第四章 静态场解

第四章静态场的解4.1边值问题的分类4.2唯一性定理4.3镜像法4.4分离变量法4.5复变函数法4.6格林函数法4.7有限差分法静态场特性静态场基本概念静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。静态场的麦克斯韦方程组静态场与时变场的最本质区别：静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。静电场的泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程静电场基本方程——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。——泊松方程——拉普拉斯方程无源区域恒定电场的拉普拉斯方程恒定电场基本方程——导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场——拉普拉斯方程恒定磁场的矢量泊松方程洛仑兹规范——矢量泊松方程恒定磁场基本方程——恒定磁场是无散有旋场。——矢量拉普拉斯方程注意：

标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。分解在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，引入标量磁位来表示磁场强度。即——标量拉普拉斯方程拉普拉斯算子直角坐标系圆柱坐标系球坐标系静态场的重要原理和定理对偶原理(1)概念：如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的数学形式也将是相同的，这就是对偶原理，亦称为二重性原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位的量称为对偶量。静电场(无源区域)恒定电场(电源外区域)(2)静电场与恒定电场对偶方程对偶量(3)静电场与恒定磁场对偶方程对偶量(4)有源情况下的对偶关系对偶关系存在不像上述两种情况那样一目了然(5)应用电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系，某些波导中横电波(TE波)和横磁波(TM波)间的对偶关系静电场(无源区域)恒定磁场(无源区域)4.1边值问题的分类

边值问题是指存在边界面的电磁问题

根据给定边界条件对边值问题分类：

第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。

第二类边值问题：已知函数在全部边界面上的法向导数。第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。4.2唯一性定理4.2.1格林公式令散度定理则——格林第一恒等式若将第一恒等式中的ψ与φ互换，则——格林第二恒等式4.2.2唯一性定理内容：在场域V的各边界面S上给定电位或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一。说明：若对同一面积，同时给定和的值，则不存在唯一解。意义：指出了静态场边值问题具有唯一解的条件为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据设在区域V内，φ1和φ2满足泊松方程，即在V的边界S上，φ1和φ2满足同样的边界条件，即证明：令φ=φ1-φ2，则在V内，▽2φ=0，在边界面S上，φ|S=0。在格林第一恒等式中，令Ψ=φ，则4.3镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。目的：把原问题中包含典型边界的场的计算问题化为无限大均匀媒质空间中的问题求解,达到简化求解的目的.

基本思路：在求解域外的适当位置，放置虚拟电荷等效替代分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用，取消分界面的存在。应注意的问题：镜像电荷位于待求场域边界之外。将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程）。电位分布仍满足原边界条件

待求场域：上半空间边界：无限大导体平面边界条件：点电荷对无限大接地导体平面的镜像

导体平面导体平面在空间的电位为点电荷q和镜像电荷-q所产生的电位叠加，即电位满足边界条件导体平面边界上：4.3.1平面镜像法上半空间的电场强度：电位：导体表面感应电荷导体表面上感应电荷总量导体表面上感应电荷对点电荷的作用力线电荷对无限大接地导体平面的镜像将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为待求场域中的电位上半空间的电场3.点电荷对半无限大接地导体角域的镜像由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角为整数时，该角域中的点电荷将有个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解当n=2时：该角域外有3个镜像电荷q1、q2和q3

，位置如图所示。其中

当n=3时：角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。

4.3.2球面镜像法设一点电荷q位于半径为a的接地导体球附近，与球心的距离为d，如图所示。待求场域为r>a区域，边界条件为导体球面上电位为零。设想在待求场域之外有一镜像电荷q′，位置如图所示。根据镜像法原理，q和q′在球面上的电位为零。点电荷与接地导体球周围的电场aa在球面上任取一点c，则空间任意点的电位：导体球不接地：a—a导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷

q″=－q′球外任一点电位：球面上任一点电位：为了保证球面为等位面的条件，镜像电荷q″应位于球心处。4.3.3圆柱面镜像法(a)导体平面与线电荷；(b)等位线线密度为ρl

的无限长线电荷平行置于接地无限大导体平面前，二者相距d,如图4-5(a)所示，求电位及等位面方程。解：同理得镜像电荷-ρl的电位：任一点(x,y)的总电位：用直角坐标表示为等位线方程为这个方程表示一簇圆，圆心在(x0,y0)，半径是R0。其中：每一个给定的m(m>0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为4.3.3平面介质镜像法设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷q′介质1中任一点的电位和电位移矢量分别为：

