第四章 立体表面交线

第四章立体表面的交线本章教学目的与要求１、熟悉截交线的性质；２、掌握平面和平面立体的截交线画法；(难点)３、掌握平面和回转体（柱、锥、球）截交线画法；(重点)４、掌握平面和复合回转体的截交线画法；(难点)

5、熟悉相贯线的性质；

6、了解平面体与回转体的相贯线的画法；

7、熟练掌握回转体与回转体正交相贯线的画法；（重点）8、熟练掌握利用积聚性求相贯线的方法；（重点）9、了解辅助平面法求相贯线的方法；（难点）10、掌握特殊相贯线;（难点）11、多体正交相贯相贯线的画法。

下一页2023/2/31机械制图安徽工业大学仝基斌立体表面的交线

回章节目录下一页上一页2023/2/32机械制图安徽工业大学仝基斌1.定义：平面立体被平面截切，平面称截平面，它们的交线称

截交线。截交线既在立体表面上，又在截平面上，所以是共有线，截交线上所有点是共有点。2.截交线的特性：①交线为封闭的平面图形（多边形）；

②交线为共有线（一系列共有点的集合）

动画演示回章节目录下一页上一页第一节立体表面的截交线一、截交线的概念、性质及求取方法2023/2/33机械制图安徽工业大学仝基斌求取：求交线可归结为找点；截平面处于特殊位置，有积聚性，截交线的一个投影已知，然后用面上求点线的方法求交线其他投影。方法：棱线法（各棱线与截平面的交点）棱面法（各棱面与截平面的交线）步骤：①分析截交线的形状；②分析截交线的投影（在哪个面有积聚性，在哪个面有类似性）③画交线投影（连线判别可见性，整理轮廓线）注意：①截交线的投影特性要注意（类似性）；②连线（两面均垂直与某投影面，交线垂直该投影面）；③判别可见性：截平面与立体均不可见，交线不可见。回章节目录上一页下一页3.求截交线的方法与步骤2023/2/34机械制图安徽工业大学仝基斌

【例一】已知正垂面和三棱锥相交，求作截交线的投影，并画出三棱锥截切后的三面投影。分析：截交线为三角形，正面投影积聚在Pv上，水平投影和侧面投影类似形。作图：1）在正面投影上依次标出1′、2′、3′。2）根据线上取点的方法求得相应的水平投影1、2、3、和侧面投影1″、2″、3″。3）连线并判别可见性。4）整理轮廓线。回章节目录上一页下一页动画演示二、平面与平面立体相交（平面立体截切）2023/2/35机械制图安徽工业大学仝基斌作图步骤上一页下一页回章节目录2023/2/36机械制图安徽工业大学仝基斌【例二】已知正三棱锥被一正垂面和一水平面截切，试完成其截切后的水平投影和侧面投影。分析：正垂面和水平面截切产生的截交线形状均为四边形。正垂面水平投影和侧面投影为类似形。水平面的水平投影反映实形，侧面投影积聚为线。回章节目录上一页下一页

动画演示2023/2/37机械制图安徽工业大学仝基斌作图步骤下一页上一页回章节目录2023/2/38机械制图安徽工业大学仝基斌【例三】已知四棱台被两个侧平面和一个水平面所截切，求截切后交线的水平投影和侧面投影。回章节目录上一页下一页分析：两个侧平面所截的截交线形状为等腰梯形，水平投影积聚为线，侧面投影反映实形。水平面所截的截交线形状为距形。水平投影反映实形，侧面投影积聚为线。动画演示2023/2/39机械制图安徽工业大学仝基斌【例四】已知四棱柱被五个面所截切，求截切后形体的俯视图。动画演示回章节目录上一页下一页2023/2/310机械制图安徽工业大学仝基斌三、平面与回转体相交截交线的特性：

