第2章-稳态热传导

第2章稳态热导热2.1导热基本定律－－傅里叶定律2.2导热问题的数学描写2.3典型一维稳态导热问题的分析解2.4通过肋片的导热2.5具有内热源的一维导热问题2.6多维稳态导热问题1第2章稳态热导热2.1导热基本定律－－傅里叶定律2.1.1各类物体的导热机理气体导热－－气体分子的不规则热运动时相互碰撞的结果。导电固体导热－－自由电子的运动。非导电固体导热－－晶格结构振动，即原子、分子在其平衡位置附近的振动。液体导热－－两种观点：一种认为同气体导热；另一种认为同非导电固体导热。

良导电体也是良导热体。2.1.2温度场（Temperaturefield）1.定义各个时刻物体中各点温度所组成的结合，又称温度分布。一般地说，物体的温度场是坐标和时间的函数，即2第2章稳态热导热2.分类按照物体中各点温度是否随时间而变化（1)稳态温度场（Steady-stateconduction）稳态工作（各种热力设备在持续不变的工况下的运行）条件下的温度场，物体中各点的温度不随时间变动。

温度分布表达式（2）非稳态温度场（Transientconduction）变动工作（各种热力设备在启动、停机、变工况时的运行）条件下的温度场。温度分布表达式按按照物体中各点温度随空间坐标的变化一维温度场：温度仅沿一个坐标方向变化。二维温度场：三维温度场：3第2章稳态热导热3.表示物体的温度场习惯上用等温面或等温线图表示。温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面；在任一二维平面上等温面表现为等温线。特点：1）物体中的任一条等温线要么形成封闭的曲线，要么终止在物体的表面上;

2）任何两条等温线不相交；

3）沿等温线（面）无热量传递；

4）当等温线图上每两条相邻等温线间的温度间隔相等时，等温线疏密可直观反映出不同区域导热热流密度的相对大小。4第2章稳态热导热1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上，发现导热基本规律——傅里叶定律2.1.3导热基本定律(Fourier’slaw）“－”号表示热量传递指向温度降低的方向；1.傅里叶定律的数学表达式为物体温度沿x轴方向的变化率。式中的2.傅里叶定律的数学文字表述：大量实践经验表明，在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该截面方向的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向与温度升高的方向相反。3.傅里叶定律的向量表达式（一般形式的数学表达式)：用热流密度矢量给出。5第2章稳态热导热式中，

是空间某点的温度梯度；

是通过该点的等温线（面）上的法向单位向量，指向温度升高的方向；为该处的热流密度矢量。4.温度梯度与热流密度矢量的关系如图2-2（a）所示，表示了微元面积dA附近的温度分布及垂直于该微元面积的热流密度矢量的关系。1）热流线定义：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。6第2章稳态热导热2）热流密度矢量与热流线的关系：在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表示。如图2-2（b）所示，其特点是相邻两个热流线之间沿热流线所传递的热流量处处相等，构成一热流通道。7第2章稳态热导热2.1.4导热系数（Thermalconductivity）2.导热系数的数值：导热系数数值上等于在单位温度梯度作用下物体内所产生的热流密度矢量的模。

4.影响导热系数的因素：物质的种类、温度、材料成分、湿度、压力、密度等。3.导热系数的物理意义：数值表征物质导热能力大小。

物质的重要热物性参数。专门实验测定。1.定义式8第2章稳态热导热5.导热系数对温度的依变关系：在工程实用计算中，在比较宽的温度区间内大多数工程材料都允许采用线性近似关系。9第2章稳态热导热导热系数界定值的大小反映了一个国家保温材料的生产及节能的水平。导热系数界定值越小，生产及节能的水平越高。把导热系数小的材料称保温材料。我国国家标准规定，凡平均温度不高于350℃时,导热系数不大于0.12W/（m2K)的材料。如膨胀珍珠岩、矿渣棉、超级保温材料（采用具有多层间隔的结构）等。其特点是容积重量轻，多孔。6.保温材料（隔热、绝热材料）

