人教版高中数学选择性必修第一册复习测试题含答案（二）

人教版高中数学选择性必修第一册复习测试题含答案（二）本卷满分150分，考试时间120分钟。单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（

）A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是2．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（

）A． B． C． D．3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为A． B． C． D．4．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（

）A． B． C． D．5．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A．B．C． D．6．已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（

）A． B．C． D．7．已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.

线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（

）A． B．C． D．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知曲线：，则（

）A．若，则曲线是圆，其半径为B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上C．若曲线过点，，则是双曲线D．若，则曲线不表示任何图形10．已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是（

）A．若，则的面积为B．四边形可能为矩形C．直线的斜率为D．若与、两点不重合，则直线和斜率之积为11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得B．存在点，使得异面直线与所成的角为C．三棱锥体积的最大值是D．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大12．以下四个命题表述正确的是（

）A．直线恒过定点B．圆上有4个点到直线的距离都等于1C．圆与圆恰有一条公切线，则D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设P为已知直线上的动点，过点P向圆作一条切线，切点为Q，则的最小值为___________.14．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．15．如图，抛物线：的焦点为，圆：，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______.16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）．若，则的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，三棱柱中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，AB⊥B1C．(1)求证：AO⊥平面BB1C1C；(2)设∠B1BC=60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角的余弦值．18．（12分）已知直线：，，为坐标原点，动点满足，动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)若直线与圆：交于不同的两点，当∠时，求的值；(3)若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点．19．（12分）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到平面的距离.20．（12分）已知椭圆：的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的方程．(2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与直线交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为，且．(1)求抛物线的方程；(2)经过焦点作互相垂直的两条直线，，与抛物线相交于，两点，与抛物线相交于，两点．若，分别是线段，的中点，求的最小值．22．（12分）已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹记为曲线.(1)求曲线的方程；(2)已知曲线上一点，动圆，且点在圆外，过点作圆的两条切线分别交曲线于点，.（i）求证：直线的斜率为定值；（ii）若直线与交于点，且时，求直线的方程.答案解析版本卷满分150分，考试时间120分钟。单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（

）A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是【答案】C【解析】，不存在实数，使，所以与不共线，A选项错误.向量方向相同的单位向量是，B选项错误.，所以与夹角的余弦值是，C选项正确.，所以不是平面的法向量，D选项错误.故选：C2．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标；直线整理为，故恒过定点，即为B坐标；又两条直线垂直，故可得，即整理得解得，当且仅当时取得最大值.故选：A.3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为A． B． C． D．【答案】A【解析】：设点A关于直线的对称点，的中点为，故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选A.4．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，即点Q的坐标为.故选：C5．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】方程是恒过定点，斜率为k的直线，曲线，即，是圆心为，半径在直线及右侧的半圆，半圆弧端点，在同一坐标系内作出直线与半圆C：，如图，当直线与半圆C相切时，由得切线PT的斜率，当直线PT绕点P逆时针旋转到过点A的直线的过程中的每一个位置的直线与半圆C均有两个公共点，包含直线PA，不包含直线PT，旋转到其它位置都没有两个公共点，直线PA的斜率，所以直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是.故选：A6．已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.故选：C.7．已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，中点，则，，又，，则，所以，又，则，而，，所以，即，综上，，整理得，即为M的轨迹方程，所以在圆心为，半径为的圆上，则.故选：A.8．已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.

线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当A在圆内时，如图，,所以的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，其中，，此时，，.当A在圆外时，如图，因为，所以的轨迹是以O，A为焦点的双曲线，其中，，此时，，.综上可知，.故选：D多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知曲线：，则（

）A．若，则曲线是圆，其半径为B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上C．若曲线过点，，则是双曲线D．若，则曲线不表示任何图形【答案】BC【解析】对于A，时，曲线可化为，其半径为，故A错误；对于B，时，曲线可化为表示的是椭圆，而，所以其焦点在轴上，故B正确；对于C，将点，，代入曲线：，有，，所以曲线是双曲线，故C正确；对于D，若，，满足条件，此时曲线：，表示两条直线，故D错误，故选：BC.10．已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是（