当待求区域为介质2所在区域时，设一镜像电荷q″位于区域1中，且位置与q重合，同时将整个空间视为均匀介质2。于是区域2中任一点的电位和电位移矢量分别为：在分界面(R=R′=R″)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相等的边界条件：电介质中的电场分布：4.4分离变量法理论基础惟一性定理分离变量法的主要步骤根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。4.4.1直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法本征方程的求解(1)当时本征函数本征方程本征值(2)当时，设或由本征方程为：则：(3)当时，设由本征方程为：或则：应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解三种解的特点：第一种解中，X(x)和Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；第二种解中，X(x)为三角函数，有多个零点，Y(y)为双曲函数，最多只有一个零点；第三种解中，X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而Y(y)为三角函数，有多个零点。解:

选直角坐标系，电位函数满足二维拉普拉斯方程

边界条件：例1：一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位为U0，求槽内电位分布。设，代入式(1)中得:根据边界条件(2)与(3)可知，函数X(x)沿x方向有两个零点，因此X(x)应为三角函数形式，又因为X(0)=0，所以X(x)应选取正弦函数，即由边界条件(3)得：对应的Y(y)函数为双曲函数，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式为此时，电位可表示为由边界条件(5)知

其中：对上式两边同乘以，再对x从0到a进行积分，即满足边界条件的特解为：直角坐标系中三维拉普拉斯方程分离变量法根据本征值的不同取值，可以得到类似于二维情况的解的形式。为了在给定边界条件下，选取适当的通解函数形式，下表给出了一些的典型组合。表中和是由边界条件确定的实数。解:选直角坐标系，电位函数满足三维拉普拉斯方程及边界条件例2:求图示长方形体积内的电位函数。由边界条件可以判断，特征函数可表示为：由边界条件可得：电位函数可表示为：由本征值关系可得：则：最后，由最后一个边界条件得：上式两端同乘以，并对x,y积分，利用三角函数正交性可得：于是所求的电位函数为：4.4.2圆柱坐标系中的分离变量法电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为令其解为代入上式求得上式中第二项仅为变量

的函数，而第一项及第三项与无关，因此将上式对

求导，得知第二项对的导数为零，可见第二项应为常数，令即式中k为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量

的变化范围为，那么此时场量随

的变化一定是以2

为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数k一定是整数，以保证函数的周期为2。令，m为整数，则上式的解为式中A,B为待定常数。考虑到，以及变量的方程式，则前述方程可表示为代入上式求得上式左边第一项仅为变量r的函数，第二项仅为变量z

的函数，因此按照前述理由，它们应分别等于常数，令即式中分离常数kz可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或指数函数。当kz为实数时，可令式中C,D

为待定常数。将变量z方程代入前式，得若令，则上式变为上式为标准的柱贝塞尔方程，其解为柱贝塞尔函数，即至此，我们分别求出了R(r)

,(),Z(z)的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。式中E,F为待定常数,为m阶第一类柱贝塞尔函数，为m阶第二类柱贝塞尔函数。根据第二类柱贝塞尔函数的特性知，当r=0时，。因此，当场存在的区域包括