7.保温材料热量转移机理(高效保温材料)特点：蜂窝状、多孔高温时：(1)蜂窝固体结构的导热(2)穿过微小气孔的导热更高温度时：（1）蜂窝固体结构的导热 （2）穿过微小气孔的导热和辐射10第2章稳态热导热2.1.5工程导热材料的一般分类1)各向同性材料各方向上的导热系数相同的材料。2)各向异性材料指有些材料（木材，石墨）各向结构不同，因此各方向上的导热系数也有和大差异，这些材料称各向异性材料。此类材料的导热系数必须指明方向才有意义。8.超级保温材料采取的方法：（1）夹层中抽真空（减少通过导热而造成热损失） （2）采用多层间隔结构（1cm达十几层）特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射换热，垂直于隔热板上的导热系数可达：10-4w/mk11第2章稳态热导热2.2导热问题的数学描写确定导热体内的温度分布（温度场）是导热理论的首要任务.傅里叶定律：确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场:2.理论基础：傅里叶定律+能量守恒定律（热力学第一定律)3.假设：(1)所研究的物体是各向同性的连续介质(2)热导率、比热容和密度均为已知;(3)物体内具有内热源；强度

[W/m3];内热源均匀分布；表示导热体单位时间单位体积中内热源的生成热。2.2.1导热微分方程式1.定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。

12第2章稳态热导热4.导热微分方程的建立

在导热体中取一微元体

（1）直角坐标热力学第一定律：

d时间内微元体中：[导入与导出净热量]+[内热源发热量]=[热力学能的增加]13第2章稳态热导热（1）通过x=x、y=y、z=z，三个微元表面而导入微元体的热流量фx、фy、фz的计算。根据傅立叶定律得（2）通过x=x+dx、y=y+dy、z=z+dz三个微元表面而导出微元体的热流量фx+dx、фy+dy、фz+dz的计算。根据傅立叶定律得：14第2章稳态热导热（3）对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系：导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热=导出微元体的总热流量+微元体热力学能（内能）的增量（c）15第2章稳态热导热微元体内能的增量

微元体内热源生成热

将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。16第2章稳态热导热5.几个特例：

1）常导热系数

式中，为热扩散率。（Thermaldiffusivity）2）常导热系数，无内热源

3）常物性，稳态

4）常物性，稳态，无内热源

5）一维，常物性，稳态，无内热源

即：

17第2章稳态热导热6.几点说明：（1）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）；（2）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内增加的能量(扩散项)；（3）等号右边最后项是源项；（4）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。（5）导热微分方程是描写导热问题共性的数学表达式。求解导热问题，实际上就是对导热微分方程式的求解。（6）为获得某一具体导热问题的温度分布，还必须给出用以表征该特定问题的一些附加条件18第2章稳态热导热（2）圆柱坐标系（r,,z）

（3）球坐标系（r,，）19第2章稳态热导热2.2.2定解条件

1.定义：是指使导热微分方程获得适合某一特定导热问题的求解的附加条件。2.分类（1）初始条件（Initialconditions）：给出导热体初始时间温度分布。（2）边界条件（Boundaryconditions）：给出导热体边界上温度或换热情况。说明：（1）非稳态导热定解条件有两个；（2）稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。3.导热问题的常见边界条件有以下三类：第一类边界条件（Dirichlet条件）：规定了边界上的温度值。

最简单情形：

20第2章稳态热导热

最简单情形：

特例：绝热边界面：第二类边界条件（Neumann条件）：规定了边界上的热流密度值21第2章稳态热导热一个具体导热问题的完整数学描述：导热微分方程+定解条件第三类边界条件（Robin条件）：规定了物体与周围流体间的表面传热系数及流体温度。

对于非稳态导热，式中表面传热系数以及流体温度均是时间的函数。附加两个情形：（1）辐射边界条件12（2）界面连续条件假定两种材料接触良好，在两种材料的界面上应该满足以下的条件。22第2章稳态热导热2.2.3热扩散率的物理意义由定义式可知（1）导热系数越大，在相同温度梯度下，可以传导更多的热量。是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。

越小，温度升高1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。

由此可见，a越大，表示物体内部各点温度扯平的能力越大，因此而有热扩散率的名称；从温度的角度看，a越大表示物体中温度变化传播的越快。所以，a也是材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。

