD为研究对象，受力如图。再以整体为研究对象，受力如图。CBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD第三十五页，共八十九页，2022年，8月28日例7例7求图示结构固定端的约束反力。解：先以BC为研究对象，受力如图。再以AB部分为研究对象，受力如图。求得CBqFAMbaaFBMCBFCF'BFAyqFBAMAFAx第三十六页，共八十九页，2022年，8月28日例题8结构由杆AB与BC在B处铰接而成。结构A处为固定端，C处为辊轴支座。结构在DE段承受均布载荷作用，载荷集度为q；E处作用有外加力偶，其力偶矩为M。若q、l、M等均为已知，试求A、C二处的约束力。第三十七页，共八十九页，2022年，8月28日解：1.整体平衡根据整体结构的受力图(为了简便起见，当取整体为研究对象时，可以在原图上画受力图)，可列平衡方程

第三十八页，共八十九页，2022年，8月28日先考察BC杆的平衡，由

求得

解：2.局部平衡第三十九页，共八十九页，2022年，8月28日代入整体的平衡方程第四十页，共八十九页，2022年，8月28日解：4.讨论上述分析过程表明，考察刚体系统的平衡问题，局部平衡对象的选择并不是唯一的。正确选择平衡对象，取决于正确的受力分析与正确地比较独立的平衡方程数Ne和未知量数Nr。

此外，本例中，主动力系的简化极为重要，处理不当，容易出错。例如，考察局部平衡时，即系统拆开之前，先将均匀分布载荷简化为一集中力FP，FP=2ql。系统拆开之后，再将力FP按下图所示分别加在两部分杆件上。请读者自行分析，图中的受力分析错在哪里？

第四十一页，共八十九页，2022年，8月28日梯子不滑倒的最大倾角θ5考虑摩擦时的平衡问题

第四十二页，共八十九页，2022年，8月28日钢丝不滑脱的最大直径5考虑摩擦时的平衡问题

第四十三页，共八十九页，2022年，8月28日夹纸器的最小倾角5考虑摩擦时的平衡问题

第四十四页，共八十九页，2022年，8月28日夹持器的最小倾角5考虑摩擦时的平衡问题

第四十五页，共八十九页，2022年，8月28日磨削工具利用摩擦力5考虑摩擦时的平衡问题

第四十六页，共八十九页，2022年，8月28日磨削工具利用摩擦力5考虑摩擦时的平衡问题

第四十七页，共八十九页，2022年，8月28日利用摩擦力锚紧泊船5考虑摩擦时的平衡问题

第四十八页，共八十九页，2022年，8月28日摩擦的类别：干摩擦—固体对固体的摩擦。流体摩擦—流体相邻层之间由于流速的不同而引起的切向力。①滑动摩擦——由于物体间相对滑动或有相对滑动趋势引起的摩擦。滚动摩擦——由于物体间相对滚动或有相对滚动趋势引起的摩擦。②5考虑摩擦时的平衡问题

第四十九页，共八十九页，2022年，8月28日当两个相互接触的物体具有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此间产生的阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，称为滑动摩擦力。摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。若仅有滑动趋势而没有滑动时产生的摩擦力称为静滑动摩擦力；若存在相对滑动时产生的摩擦力称为动滑动摩擦力。5考虑摩擦时的平衡问题

第五十页，共八十九页，2022年，8月28日在粗糙的水平面上放置一重为P的物体，该物体在重力P和法向反力FN的作用下处于静止状态。今在该物体上作用一大小可变化的水平拉力F，当拉力F由零值逐渐增加但不很大时，物体仍保持静止。可见支承面对物体除法向约束反力FN外，还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向力，此力即静滑动摩擦力，简称静摩擦力，常以FS表示，方向向左，如图。FNPFNPFSF5考虑摩擦时的平衡问题

第五十一页，共八十九页，2022年，8月28日静摩擦力的大小随水平力F的增大而增大，这是静摩擦力和一般约束反力共同的性质。静摩擦力又与一般约束反力不同，它并不随力F的增大而无限度地增大。当力F的大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态。这时，只要力F再增大一点，物块即开始滑动。当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F再继续增大，但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。这就是静摩擦力的特点；5.1静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力FNPFSF第五十二页，共八十九页，2022年，8月28日综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，但介于零与最大值之间，即

由实验证明：最大静滑动摩擦力的大小与两物体间的法向反力的大小成正比，即：这就是静滑动摩擦定律。式中fs称为静滑动摩擦系数。5.2静摩擦定律（库仑摩擦定律）静摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关，而与接触面积的大小无关。第五十三页，共八十九页，2022年，8月28日5.3考虑摩擦的平衡问题考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大致相同，但有如下的几个特点：(1)分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的数目；(2)为确定这些新增加的未知量，还需列出补充方程，即Fs≤fsFN，补充方程的数目与摩擦力的数目相同；(3)由于物体平衡时摩擦力有一定的范围(即0≤Fs≤fsFN)，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时静摩擦力等于其最大值，补充方程只取等号。有时为了计算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。第五十四页，共八十九页，2022年，8月28日

解:1)物块在自重作用下即将下滑，受力图为：建立如图坐标系，列平衡方程有xyFN解得

这个角度称为静摩擦角例1将重为P的物块放在斜面上，斜面倾角，已知静摩擦系数为f,问1)斜面的倾角增到多少时物块将下滑？2)当时若加一水平力使物块平衡，求力的范围。第五十五页，共八十九页，2022年，8月28日