①交线为封闭的平面图形（平面曲线或多边形）；②交线为共有（一系列共有点的集合）求取：同平面立体

对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。注意：①同平面立体；②找点：特殊点（转向轮廓线点如最高、最底、最前、最后、最左、最右）；一般点。连线：多点光滑相连；③同平面立体；④曲面立体截交线要明确其特点。回章节目录上一页下一页2023/2/311机械制图安徽工业大学仝基斌1.平面与圆柱截切的截交线回章节目录上一页下一页动画演示动画演示2023/2/312机械制图安徽工业大学仝基斌（一）

分析截交线空间形状：椭圆。截交线的投影：正面投影积聚在PV上，侧面投影积聚在圆上，故只求水平投影。回章节目录上一页下一页【例五】已知水平圆柱被一正垂面P所截，求作截交线的投影。2023/2/313机械制图安徽工业大学仝基斌（二）作图1）求特殊点：A、B、C、D、2）求一般点：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ3）连线并判断可见性，4）整理轮廓线：

回章节目录上一页下一页2023/2/314机械制图安徽工业大学仝基斌回章节目录上一页下一页【例六】已知圆柱的左端被水平面和正垂面截切，完成圆柱被切后的侧面投影和水平投影。动画演示2023/2/315机械制图安徽工业大学仝基斌（一）分析：圆柱可以看作两个正平面和一个侧平面切割而成。截交线空间形状：距形和不完整圆。

截交线的投影：正面投影积聚在PV上；侧面投影积聚在不完整圆上，故只求水平投影。

动画演示回章节目录上一页下一页【例七】已知圆柱的左端被四个面切口，完成圆柱被截切后的水平投影。2023/2/316机械制图安徽工业大学仝基斌【例八】已知圆柱的左端被四个面切口，完成圆柱被截切后的水平投影。

动画演示回章节目录上一页下一页2023/2/317机械制图安徽工业大学仝基斌回章节目录上一页下一页【例九】已知圆柱的左和右端均被四个面切口，如下图所示，完成圆柱被截切后的水平投影。动画演示思考：圆柱中间挖一个通孔，截交线的投影如何画。2023/2/318机械制图安徽工业大学仝基斌【例十】已知圆筒的左端被四个面切口，完成圆筒被截切后的水平投影。动画演示回章节目录上一页下一页2023/2/319机械制图安徽工业大学仝基斌【例十一】已知圆筒的左端被四个面切口，完成圆筒被截切后的水平投影。回章节目录上一页下一页

动画演示2023/2/320机械制图安徽工业大学仝基斌【例十二】已知圆柱被下面五个面所切，完成圆柱被截切后的水平投影。动画演示下一页上一页回章节目录2023/2/321机械制图安徽工业大学仝基斌

2.平面与圆锥截切的截交线回章节目录上一页下一页2023/2/322机械制图安徽工业大学仝基斌动画演示动画演示

动画演示动画演示回章节目录上一页下一页圆锥截切模型2023/2/323机械制图安徽工业大学仝基斌分析：截交线是双曲线的一叶，其水平投影积聚在截平面的水平投影上，正面投影反映实形，左右对称。回章节目录上一页下一页【例十三】已知圆锥被正平面所截，求截交线的正面投影。动画演示2023/2/324机械制图安徽工业大学仝基斌【例十四】已知圆锥被一个平面所截，求截交线的水平投影和侧面投影。回章节目录上一页下一页动画演示求特殊点

2023/2/325机械制图安徽工业大学仝基斌求一般点连线整理轮廓线判别可见性回章节目录上一页下一页2023/2/326机械制图安徽工业大学仝基斌*【例十五】已知圆锥被一个四棱柱所截，求截交线的水平投影和侧面投影。

动画演示回章节目录上一页下一页2023/2/327机械制图安徽工业大学仝基斌回章节目录上一页下一页*【例题十六】已知圆锥被四个面所截，求截交线的水平投影和侧面投影。动画演示2023/2/328机械制图安徽工业大学仝基斌3.平面与圆球截切的截交线回章节目录上一页下一页截面位置与V面平行与H面平行与W面平行与V面垂直立体图投影图2023/2/329机械制图安徽工业大学仝基斌