r=0

时，此时只能取第一类柱贝塞尔函数作为方程的解。若所讨论的静电场与变量z无关，则分离常数。那么电位微分方程变为此方程的解为指数函数，即若所讨论的静电场又与变量无关，则m=0。那么，电位微分方程的解为考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式4.4.2圆柱坐标系中的分离变量法该方程的解常用的有四种情况该方程的解有两种情况该方程的解有三种情况的解：(1)当时，(2)当时，由于，限定了n必须为正整数。，(2)当时，设为任意非零实数。(3)当时，设，为任意非零实数。时，(1)当的解:的解(1)当时，方程化简为零阶贝塞尔方程，其解的形式为(2)当时，方程化简为欧拉方程，其解的形式为(3)当时，方程的解为(4)当时，方程的解为——n阶贝塞尔方程例3若在电场强度为E0的均匀静电场中放入一个半径为a的电介质圆柱，柱的轴线与电场互相垂直，介质柱的介电常数为ε，柱外为真空，如图4-11所示，求柱内、外的电场。图4-11均匀场中介质柱解：设柱内电位为φ1，柱外电位为φ2，φ1和φ2与z无关。取坐标原点为电位参考点，边界条件如下：①r→∞,φ2=-E0rcosφ②r=0,φ1=0③r=a,φ1=φ2④r=a,于是，柱内、柱外电位的通解为考虑本题的外加电场、极化面电荷均关于x轴对称，柱内、柱外电位解只有余弦项，即结合边界条件1和2可得由边界条件③和④，可得其中，εr=ε/ε0，是介质圆柱的相对介电常数。于是柱内、外的电位为例4：在一均匀电场中，放置一无限长的圆柱导体，圆柱的轴线与电场强度的方向垂直，如图所示，求放入圆柱导体后的电场分布。解：按题意应选用圆柱坐标系。导体为等位体，导体内部不存在电场，因而根据题意可确定，的形式为当时，对应的函数的形式为于是，电位的形式为：放置圆柱导体之后，使均匀场发生畸变，但远离导体的地方，电场仍然保持均匀状态。由得相应的电位函数为：未放置圆柱导体前，空间电场为均匀场比较上两式可知，当时，当时，于是：已知：根据，得到可见，在处，电场强度最大。故圆柱体外部空间的电位为边界条件为圆柱导体表面为等位面，取该等位面电位为零，即于是4.4.3球坐标系中的分离变量法该方程只讨论电位与方位角无关的情况该方程的解有两种情况该方程的解有两种情况(1)时，(2)时，的情况不存在。当电位与方位角无关时，即：的解的解——勒让德方程

的解它的解具有幂级数形式，且在-1<x<1收敛。勒让德方程的解为n阶勒让德多项式Pn(x)：勒让德多项式也是正交函数系，正交关系为当或时，是发散的。而电位应为有限值，所以Φ的解中不含有项。通过以上分析，电位的通解为和根据给定的边界条件来确定。(1)时，(2)时，小结：三种坐标系下分离变量法的通解直角坐标系柱坐标系球坐标系（与方位角无关）

例5假设真空中在半径为a的球面上有面密度为σ0cosθ的表面电荷，其中σ0是常数，求任意点的电位。球面上的边界条件为①r=a,φ1=φ2②r=a,解：设球内外的电势分别为φ1、

φ2则根据题意可知故使用勒让德多项式的唯一性，即将区间［-1,1］内的函数可以唯一的用勒让德多项式展开，并考虑P1(cosθ)=cosθ，得(r≤a)(r≥a)4.5复变函数法利用复变函数中的一些解析函数性质可以直接表示某些具有导体边界的二维场。利用复变函数中解析函数的保角变换性质，可以将复杂的场域边界变换成比较简单的边界，这给具有复杂场域边界的二维电磁场的求解提供了一种比较简便的方法。利用复变函数求解电磁场边值问题的方法，称为复变函数法。复变函数：自变量为复数的函数。

解析函数柯西—黎曼条件是判断复变函数是否为解析函数的必要和充分条件。

复变函数的性质柯西—黎曼条件：自变量----复变函数或复变函数的几个重要性质（1）复变函数中解析函数的实部和虚部都满足二维拉普拉斯方程。柯西—黎曼条件：可见：同理：柱坐标中：（2）在坐标变量为x及y的复平面z上，解析函数W(z)的实部u(x,y)等于常数的曲线与虚部v(x,y)等于常数的曲线处处正交。令：对这两条曲线求梯度：可见：说明：u(x,y)等于常数的曲线与虚部v(x,y)等于常数的曲线处处正交。(3)解析函数W(z)可将复平面z上的两条相交曲线保角变换到坐标变量为u+jv的复平面W上。保角变换的含义：

复变函数法4.5.1复(电)位函数若已知某一解析函数W(z)的实部（或虚部）等于常数的曲线和待求场中的电位等于常数的边界重合，则此解析函数的实部（或虚部）就是待求位函数的解，并且此解析函数的虚部（或实部）必为待求场的通量函数，该方法称为复位函数法。应用该方法时，要求对一些解析函数的特性比较熟悉，以便依据边界条件确定合适的复位函数。如果复变函数w(z)=u(x,y)+jv(x,y)是解析函数，则它的实部