（2）23第2章稳态热导热2.2.4导热傅里叶定律和导热微分方程的适用范围1）适用于热流密度不很高而过程作用时间足够长。同时傅立叶定律也适用该条件。2）在极短时间内产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光加工过程，不适用。3）极温低度（接近于0K）时的导热问题也不适用。24第2章稳态热导热2.3典型一维稳态导热问题的分析解本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导热。直角坐标系：2.3.1通过平壁的导热1.单层平壁a几何条件：单层平板；

b物理条件：、c、

已知；无内热源

c时间条件：

d边界条件：第一类25第2章稳态热导热直接积分，得：根据上面的条件可写出该导热问题的完整数学描写：带入边界条件：26第2章稳态热导热热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况,因为此时各截面处的热流量处处相等。带入Fourier定律27第2章稳态热导热2.多层平壁的导热多层平壁：由几层不同材料组成例：房屋的墙壁—白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等边界条件：热阻：28第2章稳态热导热由热阻分析法：问：现在已经知道了q，如何计算其中第i层的右侧壁温？第一层：

第二层：第i层：

例题一锅炉炉墙采用密度为300kg/m3的水泥珍珠岩制作，壁厚＝120mm。已知内壁温度t1=500℃，外壁温度t2=50℃，试求每平方米炉墙每小时的热损失。29第2章稳态热导热假设：一维稳态；稳态导热。分析：此问题属于变导热系数问题。密度为300kg/m3的水泥珍珠岩的导热系数为计算：30第2章稳态热导热2.3.2通过圆筒壁的导热圆柱坐标系：1.单层圆筒壁一维、稳态、无内热源、常物性：第一类边界条件：(a)假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小于长度的1/10。31第2章稳态热导热对上述方程(a)积分两次:显然，温度呈对数曲线分布32第2章稳态热导热圆筒壁内温度分布：圆筒壁内温度分布曲线的形状？方法133第2章稳态热导热下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况34第2章稳态热导热2.多层圆筒壁由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算例题2-535第2章稳态热导热2.3.3通过球壳的导热对于内、外表面维持均匀恒定温度的空心球壁的导热，在球坐标系下：温度分布热流量热阻36第2章稳态热导热2.3.4带第二类、第三类边界条件的一维导热问题如图所示，一个电熨斗，电功率为1200W，底面竖直置于环境温度为25℃的房间中，金属底板厚为5mm，导热系数为15W/(mK)，面积为300cm2。考虑辐射作用在内的表面传热系数为80W/(m2K)，确定稳态条件下底板两表面的温度。分析：电熨斗绝热层的性能良好，加热器的功率全部通过底板散到环境中去。此问题近似处理为一维平板导热，底板右侧处理为对流边界条件，左侧为给定热流密度边界条件。解：此问题的数学描写：37第2章稳态热导热此问题的温度场为：代入给定的数据可得结论：求解导热微分方程，获得温度场，然后按Fourier定律定律获得导热热流量。38第2章稳态热导热2.3.5变截面或变导热系数的一维导热求：导热热流量方法：采用直接利用傅里叶导热定律表达式作积分的方法，求得导热热流量。导热系数一般可表示为＝（t），面积记为A（x）。对于一维问题，依据傅里叶定律，导热量为分离变量后积分，有记于是结论：在工程计算中，材料导热系数对温度的依变关系为线性关系，计算时，将计算式中的导热系数取用算术平均温度下的值即可。39第2章稳态热导热2.4通过肋片的导热

强化对流换热的方法：增加温差、增大表面传热系数、增加换热面积（方法之一——采用肋片）。1.肋片（fin）：又称翅片，依附于基础表面上的扩展表面。2.典型的肋片结构。40第2章稳态热导热3.肋片的导热特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热（在求解中常被视为内热源），肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。4.分析肋片导热解决的问题（1）确定肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？（2）确定通过肋片的散热热流量有多少？41第2章稳态热导热2.4.1通过等截面直肋的导热已知：矩形直肋肋基温度为t0，且t0>t，且t0为常数求：肋片中温度分布t

（x）和肋片的散热量

42第2章稳态热导热假设（1）肋片在垂直于纸面方向(即深度方向)很长，肋长l>>

andH，不考虑温度沿该方向的变化（肋长方向温度均匀），因此取一个截面（即单位长度）分析；（2）材料导热系数λ及表面传热系数h均为常数，沿肋高方向肋片横截面积Ac不变；

