工程塑性理论应变分析

工程塑性理论应变分析第一页，共一百一十六页，2022年，8月28日在外力作用下，物体内部任意两点间的相对位置发生改变时，则认为物体发生了变形，物体的变形通常包含线长度的变化和角度的变化。l0l1θ1θ0第二页，共一百一十六页，2022年，8月28日◆表示线长度的相对伸长或缩短的量称为线应变或正应变，线段伸长时的正应变为正，缩短时为负。l0l1第三页，共一百一十六页，2022年，8月28日◆表示角度变化的量称为切应变。角度减小时的切应变为正值，角度增大时为负值。θ1θ0第四页，共一百一十六页，2022年，8月28日在以下所分析的应变量都是小应变，一般不超过10-310-2数量级，因此，对弹性应变和塑性应变不加区别。

由于变形较小，可以忽略切应变对线长度的影响。第五页，共一百一十六页，2022年，8月28日第六页，共一百一十六页，2022年，8月28日应变的表示方法

表示应变量大小的方法通常有两种：◆工程应变：

又称相对应变或名义应变。

◆对数应变：

也称真（实）应变或自然应变。第七页，共一百一十六页，2022年，8月28日设l0为物体中两质点变形前的尺寸，lk为变形后尺寸，则工程应变可用下式表示，即第八页，共一百一十六页，2022年，8月28日◆工程应变一般适用于变形程度较小的情况。

◆当变形程度较大时，工程应变不足以反映实际的变形过程。只有采用对数应变才能得到合理的结果。第九页，共一百一十六页，2022年，8月28日对于实际变形过程，设物体中两质点的距离由变形前的l0经过k个变形过程后变为lk。l1l0初始l2lk终了第十页，共一百一十六页，2022年，8月28日则总的应变量可近似地看作是个n个无限小的相对应变之和，即当n无限增大时，以积分代替求和，则总的应变量为Ε反映了物体变形的实际情况，将其称为对数应变。

第十一页，共一百一十六页，2022年，8月28日对数应变的确切定义为：

在应变主轴保持不变条件下的应变增量的总和。第十二页，共一百一十六页，2022年，8月28日对数应变和工程应变特性

（1）工程应变不能反映变形的实际情况

Є由式可见,当变形程度很小时,工程应变的高次项可以忽略，对数应变近似地等于工程应变，即Є≈ε。变形程度愈大，二者相差愈大。一般当变形程度<10%时，就可以认为：Є≈ε第十三页，共一百一十六页，2022年，8月28日（2）对数应变具有可加性，而工程应变不具有可加性

l1l0l2l3第十四页，共一百一十六页，2022年，8月28日总的工程应变为：

各阶段的工程应变为：

，，

l1l0l2l3第十五页，共一百一十六页，2022年，8月28日总的对数应变为

:各阶段的对数应变为

:l1l0l2l3第十六页，共一百一十六页，2022年，8月28日（3）对数应变为可比应变，工程应变为不可比应变变形体l0第十七页，共一百一十六页，2022年，8月28日物体拉长一倍与缩短一倍时，物体的变形程度应该是一样的，而采用工程应变表示拉压变形程度时，数值相差悬殊，失去了可以比较的性质。而真实应变是可以进行比较的。

第十八页，共一百一十六页，2022年，8月28日（4）工程应变计算简单

对数应变虽具有上述优点，但在工程计算上，由于必须查找自然对数，显然在使用上是不方便的，所以，除了要求计算精度较高时采用对数应变外，通常采用工程应变。第十九页，共一百一十六页，2022年，8月28日l0l1h0h1b0b1第二十页，共一百一十六页，2022年，8月28日6.4.2点的应变状态

6.4.2.1应变几何方程

应变分量与位移分量之间的关系。第二十一页，共一百一十六页，2022年，8月28日u第二十二页，共一百一十六页，2022年，8月28日从变形体中取出一边长分别为dx、dy、dz的单元体，由于单元体非常小，可以认为单元体的变形是均匀的，变形前的两个平行平面在变形后仍保持平行关系，并且在坐标面的投影可以合并为一个投影平面。

第二十三页，共一百一十六页，2022年，8月28日第二十四页，共一百一十六页，2022年，8月28日为了研究问题的方便，将三维坐标系中的变形前后的六面体分别投影到x-y、y-z、z-x坐标平面内。现研究x-y坐标系中的变形情况。

