人教版高中数学选择性必修第一册复习测试题含答案（一）

人教版高中数学选择性必修第一册复习测试题含答案（一）本卷满分150分，考试时间120分钟。单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．三棱柱中，为棱的中点，若，则（

）A．B．C．D．2．已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．以上都不对3．点A，B分别在空间直角坐标系O-xyz的x，y正半轴上，点C（0，0，2），平面ABC的法向量为，设二面角C—AB—O的大小为θ，则cosθ的值为（

）A． B． C． D．4．给出下列命题：①若空间向量满足则②空间任意两个单位向量必相等③若空间向量满足则④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有⑤向量（1，1，0）的模为；其中假命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正值为（

）A． B． C． D．6．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点A的坐标为，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且，点Q是线段的中点，且，Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（

）A．3B．2C． D．7．已知圆与圆相交于A､B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（

）． B． C． D．8．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，（

）A．4 B． C．8 D．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知两条直线，则下列结论正确的是（

）A．当时， B．若，则或C．当时，与相交于点 D．直线过定点10．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．过点A与抛物线有一个公共点的直线有3条C．的最小值为D．点到直线的最短距离为11．已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（

）A．当时，点的轨迹为圆B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为D．当时，面积的最大值为312．已知圆，直线，则下列结论正确的有（

）A．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于B．对于任意实数，直线恒过定点C．若直线交圆于，两点，则弦长的最小值为D．是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线：的右焦点为F，P为右支上一点，与x轴切于点F与y轴交于点A，B，，则的离心率为_____________.14．已知点P是x轴上的任意一点，，，则的最小值为_________.15．已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为____．16．已知双曲线，（，）的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则直线的斜率是___________，双曲线的渐近线方程为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值．18．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：(1)外心的坐标；(2)重心的坐标；(3)垂心的坐标．19．已知双曲线，，分别为其左，右焦点，双曲线C上存在点P，满足，且的面积为．(1)求双曲线C的离心率；(2)设A为双曲线C的左顶点，Q为第一象限内双曲线C上的任意一点，问是否存在正实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．21．已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22．设椭圆，抛物线的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，并且经过点，过的焦点F作直线l，与交于A，B两点，(1)求的标准方程；(2)设M是准线上一点，直线MF的斜率为，MA、MB的斜率依次为、，请探究：与的关系；(3)若l与交于C，D两点，为的左焦点，求的最小值．答案解析版本卷满分150分，考试时间120分钟。单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．三棱柱中，为棱的中点，若，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】．故选：B2．已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．以上都不对【答案】C【解析】如图所示：∵过点C的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥kBC或，∴直线l的斜率或，∴直线l斜率k的取值范围：，故选：C．3．点A，B分别在空间直角坐标系O-xyz的x，y正半轴上，点C（0，0，2），平面ABC的法向量为，设二面角C—AB—O的大小为θ，则cosθ的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设平面ABO的法向量为，设，则，于是有：，因此，故选：D4．给出下列命题：①若空间向量满足则②空间任意两个单位向量必相等③若空间向量满足则④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有⑤向量（1，1，0）的模为；其中假命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】在①中，若空间向量满足，向量与方向不一定相同，故①是假命题；在②中，空间任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命题；在③中，若空间向量满足，则向量与不一定相等，故③是假命题；在④中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定义得必有，故④是真命题；在⑤中，由模的定义得向量（1，1，0）的模为，故⑤是真命题．故选：C．5．如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以点D为坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，，设面的法向量为，有，取，则，所以，，，则直线与平面所成角的正弦值为．故选：D.6．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点A的坐标为，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且，点Q是线段的中点，且，Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（

）A．3 B．2C． D．【答案】C【解析】由题设，易知：，由知：，即，整理得：.故选：C7．已知圆与圆相交于A､B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，，即圆与相交，直线AB方程为：，圆的圆心，半径，点C到直线AB距离的距离，所以圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为.故选：A8．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【解析】：直线过定点，最小时，，圆心到直线的距离，，因为，所以此时，所以直线的倾斜角为，过点作交于点，则，在中，所以.故选：D多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知两条直线，则下列结论正确的是（