分析：严格地说，肋片中的温度场是三维、稳态、无内热源、常物性、第三类边条的导热问题。但由于三维问题比较复杂，故此，在忽略次要因素的基础上，将问题简化为一维问题。43第2章稳态热导热可以从两个方面入手：a能量守恒＋Fourierlawb例如书上第59页（3）表面上的换热热阻1/h，远大于肋片的导热热阻δ/λ，即肋片上任意截面上的温度均匀不变（认为温度沿厚度方向均匀）；（4）肋片顶端视为绝热，即dt/dx=0；在上述假设条件下，把复杂的肋片导热问题转化为一维稳态导热如图（b）。可以设想，肋片各截面的温度沿高度方向是逐渐降低的如图（c）。于是导热微分方程为：44第2章稳态热导热能量守恒：Fourier定律：Newton冷却公式：45第2章稳态热导热导热微分方程：边界条件：引入过余温度。令则有：46第2章稳态热导热方程的通解为：应用边界条件可得：最后可得等截面内的温度分布：47第2章稳态热导热稳态条件下肋片表面的散热量=通过肋基导入肋片的热量肋端过余温度：即x＝H48第2章稳态热导热几点说明：(1)上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。对于一般工程计算，尤其长而薄的肋片，足够精确。若必须考虑肋端散热，取：Hc=H+/2(2)上述分析近似认为肋片温度场为一维。当Bi=h/0.05时，误差小于1%。对于短而厚的肋片，二维温度场，上述算式不适用；（3）实际上，肋片表面上表面传热系数h不是均匀一致的，可按其平均值来计算—数值计算。这里的长短指沿肋高方向49第2章稳态热导热例题2－6压气机设备的储气筒里的空气温度，用一支插入装油的铁套管中的玻璃水银温度计来测量，如图所示。已知温度计的读数为100℃，储气筒与温度计套管连接处的温度为t0=50℃，套管高H=140mm，壁厚=1mm，管材的导热系数=58.2W/(m2K)。试分析：（１）温度计的读数能否准确地点代表被测地点处的空气温度？（２）如果不能，分析其误差有多大？50第2章稳态热导热分析：由于温度计的感温包与套管顶部直接接触，可以近似认为温度计的读数就是套管顶部的壁面温度tH。温度计套管与其四周环境之间发生着三种方式的热量传递，即：（１）从套管顶端向根部的导热；（２）从压缩空气向套管外表面的对流换热；（３）从套管外表面向储气筒筒身的辐射换热。稳态时，套管从压缩空气获得的热流量正好等于套管向筒身的导热及辐射换热之和。因而，套筒的壁面温度必然低于压缩空气的温度，即存在测温误差。套管中每一截面上的温度可近似认为是相等的，因而温度计套管可以看成是截面积为d的一等截面直肋。而所谓测量误差就是套管顶端的过余温度H=tH-tf，此处tf是筒内空气的温度。假设：该问题可看成设是一维稳态等截面直肋的导热稳态。计算：51第2章稳态热导热讨论：测量误差为4.7。这样大的误差往往是不允许的。那么怎样才能减小测量误差呢？采用热阻分析法，如图2-18所示。假设：整个温度计套管的表面除顶端，其余为绝热面，其对流换热量均集中在套管的顶端。R1表示储气筒内的空气与温度计套管间的对流换热热阻，R1＝1/hAcR2表示温度计套管顶端至根部的导热热阻，R2＝H/（Ac）＝H/（d）R3表示储气筒外的环境空气与储气筒之间的对流换热热阻，R3＝1/h∞A∞若要减小测量误差，显然应尽可能减小R1，而增大R2和R3，具体措施如下：（1）强化套管与储气筒内的空气间的换热，即减小R1（2）选用导热系数更小的材料作套管，即增大R2（3）尽量增加套管高度，并减小壁厚，即增加R2（4）在储气筒外包保温材料，即增加R3注：上例热阻分析法中，每个串联环节的热流量不相等，仅作为定性分析。52第2章稳态热导热2.4.2肋效率1.等截面直肋的效率为了表征肋片散热的有效程度，引进肋效率（finefficiency）。（1）肋效率定义由此可见已知肋效率即可计算出肋片的实际换热量。（2）应用对于等截面直肋。53第2章稳态热导热2.其他形状肋片的效率在工程领域广泛采用多种其他形状的肋片。表2-1常见肋片的肋效率计算式。图2-19、2-20给出肋效率曲线。2.4.3肋片的选用与最小重量肋片采用肋片，加大了对流传热面积，但同时也增加了通过固体的导热热阻。增加肋片是否有利取决于肋片的导热热阻与表面对流传热热阻之比。对于等截面直肋，当时，加肋是有利的。是肋片的半厚。研究在一定的散热量下的最小重量的肋片是很重要的。通常选用截面为三角形的肋片。例题54第2章稳态热导热55第2章稳态热导热分析：1.在垂直于纸面方向上管板的长度远大于其厚度，因而可取一个截面（即单位长度）来研究；2.任意两根相邻冷却水管间的吸热板的温度分布可以近似认为是一样的；3.吸热板背面绝热良好，因而背面相当于对称面；4.相邻两根冷却管间的吸热板的温度分布显然关于中间截面对称，则中间截面也是一个绝热面；5./<<1/h，因而沿着厚度方向吸热板的温度变化可以忽略不计。假设：太阳能集热器吸热板中的温度分布问题可简化为如图2-25所示的等截面直肋中的导热问题。推导：太阳能集热器吸热板的导热问题与边界条件为56第2章稳态热导热注：此处的绝热条件非近似假设，而是严格的条件。57第2章稳态热导热2.4.4接触热阻(Thermalcontactresistance）1.定义两个名义上互相接触的固体表面，实际上接触仅发生在一些离散的面积元上，如图所示。在未接触的界面之间的间隙中充满了空气，热量将以导热的方式穿过这种气隙层。这种情况与两固体表面真正完全接触相比，增加了附加的传递热阻，称为接触热阻。2.工程分析肋片的制作：有效地减少接触热阻－－采用胀管或浸镀锡液的操作（在圆管上缠绕金属带以生成环肋、在管束间套以金属薄片形成管片式换热器。3.数值通过实验来测定。4.影响因素（1）材料的性质（2）表面粗糙度（3）界面上所受的正压力等