动画演示动画演示回章节目录上一页下一页圆球截切模型2023/2/330机械制图安徽工业大学仝基斌回章节目录上一页下一页【例题十七】已知圆球被三个面所截，求截交线的水平投影和侧面投影。动画演示2023/2/331机械制图安徽工业大学仝基斌【例题十八】已知圆球被三个面所截，求截交线的水平投影和侧面投影。动画演示回章节目录上一页下一页2023/2/332机械制图安徽工业大学仝基斌回章节目录上一页下一页【例题十九】已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投影和侧面投影。动画演示2023/2/333机械制图安徽工业大学仝基斌4．复合回转体截交线分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。

[例二十]已知圆锥被两个平面P、Q所截，求截交线的水平投影和侧面投影。（一）分析：截交线空间形状：截锥为双曲线；截圆柱为距形和不完整椭圆。截交线的投影：正面投影积聚在PV和QV上；侧面投影积聚在不完整圆上,故只求水平投影。

动画演示回章节目录上一页下一页2023/2/334机械制图安徽工业大学仝基斌在日常生活中,我们经常见到一个圆柱从另一个圆柱上贯穿而过,即两立体相交,它们表面产生的交线称之为相贯线。1、相贯线的定义由概述可知：两立体相交，他们的交线称为相贯线。回章节目录下一页上一页相贯线概念动画第二节立体表面的相贯线一、概述2023/2/335机械制图安徽工业大学仝基斌平面立体与平面立体（简称平、平相贯）（建筑类重点研究）平面立体与曲面立体（简称平、曲相贯）（难点）曲面立体与曲面立体（简称曲、曲相贯）（重点）二、相贯线的分类动画演示动画演示动画演示下一页上一页回章节目录2023/2/336机械制图安徽工业大学仝基斌1)一般情况下，为光滑封闭的空间图形。平、曲相贯：多段截交线组成的封闭空间图形曲、曲相贯：为光滑封闭的空间曲线（特殊：为平面曲线）2)它是同属于两曲面的公有线。（是一系列公有点集合）思考：相贯线的形状取决于回转面的形状、大小和它们轴线的相对位置。回章节目录下一页上一页3、相贯线的特性：2023/2/337机械制图安徽工业大学仝基斌二、平面立体与回转体相贯求取方法及步骤：

①分析立体，求出多段截交线②判别可见性：两立体表面均可见，交线可见③整理轮廓线。

【例二十一】求四棱柱与圆柱正交的相贯线的投影。空间分析：四棱锥前后两面截交线为素线；左右两面截交线为。相贯线为两段素线和两段圆弧组成的空间图形投影分析：左、俯视图有积聚性，投影已知，求正面投影即可。回章节目录下一页上一页动画演示2023/2/338机械制图安徽工业大学仝基斌思考一：挖四棱柱孔相贯线投影如何画；圆柱变圆筒相贯线投影如何画。回章节目录下一页上一页2023/2/339机械制图安徽工业大学仝基斌思考二：挖三棱柱孔相贯线投影如何画。

回章节目录上一页下一页2023/2/340机械制图安徽工业大学仝基斌1)利用“三等”关系，作素线的正面投影2′3′，不可见，画细虚线。作圆弧的正面投影1′（2′）4′，1′4′可见画粗实线。三棱柱孔的三条棱线的正面投影均不可见，画细虚线，如图所示。回章节目录上一页下一页2023/2/341机械制图安徽工业大学仝基斌2)作椭圆弧的投影，先作特殊点的正面投影1′、3′、5′，再作一般点的正面投影6′、7′，椭圆弧正面投影1′6′5′可见，画粗实线。5′7′3′不可见，画细虚线，如图所示。回章节目录上一页下一页2023/2/342机械制图安徽工业大学仝基斌3)整理轮廓线：正面投影转向轮廓线上点Ⅳ、Ⅴ之间的轮廓线被切，其投影应擦除，检查加深图形，如图所示。

