高二物理竞赛一维晶格振动课件

n2n2x0 x0 x0 x0 x0un2un1unun1un2n1 n n1a a a a amx0um

一维晶格振动一、一维单原子链晶格振动1、一维单原子链模型正离子密区负离子疏区正离子疏区负离子密区正离子密区负离子疏区正离子疏区负离子密区正离子密区负离子疏区压缩膨胀膨胀压缩膨胀长纵波（波长比原子间距大很多倍）波传播方向波传播方向-+-+-+-+--+--晶格振动- +-++-- ++--+++-+-+---+-+-+-+离子围绕平衡位置上下振动，形成横波。波传播方向- + - +- + - + +- + - +例二:横波：原胞中两个原子沿同一方向振动，等效于原胞中原子质心振动。横波：原胞中两个原子相对振动，原子质心不动。波传播方向波传播方向+-V

电子

VV

电子V晶格振动对于晶体特性的影响例、对于晶体电学特性的影响：假设：1、N个同种原子构成一维布拉菲格子，晶格常数a ；2、原子质量m

；nx

na03、第

n

个原子的平衡位置（格点位置）

；nx (t)

x0

un n4、一定温度下，第

n

个原子偏离平衡位置的位移:un

una,t

un5、在

t

时刻，第

n

个原子的瞬时位置:nx(t)

x

x0

u(t)

x0

u

na

un n n n n n一维单原子链动力学方程第

n、m

个原子的瞬时位置：mm

ma

ux (t)

x

x0

u (t)

x0

um m m m m在

t

时刻，两个原子之间的相互作用势能：mn

mnnmm nn nm mmnm n

la

umn

x

ux

x

x

)

(x

uu

)0

(x

x0

u0

(x0

u

)0l

1,2

2202 )

x

mn

x

mn

0mnmnmnmnumnxumnx0mn0mn1

2

)

((x )

(x

u假设温度不高，原子围绕格点位置微小振动，两原子间相对位移远小于两原子间

unm nmn平衡距离，umn

um

x0

la

，则可将两原子相互作用势能函数在两原

x0﹤﹤

x0mn子平衡间距

x0 作泰勒级数展开：NUn

(xm

xn

)m(n)得到第n

个原子受到其它原子的总相互作用势能：Nmnn m(n)0U

0

(x

)

Nmnnu

xUn

U m(n)

2mn

02012

2

N

mn mnn nU

U

m(n)u

2012mnx0mnmnxf

(

)

0（两个原子处于平衡位置时，相互作用力等于零。）第

n

个原子受到其它原子的总相互作用势能表达式：

N

mn

mnnnu

Unfnm(n)u22

u

1

n

m(n)2

u

1

N

(u

u)2

mn m nN

mn

(um

un

)

m(n)第

n

个原子振动而偏离平衡位置时受到其它原子的总作用力：得到第

n

个原子的动力学方程（牛顿第二定律Nm(n)dt

2d

2umn

(um

un

)

m

n

n

1,2,3,,

N

）：F

maNnmn

mm(n)dt

2d

2u(u

u

)m

n

一维单原子链动力学方程的近似处理简谐近似假设温度不高，原子围绕格点平衡位置弹性振动，位移与弹性力成正比关系:f

kx则第

n个原子的动力学方程简化为：n2x0 x0 x0 x0 x0un2un1unun1un2n1 n n1 n2a a a a amx0umd

2un

2un

)un)

(un1 un1(un1 (un1m

un

)

dt

2假定

n1

n1

，动力学方程简化为：最近邻近似只考虑第

n

个原子最近邻两个原子的相互作用势能及作用力，uNn

un由周期性边界条件，一维原子链中所有原子的动力学方程都表示为：nd

2udt

2m

un1

2un

)n1

(un1

un

)

(un1

un

)

(u周期性边界条件近似设想将长度为L

Na

的一维原子链围成环形，则原子链端点原子的运动状态与链内原子的运动状态完全一样，并且有边界条件：n

1,2,3,N

,代表联立的

N

个线性齐次方程组连续介质近似下的一维单原子链动力学方程的解分析：一定温度下，原子围绕格点位置谐振。由于原子之间存在相互作用力，每个原子的振动必