）A．当时， B．若，则或C．当时，与相交于点 D．直线过定点【答案】ACD【解析】：因为，对于A：当时，，则、，所以，所以，故A正确；对于B：若，则，解得或，当时，满足题意，当时，与重合，故舍去，所以，故B错误；对于C：当时，，则，解得，即两直线的交点为，故C正确；对于D：，即，令，即，即直线过定点，故D正确；故选：ACD10．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．过点A与抛物线有一个公共点的直线有3条C．的最小值为D．点到直线的最短距离为【答案】BC【解析】A选项，过点M作MA垂直抛物线准线于点B，根据抛物线定义可知：，即，解得：，代入抛物线中得：，故A错误；B选项，过点A平行于x轴的直线与抛物线有一个公共点，过点A的y轴，与抛物线相切，有一个公共点，当直线斜率存在时，设过点A的直线方程为，与抛物线联立得：，由得：，即与抛物线相切，只有一个交点，综上：共有3条，B正确；C选项，由抛物线方程可知：，连接AF，与抛物线交于一点，由两点之间，线段最短，可知，此点即为符合要求的M点，此时最小，最小值为，C正确；D选项，设与平行且与抛物线相切的直线为，此时直线与抛物线的切点即为M，则与的距离即为点到直线的最短距离，联立与抛物线方程得：，由解得：，故，D选项错误.故选：BC11．已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（

）A．当时，点的轨迹为圆B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为D．当时，面积的最大值为3【答案】BCD【解析】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则当时，线段为圆B的弦，则的中垂线过圆心B，点即点B，A错误；当时，如图1，点在线段AB上，连接则∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的椭圆，即则椭圆的离心率，B正确；当为椭圆短轴顶点时，面积的最大若时，则，最大面积为，D正确；当时，过点作圆的切线，切点为若点在劣弧（不包括端点）上，如图2，点在BA的延长线上，连接则∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的左半支若点在优弧（不包括端点）上，如图3，点在AB的延长线上，连接则∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的右半支则点的轨迹为双曲线∴，渐近线方程为，C正确；故选：BCD．12．已知圆，直线，则下列结论正确的有（

）A．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于B．对于任意实数，直线恒过定点C．若直线交圆于，两点，则弦长的最小值为D．是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为【答案】BCD【解析】选项A中，圆的圆心坐标为，半径，当时，直线，圆心到直线的距离，，圆上有4个点到直线的距离等于2，故错误；选项B中，化直线为，联立，解得，直线过定点，故正确；选项C中，定点与圆心的距离，则，故C正确；选项D中，设，，由可得：，所以，又因为点在圆上，所以可得：，所以，故正确.故选：.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线：的右焦点为F，P为右支上一点，与x轴切于点F与y轴交于点A，B，，则的离心率为_____________.【答案】【解析】不妨设点P在x轴的上方，因为轴，将代入，得，因为，，则有，且为等边三角形，所以，即，所以，又，所以.故答案为：.14．已知点P是x轴上的任意一点，，，则的最小值为_________.【答案】##【解析】如图，过B点作倾斜角为的一条直线，过点P作于，则，即，所以，A到直线的距离，因此的最小值为.故答案为：15．已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为____．【答案】或##或【解析】，，，解得或．故答案为：或．16．已知双曲线，（，）的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则直线的斜率是___________，双曲线的渐近线方程为___________.【答案】

【解析】如图所示，不妨设直线与圆相切于点，，由于代入进入，可得，渐近线方程为故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】（1）如图，取中点，连，，∵为中位线，∴，又平面，平面，∴平面，同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面，又平面，所以平面．如上图，在四边形中，过作交于，在中，得，，，则，得，∵，∴，又由已知条件，，平面，故平面，又平面，∴平面平面．∵为等腰三角形，∴，又因为平面，以为原点建立空间直角坐标系，如图：可得，，，，，，，设平面的法向量为，，，根据，得，解得，，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值．18．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：(1)外心的坐标；(2)重心的坐标；(3)垂心的坐标．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)中点为且，垂直平分线方程为：，即，由得：，即外心.(2)设，则重心，将代入欧拉线得：，即…①；由得：…②；由①②得：或（与重合，不合题意），，重心.(3)由（2）知：；由（1）知：，边的高所在直线方程为：，即；由得：，垂心.19．已知双曲线，，分别为其左，右焦点，双曲线C上存在点P，满足，且的面积为．(1)求双曲线C的离心率；(2)设A为双曲线C的左顶点，Q为第一象限内双曲线C上的任意一点，问是否存在正实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【解析】(1)不妨设点P在双曲线的右支上，设，则，在中，由余弦定理，得，即，所以，因为的面积为，所以.所以，所以.(2)由（1）知，.当时，，，所以，此时，即；下面求满足条件的轨迹，设为轨迹上任意一点，则，因为，因为，所以，化简，得，即，与双曲线完全一致，所以存在，使成立.20．在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】(1)：依题意可得、，，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，所以，，，设平面的法向量为，所以，令