58第2章稳态热导热2.5具有内热源的一维稳态导热

2.5.1具有内热源的平板导热

在工程技术中有许多有内热源的导热问题。电器及线圈中有电流通过的发热,化学中的放热，吸热反应引起的热传递；核能装置中燃料元件的放射反应等。以平壁中具有均匀内热源为例。如图所示，确定平壁中任意一点x处的温度及通过该截面处的热流密度。由于对称性，只研究板厚的一半即可。这一问题的数学描写为：

59第2章稳态热导热对方程作两次积分，利用边界条件，最后可得平板中的温度分布为

根据傅立叶定律得平板中任意位置x处的热流密度：由此可见，（1）无内热源的平壁导热，其内温度成线性分布；而有内热源的平壁导热，其内温度成抛物线分布。

（2）无内热源的平壁导热，其通过板内任意断面的热流密度相等；而有内热源的平壁导热，其通过板内任意断面的热流密度不等。另当平板两侧均为给定壁温时，平板中的温度分布为：

60第2章稳态热导热例题图给出了核反应堆中燃料元件散热的一个放大的简化模型。该模型是一个三层平板组成的大平壁，中间为１＝14mm的燃料层，两侧均为２＝6mm的铝板，层间接触良好。燃料层有内热源强度为1.5x107W/m3的内热源，１＝35W/(mK)；铝板内无内热源，２＝100W/(mK)，其表面受到温度为tf＝150℃的高压水冷却，表面传热系数为h=3500W/(m2K）。不计接触热阻，试确定稳态工况下燃料层的最高温度、燃料层与铝板的界面温度及铝板的表面温度，并定型绘出简化模型中的温度分布。

61第2章稳态热导热分析：由于对称性，只要研究半个模型即可。假设：（1）一维稳态导热；（2）不计接触热阻；（3）内热源强度为常数。计算：讨论：该题的热阻分析从界面温度t1开始，而不是t0开始－－因为燃料元件有内热源，不同x处界面的热流量不相等。热阻分析仅用于各界面热流量相等的情形。62第2章稳态热导热2.6多维稳态导热2.6.1稳态导热问题求解方法简述分析解法如分离变量法。