）A．若，则的面积为B．四边形可能为矩形C．直线的斜率为D．若与、两点不重合，则直线和斜率之积为【答案】BC【解析】在椭圆中，，，，设点、，则，如下图所示：对于A选项，由椭圆的定义可得，在中，由余弦定理可得，可得，因此，的面积为，A选项错误；对于B选项，由于直线与椭圆都关于原点对称，则点、也关于原点对称，又、关于原点对称，所以，四边形为平行四边形，若四边形为矩形，则，而，，，解得，B选项正确；对于C选项，，可知点，则，C选项正确；对于D选项，由于点、在椭圆上，则，上述两个等式相减得，可得，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，，D选项错误.故选：BC.11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得B．存在点，使得异面直线与所成的角为C．三棱锥体积的最大值是D．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大【答案】AD【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则；，，，，，，，；对于A，假设存在点，使得，则，又，，解得：，即点与重合时，，A正确；对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，，，，方程无解；不存在点，使得异面直线与所成的角为，B错误；对于C，连接；设，，当，即点与点重合时，取得最大值；又点到平面的距离，，C错误；对于D，由上分析知：，，若是面的法向量，则，令，则，而面的法向量，所以，令，则，而，由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，故二面角先变小后变大，D正确.故选：AD.12．以下四个命题表述正确的是（

）A．直线恒过定点B．圆上有4个点到直线的距离都等于1C．圆与圆恰有一条公切线，则D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点【答案】AD【解析】由，得，联立，解得，直线恒过定点，故A正确；圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B错误；两圆恰有一条公切线，则两圆内切，曲线化为标准式，圆心，半径为1，曲线化为标准式，圆心，半径为，∴圆心距为，解得，故C错误；设点的坐标为，则，以为直径的圆的方程为，两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，令，，解得，，故直线经过定点，故D正确．故选：AD.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设P为已知直线上的动点，过点P向圆作一条切线，切点为Q，则的最小值为___________.【答案】【解析】：圆的圆心为，半径为，由题意得当最小时，CP连线与直线垂直，所以，由勾股定理得，所以的最小值为，答案为：.14．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．【答案】【解析】因的顶点，，，则的重心，显然的外心在线段AC中垂线上，设，由得：，解得：，即点，直线，化简整理得：，所以欧拉线的方程为.故答案为：15．如图，抛物线：的焦点为，圆：，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______.【答案】【解析】：由题意知,圆的圆心为，半径，抛物线方程，四边形的面积，又，所以，由抛物线定义，得，又，所以，所以，所以.故答案为：.16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）．若，则的取值范围是______．【答案】【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为c，于是得，，由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在x轴上，点P在y轴右侧，由椭圆及双曲线定义得：，解得，，因，即，而O是线段的中点，因此有，则有，即，整理得：，从而有，即有，又，则有，即，解得，所以的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，三棱柱中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，AB⊥B1C．(1)求证：AO⊥平面BB1C1C；(2)设∠B1BC=60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角的余弦值．【答案】(1)见解析(2)【解析】（1）证明：∵四边形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，∵AB⊥B1C，AB∩BC1=B，平面ABC1，∴B1C⊥平面ABC1，又平面ABC1，∴B1C⊥AO，∵AB=AC1，O是BC1的中点，∴AO⊥BC1，又B1C∩BC1=O，平面BB1C1C，∴AO⊥平面BB1C1C；（2）解：∵AB∥A1B1，∴直线A1B1与平面BB1C1C所成的角等于直线AB与平面BB1C1C所成的角，∵AO⊥平面BB1C1C，∴直线AB与平面BB1C1C所成的角即∠ABO，∴∠ABO=45°，不妨设菱形BB1C1C的边长为2，则在等边三角形BB1C中，BO=，CO=B1O=1，在Rt△ABO中，AO=BO=，如图，以O为坐标原点，分别以OB，OB1，OA所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，设平面A1B1C1的法向量为，则有，可取，因为AO⊥平面BB1C1C，所以即为平面BB1C1C的一个法向量，则，由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为．18．已知直线：，，为坐标原点，动点满足，动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)若直线与圆：交于不同的两点，当∠时，求的值；(3)若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点．【答案】(1)(2)(3)直线过定点【解析】（1）设点，依题意知，整理得，曲线的方程为（2）点为圆心，∠，点到的距离，；（3）由题意可知：四点共圆且在以为直径的圆上，(对角互补的四边形的四顶点共圆)设，则圆心，半径得即又在圆：上即

(直线是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程)由得，直线过定点.19．（12分）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到平面的距离.【答案】(1)求证见解析(2)(3)【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为面是边长为2的正方形，，且，为的中点，所以，，，，，，，所以，因为平面的法向量可以为，所以，即，又平面，所以平面；（2）解：因为，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，因为平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，所以平面的法向量可以为，设二面角为，由图可知二面角为钝角，则，所以二面角的余弦值为；（3）解：由（2）知平面的法向量为，又，设点到平面的距离为，则所以点到平面的距离；20．（12分）已知椭圆：的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的方程．(2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与直线交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2