回章节目录上一页下一页2023/2/343机械制图安徽工业大学仝基斌回章节目录下一页上一页三、回转体与回转体相贯1.求取步骤：

①分析交线情况（是否对称），投影情况（是否有积聚性）②找公有点（特殊点和一般点）③判别可见性：一曲面立体表面可见，交线可见④整理轮廓线。2.求取方法：

①利用积聚性表面取点法（适合柱、柱相贯）②辅助平面法3.利用积聚性表面取点法求相贯线（主要研究正交情况）2023/2/344机械制图安徽工业大学仝基斌空间分析：相贯线前后、上下对称。投影分析：左、俯视图相贯线投影有积聚性，故只求正面投影即可。回章节目录下一页上一页【例二十二】求圆柱与圆柱正交的相贯线2023/2/345机械制图安徽工业大学仝基斌作图：

1)求特殊点。相贯线的最左点Ⅰ、最右点Ⅱ分别为两圆柱正面投影转向轮廓线的交点，最前点Ⅲ和最后点Ⅳ是两圆柱侧面投影转向轮廓线的交点。利用“三等”关系求出1′、2′、3′（4′）。如图所示。下一页上一页回章节目录2023/2/346机械制图安徽工业大学仝基斌2)求一般点。为了精确求出相贯线的投影并用曲线光滑连接，应在适当位置求出相贯线上的一般位置点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ。利用“三等”关系求出5′（8′）、6′（7′），如图所示。下一页上一页回章节目录2023/2/347机械制图安徽工业大学仝基斌3)依次用曲线光滑连接1′-5′-3′-6′-2′，可得相贯线的正面投影，如图所示。由于相贯线前后对称，所以后半部分相贯线的正面投影与前半部分相贯线的正面投影重合。下一页上一页回章节目录2023/2/348机械制图安徽工业大学仝基斌回章节目录下一页上一页思考：小圆柱改为贯穿孔，投影如何画。2023/2/349机械制图安徽工业大学仝基斌回章节目录下一页上一页思考：大圆柱变圆筒相贯线投影如何画。2023/2/350机械制图安徽工业大学仝基斌4.讨论：（1）相贯线变化趋势：

当两圆柱直径不相等时，相贯线非积聚性投影（曲线）向大直径圆柱轴线弯曲。如图所示。

动画演示

动画演示回章节目录下一页上一页2023/2/351机械制图安徽工业大学仝基斌

回章节目录下一页上一页（2）相贯线可见性判别：两外表面相贯、内表面与外表面相贯，相贯线可见。动画演示2023/2/352机械制图安徽工业大学仝基斌两内表面相贯，相贯线不可见。回章节目录下一页上一页动画演示2023/2/353机械制图安徽工业大学仝基斌④两相贯圆柱等径时，相贯线的投影为交叉二直线。（相贯线为两垂直的椭圆）

动画演示回章节目录下一页上一页2023/2/354机械制图安徽工业大学仝基斌【例二十三】已知物体的俯、左视图，求物体的主视图，如图所示。回章节目录下一页上一页2023/2/355机械制图安徽工业大学仝基斌1）先画外表面相贯线的投影，利用“三等”关系，找特殊点画出垂直相交两线段，如图所示。

回章节目录上一页下一页2023/2/356机械制图安徽工业大学仝基斌2）画内表面相贯线的投影，先找特殊点，画相贯线弯向半圆柱孔的轴线，相贯线不可见，画细虚线，如图所示。回章节目录上一页下一页2023/2/357机械制图安徽工业大学仝基斌回章节目录下一页上一页动画演示3）整理轮廓线，检查、加深线段，如图所示