第二十五页，共一百一十六页，2022年，8月28日第二十六页，共一百一十六页，2022年，8月28日设A点沿x轴和y轴方向的位移分别为第二十七页，共一百一十六页，2022年，8月28日设B点沿x轴和y轴方向的位移分别为第二十八页，共一百一十六页，2022年，8月28日设D点沿x轴和y轴方向的位移分别为第二十九页，共一百一十六页，2022年，8月28日将B点的位移按泰勒级数展开，忽略二阶以上高阶微量，则可得第三十页，共一百一十六页，2022年，8月28日将D点的位移按泰勒级数展开，忽略二阶以上高阶微量，则可得第三十一页，共一百一十六页，2022年，8月28日第三十二页，共一百一十六页，2022年，8月28日切应变由角度的变化来表示。

第三十三页，共一百一十六页，2022年，8月28日仿照切应力互等定律，将看作是由棱边AB和AD同时向内偏转相同的角度γxy和γyx组成的，因此，将切应变定义为第三十四页，共一百一十六页，2022年，8月28日对于实际变形过程，虽然棱边AB和AD偏转的角度不一定相同，即αxy≠αxy，但所产生的塑性变形效果是一样的，即棱边AB和AD偏转的角度之和为Φxy，而与αxy和αxy是否相等无关。第三十五页，共一百一十六页，2022年，8月28日由于在一般情况下，αxy≠αxy，，显然在αxy和αxy中也常常包含了单元体绕z轴作刚性转动时产生的角度变化ωz

第三十六页，共一百一十六页，2022年，8月28日第三十七页，共一百一十六页，2022年，8月28日第三十八页，共一百一十六页，2022年，8月28日应变几何方程式是在小变形条件下，由变形的几何关系导出的，称为（小）应变几何方程。由式(可知，若已知三个位移分量，则可以确定九个应变分量，其中独立的应变分量只有六个。uxuyuz第三十九页，共一百一十六页，2022年，8月28日圆柱坐标系下的应变几何方程：第四十页，共一百一十六页，2022年，8月28日点的应变状态

一点的应变状态被确定，是指过该点所有截面上的应变分量均是确定的。

第四十一页，共一百一十六页，2022年，8月28日从无数多个截面中，找出一组相互垂直的三个平面可以求出过该点任意截面上的应变第四十二页，共一百一十六页，2022年，8月28日第四十三页，共一百一十六页，2022年，8月28日因此，可以说，已知：

可以确定该点的应变状态第四十四页，共一百一十六页，2022年，8月28日体积不变条件

在小变形条件下，切应变所引起的线长度的变化可以认为是高阶微量，可以忽略不计，物体的体积变化仅与正应变有关。

第四十五页，共一百一十六页，2022年，8月28日第四十六页，共一百一十六页，2022年，8月28日设单元体的边长为dx、dy、dz，则变形前的体积为

变形后的体积为

第四十七页，共一百一十六页，2022年，8月28日第四十八页，共一百一十六页，2022年，8月28日单元体单位体积的变化量：

在小变形条件下，应变的乘积相可略去，则体积变化可表示为第四十九页，共一百一十六页，2022年，8月28日◆实验指出，金属在外力作用下产生塑性变形时，其所产生的体积变形是弹性的，并且这种弹性的体积改变是很小的。

◆弹簧钢在一万个大气压下体积缩小仅为2.2%。第五十页，共一百一十六页，2022年，8月28日体积不变条件也可以用对数应变来表示。由于V=V0，因此，可得将上式两边取对数，可得第五十一页，共一百一十六页，2022年，8月28日◆在材料塑性成形过程中，体积不变条件是一个很重要的原则。

◆有些问题可根据几何关系直接应用体积不变条件来求解。

◆体积不变条件还可以用于塑性成形时的坯料或半成品的形状和尺寸的计算等。第五十二页，共一百一十六页，2022年，8月28日主应变与主切应变

主应变与应变张量不变量

应变主平面：切应变为零的平面；

应变主方向：应变主平面的法线方向：

主应变：切应变为零平面上的正应变。

ε1、ε2、ε3

第五十三页，共一百一十六页，2022年，8月28日主应变可由应变张量的特征方程求得，即第五十四页，共一百一十六页，2022年，8月28日J1：应变张量的第一不变量

J2：应变张量的第二不变量

J3：应变张量的第三不变量

第五十五页，共一百一十六页，2022年，8月28日应变莫尔圆第五十六页，共一百一十六页，2022年，8月28日εm第五十七页，共一百一十六页，2022年，8月28日

