高二物理竞赛正则坐标、声子课件

正则坐标、声子NaqlN

l

N2 2

2lml

2

[1

cos(qla)]1、

正则坐标、声子一、

正则坐标一维单原子链晶格，第

n个原子的第l

个振动模式引起的位移：unl

Alei(naql

lt)umn

um

un0mnxnm

2mn

x

2

mn

Nmn

mnm(n)u

2U

U

0n n

12在谐振近似和最近邻近似下:22012nnn nuU

U

n1n1

u

u

u

假设:第

n个原子受到的总相互作用势能：在谐振近似和最近邻近似下，一维单原子链晶格总振动能量：2121212122nnnn2nnnn2n(umumumn1

n2n1n1

u2

2u u

)

u )2E

nnnUu

1

(u动能势能交叉项引入坐标变换：lllAei

t12Q(q)

(Nm)2

1

Q(q

)(Nm)Aellli

tNlNnlnllA

eu u l

1

l

1i(naq

t)NinaqlqllQ(q

)e

(Nm)2

1NlnqlinaqlQ(q

)eu

(Nm)2

1NlNinaqqlinaqlnNm)einaqQ(q

)e

1 Q(q

)e21212Q(q )einaqu

(Nm)

1

Q(q2

einaql(Nm)

1是晶格振动的一个本征态。Ninaq

inaqinaqeNm

1

1

e ,

1 21

Nme ,,

Nm构成

维态空间。nl为基矢的

N 维新坐标系下的新坐标，称为正则坐标。Q(q

)

可以看成是原子振动位移

u2

einaql在以

(Nm)

1NlqlinaqlnQ(q

)e2

1u

(Nm)inaqllllqlliaq

eiaql

unqlQ(q

)e

(Nm)

eQ(q

)eu

(Nm)2

11)aqi(n2

1n1在正则坐标系下，由于原子的位移是实数，所以:nnu

ulqlinaqln)eQ (q

(Nm)2

1un

的共轭复数：uinaqllnQ(q

)eu

(Nm)2

1

lqlinaqQ (ql

)e12Q(ql

)

Q(ql

)ql

un (Nm)得到：num2n21lll

ql qliqq

nan

qlinaq

qlinaq

N

1122N1Q

(ql)Q

(ql)

enlQ

(ql)eQ

(ql)e将变换带入振动总能量方程:动能项：NNl lql

,qleN

1ina(qq

)1

1nq

nall

1

eiqN当ql

ql

时，当时，ql

ql

0

1Nn n1q

naNN

1

eiqNll1

ei

2s

/

N

1

e 1

e

i

2s

/

N i

2sei2s

/

N

nNaqlN

l

N2 2

2lll

l lllllll

lll

lllqll

lqlllqliq

aliq

alq qiq

aliq

alqlNiqaliq

al

nqiq

ainaqlqiq

ainaqlnnaqQq

Qq

eiqq

naQ

Qq

Qq

e Nm222ql

,ql

qln1n11

cosQ

q

1

e

Qq1

eQq1

e

1Qq

1

e

Nq 1

e2m

qle 1

e 1

e

1 2

u )22

Qq

1

22 m12

2m1

e

2m

1

1

(u势能项：得到正则坐标下，一维单原子晶格振动总能量方程：qll2Q(q )

12l

l

ql2212

Qq 12

12nn2n(u

u )2n1 numE

晶格总能量表示为

N个独立的简谐振子能量之和。在正则坐标下，实际空间坐标下

N个相互作用的一维原子链的谐振等效为由本征态

(Nm)1/

2

einaql

为基矢构成的态空间中

N个独立的谐振子，使晶格振动总能量表示为关于正则坐标的平方项之和，简化问题处理。lllAei

t12Q(q)

(Nm)结论：nlll