思考：该题垂直圆柱孔，改为四棱柱孔，三视图如何变化？2023/2/358机械制图安徽工业大学仝基斌[例二十四]已知圆柱与“U”形柱正交的俯、左视图，补画出主视图，如图所示。上一页回章节目录下一页2023/2/359机械制图安徽工业大学仝基斌作图：先画半圆柱与水平圆柱相贯线的投影，再画四棱柱与水平圆柱相贯的相贯线的投影，相贯线可见，如图所示。回章节目录上一页下一页2023/2/360机械制图安徽工业大学仝基斌思考：上题改为圆筒挖“U”形孔，挖切后圆筒的三视图如何画？回章节目录下一页上一页2023/2/361机械制图安徽工业大学仝基斌辅助平面法：就是根据三面共点原理，利用辅助平面去截两个相交的回转体，得两条截交线，两条截交线的交点，即为辅助平面与两相交立体三面上共有点，因此也是相贯线上的点。

动画演示回章节目录下一页上一页*5.辅助平面法求相贯线2023/2/362机械制图安徽工业大学仝基斌

A立体交线（L1)一系列辅助面

辅助平面P公有点公有点集合B立体交线（L2)（相贯线）特殊位置面包括：投影的平行面（正平面、水平面、侧平面）投影的垂直面（铅垂面、正垂面、侧垂面）A立体B立体辅助平面P交线L1交线L2特殊位置面辅助平面Q回章节目录下一页上一页辅助平面选择原则：使得辅助平与两回转体表面截交线的投影为简单易画的图形—直线或圆。2023/2/363机械制图安徽工业大学仝基斌〔例二十五〕求锥台和球相交的相贯线回章节目录下一页上一页

动画演示2023/2/364机械制图安徽工业大学仝基斌分析：1、相贯线前后对称。2、球和锥均没有积聚性，交线三个面的投影均要求出。3、辅助面选：一个正平面、一个侧平面和若干个水平面。水平面

正平面最低点Ⅰ最高点Ⅲ最前点Ⅱ一般点Ⅴ回章节目录下一页上一页2023/2/365机械制图安徽工业大学仝基斌1、求特殊点：〔转向轮廓线上点，如：最高（低）点、最前（后）点、最左（右）点〕选正平面求出最高(低)点Ⅰ、Ⅲ。选侧平面求最前(后)点、Ⅱ、Ⅳ。2、求一般点：选水平面求出一般点Ⅴ、Ⅵ。

3、连线判别可见性：判别可见性的原则：参加相贯的两立体的表面在该投影面上均可见，则相贯线可见。反之，相贯线不可见。4、整理轮廓线。回章节目录下一页上一页作图：动画演示2023/2/366机械制图安徽工业大学仝基斌〔例二十六〕求圆锥和圆柱正交相贯线的投影

动画演示回章节目录上一页下一页2023/2/367机械制图安徽工业大学仝基斌分析：选择一个过轴线的正平面；一个过圆柱俯视转向轮廓线；一个过锥顶且与圆柱相切的侧锥面若干个水平面。回章节目录下一页上一页a)选水平面b)选过锥顶的正平面c)过锥顶的辅助面与圆柱相切2023/2/368机械制图安徽工业大学仝基斌回章节目录下一页上一页作图：1.先作特殊点2023/2/369机械制图安徽工业大学仝基斌2.再作一般点回章节目录下一页上一页2023/2/370机械制图安徽工业大学仝基斌3.连线，判别可见性，整理轮廓线回章节目录下一页上一页2023/2/371机械制图安徽工业大学仝基斌1、回转体共轴相贯（圆球与圆柱、圆锥共轴相贯，相贯线为圆）相贯线的投影：在平行轴线的投影面上投影积聚为直线，在垂直轴线的投影面上投影为圆。

动画演示动画演示回章节目录下一页上一页四、相贯线特殊情况2023/2/372机械制图安徽工业大学仝基斌2．两轴线平行的圆柱相交，相贯线是两条平行的线段，不封闭。如图所示。下一页上一页回章节目录2023/2/373机械制图安徽工业大学仝基斌动画演示回章节目录下一页上一页3.回转体共轴相贯2023/2/374机械制图安徽