和虚部之间应满足柯希—黎曼条件：且其实部和虚部都满足二维拉普拉斯方程：且曲线簇u(x,y)=C1和曲线簇v(x,y)=C2处处相互正交4.5.2用复电位解二维边值问题当取某一解析函数的虚部表示二维电场的电位时，有如图，计算xoy平面上任意一条曲线为底，z方向单位长的曲面的通量：说明：若在xoy平面上指定A点作为计算通量的起点，则B点的通量函数是指在AB间的一条曲线和z方向单位长度构成的一个曲面上的电通量结论：用复变函数法解二维边值问题的关键是找一个解析函数.若解析函数存在，则当其虚部表示电位函数时，其实部一定表示通量函数.即若解析函数存在，当其实部表示电位函数时，则其虚部是通量函数的相反值.即思路：研究一些常用解析函数的实部和虚部的等值线分布.对实际的边界形状，从常见的函数中找出其实部(或虚部)的等值线与边界相重合的函数.根据已知的边界条件确定该解析函数中的待定常数.对于形状较复杂的边界，常常需要进行两次或多次变换.对数函数实部可以视为无限长线电荷的电位函数虚部可以视为两个半无限大导体平面角域间的电位函数在柱坐标系，令则

幂函数用柱坐标系，令，则幂函数可以表示为两个夹角为的接地无限大导体平面间的复电位和半无限大导体平面间的场的接地分布。复电位分别为例：

反余弦函数可以用来表示导体表面是椭圆柱面或双曲柱面的复电位无限长直条带可视为椭圆柱面的特殊情况两共面导体板可视为双曲柱面的特殊情况4.5.3保角变换保角变换法就是选择合适的解析函数将z平面上较为复杂的边界变换为W平面上的简单边界，求出简单边界问题的待求函数，再用反变换，获得原有问题的解。如图：说明：保角变换前后，图形的形状要产生旋转和伸缩，但两条曲线之间的夹角保持不便.使用保角变换法求解静态场问题的关键是选择适当的变换函数，将z平面上比较复杂的边界条件变换到W平面较易求解的边界.注意：如果变换以前势函数满足拉普拉斯方程，则在变换以后势函数也满足拉普拉斯方程.如果变换以前势函数满足泊松方程则在变换以后，势函数满足以下的泊松方程即：二维平面场的电荷密度经过变换以后要发生变化，但是电荷总量不变。在变换前后，Z平面和W平面对应的电场强度要发生变化，它们之间的关系为变换前后，两导体之间的电容量不变.例6：在夹角为α的角形区域内，线电荷的位置坐标为，如图所示。求角形区域内的位函数。解：先进行保角变换，再结合镜像法求解。对于角形边界问题，采用幂函数进行变换。Ox边：OM

边：可见：z平面上的角形边界，被变换为W平面上的无限大平面边界。线电荷ρl的坐标在W平面上可以用镜像法求解，镜像电荷-ρl的坐标为(R0,-θ0)，电位为:z平面角形区域的电位函数：其中：4.6格林函数法概念格林函数是指单位点源的位函数应用格林函数是数学物理方法中的基本方法之一，可用于求解静态场中的Laplace方程、Poisson方程及时变场中的Helmholtz方程思路先求出与待解问题具有相同边界形状的Green函数，然后通过积分得到具有任意分布源的解重点与难点理解能用Green函数法求解的静电问题的情况;

了解点电荷的表示;

掌握Green公式;

对于第一类和第二类边界条件都能用Green公式求出势函数.分离变量法和镜像法能解的情况

分离变量法能解的情况：自由电荷全聚集在边界上，也就是说：在要求解电场区域没有自由电荷(泊松方程转变为拉布拉斯方程)+边界条件。镜像法能解的情况：在求解区域内没有自由电荷，或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或介质界面规则(电场能用等效电荷代替)+边界条件。

能用Green定理求解静电边值问题的情况:给定区域V内电荷分布，和区域V的边界面S上各点的电势或电势法向导数。

第一类边值问题:给定S上的电势,也称狄利克莱边值问题;第二类边值问题:给定S上的，也称诺埃曼边值问题。

Green函数法能解的情况点电荷密度的δ函数表示因为点电荷分布的特点是在点电荷所在处的电荷密度变为无穷大，而在其他地方电荷密度为零。若在x处有一点电荷Q，则电荷密度可写为显然对于单位点电荷而言，Q=1，其密度为