由于在塑性变形时，变形体体积保持不变：因此，γ轴总是与应变莫尔圆相交。第五十八页，共一百一十六页，2022年，8月28日6.4.4.3主应变简图

＝主偏应力简图

主应变简图是采用主坐标系定性描述点应变状态的一种简化几何图形。

第五十九页，共一百一十六页，2022年，8月28日第六十页，共一百一十六页，2022年，8月28日（1）轧制技术变形区变形区形状不变稳态变形第六十一页，共一百一十六页，2022年，8月28日（2）挤压技术挤压杆挤压筒坯料变形区挤压件第六十二页，共一百一十六页，2022年，8月28日（3）拉拔技术坯料拉拔模变形区制品第六十三页，共一百一十六页，2022年，8月28日（4）锻造技术有摩擦时无摩擦时第六十四页，共一百一十六页，2022年，8月28日（5）冲压技术第六十五页，共一百一十六页，2022年，8月28日第六十六页，共一百一十六页，2022年，8月28日第六十七页，共一百一十六页，2022年，8月28日主切应变与最大切应变

应变主切平面：切应变达到极值的平面；

主切应变：切应变达到极值平面上的切应变。

应变主切平面与应变主平面成45°。第六十八页，共一百一十六页，2022年，8月28日与主切应力相对应地也可以得出主切应变与主应变之间的关系第六十九页，共一百一十六页，2022年，8月28日绝对值最大的主切应变称为最大切应变

：当主应变顺序已知

：第七十页，共一百一十六页，2022年，8月28日应变偏张量和球张量

应变张量同样可以分解为应变偏张量和应变球张量，即第七十一页，共一百一十六页，2022年，8月28日平均应变εm可用下式表示对于塑性变形：0第七十二页，共一百一十六页，2022年，8月28日第七十三页，共一百一十六页，2022年，8月28日应变偏张量的分量为第七十四页，共一百一十六页，2022年，8月28日球张量表示各方向的正应变相等，它代表体积改变部分。应变偏张量的三个正应变之和为零，表明它仅代表了形状改变部分。应变偏张量也存在着三个不变量，设应变偏张量的第一、二、三不变量分别为

第七十五页，共一百一十六页，2022年，8月28日第七十六页，共一百一十六页，2022年，8月28日八面体应变与等效应变

八面体应变

如果以应变主轴为坐标轴，同样可以做出八面体，则八面体上的应变为

第七十七页，共一百一十六页，2022年，8月28日八面体的正应变：八面体的切应变：第七十八页，共一百一十六页，2022年，8月28日等效应变第七十九页，共一百一十六页，2022年，8月28日与等效应力一样，等效应变是与材料塑性变形有密切关系的重要参数之一。

等效应变具有如下特点，即：

（a）等效应变是一个不变量；（b）等效应变在数值上等于单向均匀拉伸（或压缩）时的拉伸（或压缩）方向上的正应变。第八十页，共一百一十六页，2022年，8月28日第八十一页，共一百一十六页，2022年，8月28日单向拉伸时的应力状态：

σ1≠0；

σ2＝σ3＝0＝σ1第八十二页，共一百一十六页，2022年，8月28日单向拉伸时的应变状态：

ε1≠0；

ε2＝ε3＝-ε1/2≠0

（ε1

＋ε2＋ε3

＝0）＝ε1第八十三页，共一百一十六页，2022年，8月28日★“点的应变状态”小结：1）可求任意截面应变2）可描述点的应变状态3）可求主应变及应变张量不变量4）画出主应变简图5）可求最大切应变6）可求偏应变7）可求主偏应变及偏应变张量不变量8）可求等效应变第八十四页，共一百一十六页，2022年，8月28日6.5应变增量和应变速率

前面所分析的应变，通常称为“全量应变”.

全量应变：是表示单元体从初始状态开始至变形过程终了时的全过程应变量。第八十五页，共一百一十六页，2022年，8月28日全量应变的大小与变形途径有关，只有知道了变形途径，才能确定全量应变的大小。

如果质点曾有过几次变形，则其全量应变将是历次变形叠加的结果。第八十六页，共一百一十六页，2022年，8月28日全量应变：？压缩原始状态压缩拉伸压缩拉伸拉伸变形结束第八十七页，共一百一十六页，2022年，8月28日但是，塑性变形是不可恢复的，单元体每经过一次加载产生的塑性变形在卸载之后仍然保留下来，并作为下一次加载时的初始状态，因此，变形过程终了时的全量应变不一定取决于当时的应力状态。使得全量应变在塑性变形研究中的作用受到了很大的限制。第八十八页，共一百一十六页，2022年，8月28日第八十九页，共一百一十六页，2022年，8月28日στστε、γσ、τσsτsεC、2γD第九十页，共一百一十六页，2022年，8月28日EστF(σf，τf)DBAC初始屈服轨迹后继屈服轨迹O(σ，0)(0,τ)变形过程：O→