2)物块上加一水平力如图以物块为研究对象，当物块处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图坐标。联立求解得：第五十六页，共八十九页，2022年，8月28日当物块处于向上滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图坐标。联立求解得：故力应满足的条件为：第五十七页，共八十九页，2022年，8月28日梯子的上端B靠在铅垂的墙壁上，下端A搁置在水平地面上。假设梯子与墙壁之间为光滑约束，而与地面之间为非光滑约束。已知：梯子与地面之间的摩擦因数为fs；梯子的重力为W。1．设梯子在倾角1的位置保持平衡，求:A、B二处约束力FNA、FNB和摩擦力FA；2．若使梯子不致滑倒，求:倾角的范围。例题2第五十八页，共八十九页，2022年，8月28日解:

1.梯子在倾角1的位置保持平衡时的约束力

这种情形下，梯子的受力如图示。其中将摩擦力FA作为一般的约束力，假设其方向如图示。于是有

由此解得

第五十九页，共八十九页，2022年，8月28日解:

1.梯子在倾角1的位置保持平衡时的约束力

由此解得

所得FA的结果为负值，表明梯子下端所受的摩擦力与图中所假设的方向相反。

第六十页，共八十九页，2022年，8月28日这种情形下，摩擦力FA的方向必须根据梯子在地上的滑动趋势预先确定，不能任意假设。解:

2.求梯子不滑倒的倾角的范围

平衡方程和物理方程分别为

第六十一页，共八十九页，2022年，8月28日解:

2.求梯子不滑倒的倾角的范围

联立，不仅可以解出A、B二处的约束力，而且可以确定保持梯子平衡时的临界倾角由常识可知，角度越大，梯子越易保持平衡，故平衡时梯子对地面的倾角范围为

第六十二页，共八十九页，2022年，8月28日6结论与讨论求解刚体系统平衡问题需要注意的几个问题

正确地进行直观判断，提高定性分析能力空间力系特殊情形下的平衡方程摩擦角与自锁的概念

求解超静定问题的方法简述受力分析的重要性

第六十三页，共八十九页，2022年，8月28日读者从本章关于单个刚体与简单刚体系统平衡问题的分析中可以看出，受力分析是决定分析平衡问题成败的重要部分，只有当受力分析正确无误时，其后的分析才能取得正确的结果。初学者常常不习惯根据约束的性质分析约束力，而是根据不正确的直观判断确定约束力。

错在哪里？6结论与讨论第六十四页，共八十九页，2022年，8月28日读者从本章关于单个刚体与简单刚体系统平衡问题的分析中可以看出，受力分析是决定分析平衡问题成败的重要部分，只有当受力分析正确无误时，其后的分析才能取得正确的结果。初学者常常不习惯根据约束的性质分析约束力，而是根据不正确的直观判断确定约束力。

错在哪里？6结论与讨论第六十五页，共八十九页，2022年，8月28日

根据刚体系统的特点，分析和处理刚体系统平衡问题时，注意以下几方面是很重要的：

认真理解、掌握并能灵活运用“系统整体平衡，组成系统的每个局部必然平衡”的重要概念。

要灵活选择研究对象

所谓研究对象包括系统整体、单个刚体以及由两个或两个以上刚体组成的子系统。灵活选择其中之一或之二作为研究对象，一般应遵循的原则是：尽量使一个平衡方程中只包含一个未知约束力，不解或少解联立方程。

求解刚体系统平衡问题需要注意的几个问题

第六十六页，共八十九页，2022年，8月28日注意区分内约束力与外约束力、作用与反作用力。

内约束力只有在系统拆开时才会出现，故而在考察整体平衡时，无需考虑内约束力，也无需画出内约束力。当同一约束处有两个或两个以上刚体相互连接时，为了区分作用在不同刚体上的约束力是否互为作用与反作用力，必须对相关的刚体逐个分析，分清哪一个刚体是施力体，哪一个是刚体受力体。

注意对主动分布载荷进行等效简化考察局部平衡时，分布载荷可以在拆开之前简化，也可以在拆开之后简化。要注意的是，先简化、后拆开时，简化后合力加在何处才能满足力系等效的要求。

第六十七页，共八十九页，2022年，8月28日干摩擦时的摩擦力－摩擦角关于摩擦角的两点结论：

摩擦角是静摩擦力取值范围的几何表示。

三维受力状态下，摩擦角变为摩擦锥。摩擦角与自锁的概念第六十八页，共八十九页，2022年，8月28日自锁及其应用WyWxFFNW斜面上刚性块的运动趋势第六十九页，共八十九页，2022年，8月28日自锁及其应用－斜面上刚性块的运动趋势WyWxFFN坡度很小时，刚性块不滑动第七十页，共八十九页，2022年，8月28日自锁及其应用－斜面上刚性块的运动趋势WyWxFFN坡度增加到一定数值以后，刚性块滑动第七十一页，共八十九页，2022年，8月28日自锁及其应用－斜面上刚性块的运动趋势WyWxFFN坡度增加到一定数值时，刚性块处于临界状态第七十二页，共八十九页，2022年，8月28日不仅斜面与物块系统具有这种现象，考察平面－物块系统的运动趋势：自锁及其应用FQFQ第七十三页，共八十九页，2022年，8月28日主动力作用线位于摩擦角范围内时，不管主动力多大，物体都保持平衡，这种现象称为自锁。自锁及其应用第七十四页，共八十九页，2022年，8月28日主动力作用线位于摩擦角范围以外时，不管主动力多小，物体都将发生运动。自锁及其应用第七十五页，共八十九页，2022年，8月28日主动力作用线与法线之间的夹角等于摩擦角时物体处于临界状态。自锁及其应用第七十六页，共八十九页，2022年，8月28