Green函数一个处在点上的单位点电荷，它所激发的电势方程为假设有一包含点的某空间区域V，在V的边界S上有如下边界条件则把满足边界条件（4）式的（3）式的解称为泊松方程在区域V的第一类或第二类边值问题的Green函数Green函数一般用表示，表示单位电荷所在的位置，代表观察点，在（3）式和（4）式中，把换成G，即Green函数所满足的方程和边界条件为4.6.1静电场边值问题的Green函数法表示式假定已知某给定区域V内的电荷体密度ρ(r)，则待求电位φ(r)满足泊松方程：与其对应的Green函数为Green函数具有对称性或互易性由及当源点在区域V内时，有此式就是有限区域V内任意一点电位的格林函数表示式。它表明，一旦体积V中的电荷分布ρ以及有限体积V的边界面S上的边界条件φ(r′)和为已知，V内任意一点的电位即可以通过积分算出。注意：Green第一、第二公式是等价的，视问题的方便程度而选取之。Green公式对解静电问题的意义是：在区域V内找一个待定函数φ（ψ为待求），通过这个公式从已知确定未知。1.第一类边值问题的格林函数即第一类边值问题的格林函数G1在边界面S上满足齐次边界条件。2.第二类边值问题的格林函数在此条件下，第二类静电场边值问题的解为3.第三类边值问题的格林函数电位的边界条件结论：

Green函数解法的的实质是把Poisson方程的求解转化为特定边界条件下点源激励时位函数的求解问题.（点源激励下的位函数就是Green函数）对于Laplace方程的求解问题，只需要将相对应的Green函数中的体电荷密度取为0即可.说明：

以上的讨论，表面上制裁似乎把静电边值问题的解找到了，其实并作为此，因为只有把问题的Green函数找到了，才能对表达式（第一类边值问题的形式解和第二类边值问题的形式解）作出具体的计算。实际求Green函数本身并不是件容易的事，所以以上解的形式只具有形式解的意义。当然，它把唯一性定理更具体地表达出来了。4.6.2简单边界的格林函数1.无界空间的格林函数即在无穷大空间中放一个单位点电荷，求空间某处的电势，也就是Green函数。二维单位点源的位函数2.上半空间的格林函数式中：计算上半空间(z>0)的格林函数，就是求位于上半空间r′处的单位点电荷，以z=0平面为电位零点时，在上半空间任意一点r处的电位。这个电位可以用平面镜像法求得，因而，上半空间的格林函数为二维半空间(y>0)的格林函数式中：3.球内、外空间的格林函数可以由球面镜像法，求出球心在坐标原点、半径为a的球外空间的格林函数为球内空间的Green函数：在求解Green函数时，求Green函数本身不是很容易的，只有当区域具有简单几何形状时才能得出解析的解，否则只能给出数值解.注意：

4.6.3格林函数的应用例7已知一个半径为a的圆柱形区域内体电荷密度为零，界面上的电位为用格林函数法求圆柱内部的电位φ(r,φ)。解：如图，使用镜像法及格林函数的性质，可以得出，半径为a的圆柱内部静电问题的格林函数为由可得又

例8如果例7的圆柱面上的电位为φ(a,φ)=U0cosφ，求柱内的电位。首先证明恒等式*解：

令k=r/a，我们可以将式*改写成例9在均匀电场中，设置一个半径为a的介质球，若电场的方向沿z轴，求介质球内、外的电位和电场（介质球的介电常数为ε，球外为空气）.解：

根据题意可知，球内外的电位满足Laplace方程，且与方位角Φ无关，在球坐标系下其通解形式为故可设球内、外电位解的形式分别为z由题意，选取球心为电位的参考点，则由边界条件，在介质球面r＝a处andwhen由电场强度和电位的关系磁位φm

、磁矢位A与电位φ的比较位函数比较内容引入位函数的依据位与场的关系微分方程位与源的关系电位磁位磁矢位（A）(有源或无源）(无源）(有源或无源）

例10设在均匀磁场H0中放置一半径分别为