A→C：应变：ε1

＝εC、ε2＝ε3＝-εC/2变形过程：O→

A→C；C→F:应变相同：ε1

＝εC、ε2＝ε3＝-εC/2应变不变应力状态变化第九十一页，共一百一十六页，2022年，8月28日应变增量：是变形体在变形过程中某一瞬时产生的无限小应变。

与全量应变相比，应变增量是以瞬时的尺寸为起始点计算的，而全量应变是以变形过程的起始点计算的，因此，应变增量更能准确地反映物体的变形情况。第九十二页，共一百一十六页，2022年，8月28日对于一般的塑性变形过程，物体的变形是非常复杂的，变形也往往是不均匀的，应变主轴是不断变化的，使得应变主轴与应变增量主轴不一定重合，因此，dεij并不表示εij的微分，即第九十三页，共一百一十六页，2022年，8月28日l0l1l1－l0ldldε=dl/l第九十四页，共一百一十六页，2022年，8月28日应变增量与全量应变除了计算的起始点以及计算过程的长短不同外，二者没有其它不同之处，因此，一点的应变增量也是对称张量，称为应变增量张量，用符号dεij表示，第九十五页，共一百一十六页，2022年，8月28日应变增量与位移增量之间关系的几何方程：第九十六页，共一百一十六页，2022年，8月28日在应变增量理论中，具有与小应变理论完全相同的定义和方程式，例如具有三个主应变增量（dε1、dε2、dε3）、三个不变量、三对主切应变增量、应变增量莫尔圆、应变增量偏张量、应变增量球张量、等效应变增量以及用应变增量表示的体积不变条件等。

只要用dεij代替εij即可。第九十七页，共一百一十六页，2022年，8月28日★“点的应变增量”小结：1）可求任意截面应变增量2）可描述点的应变增量状态3）可求主应变增量及应变增量张量不变量4）画出主应变增量简图5）可求最大切应变增量6）可求偏应变增量7）可求主偏应变增量及偏应变增量张量不变量8）可求等效应变增量9）应变增量几何方程10）dε1＋dε2＋dε3＝0第九十八页，共一百一十六页，2022年，8月28日6.5.2应变速率

◆当物体在较低的温度以及较慢的速度条件下变形时，可以认为材料的力学性能与变形速度无关。

◆当物体在较短的时间内产生很大的变形量，即物体的变形速度很高时，就必须考虑变形速度对材料力学性能的影响，尤其是在较高的变形温度，例如在再结晶温度范围内时，变形速度的影响是非常大的。

第九十九页，共一百一十六页，2022年，8月28日应变速率几何方程：第一百页，共一百一十六页，2022年，8月28日上式对于大、小变形都是成立的，但要求对dεij按瞬时位置起算,而不是按初始位置起算，εij都是按初始位置起算的。第一百零一页，共一百一十六页，2022年，8月28日在变形很小时，由于无需区别两种起算位置，上述关系才成立。

第一百零二页，共一百一十六页，2022年，8月28日对于主应变速率而言，即使在小变形情况下，也只有当dεij各分量按比例增大或缩小时，主应变方向才不会改变，并与主应变速率方向一致，此时有第一百零三页，共一百一十六页，2022年，8月28日值得注意的是，提到“速度”的概念，要把工具的工作速度、位移速度以及应变速率加以区别。第一百零四页，共一百一十六页，2022年，8月28日工具的工作速度：是指工具在机械传动下产生的速度，其计量单位是m/s或m/min等，例如，在轧制时轧辊的旋转速度、锻造时锤头的下降速度等。

第一百零五页，共一百一十六页，2022年，8月28日位移速度：是指变形体内任意一点从某一瞬时算起，单位时间内所移动的距离，位移速度的计量单位是m/s或m/min等。可表示为第一百零六页，共一百一十六页，2022年，8月28日应变速率则表示从某一瞬时算起，在一微小的时间间隔内，单位时间内产生的应变增量，其计量单位为1/s

。第一百零七页，共一百一十六页，2022年，8月28日材料在单向拉伸实验时的应变速率与拉伸机的工作速度成正比，与试样的长度成反比。第一百零八页，共一百一十六页，2022年，8月28日材料试验机的工作速度保持不变的条件下，在拉伸时，由于试样长度