高二物理竞赛Sommerfeld模型课件

Sommerfeld模型1）基本假定电子在一有限深度的方势阱中运动，电子间的相互

作用可忽略不计（自由电子近似，独立电子近似）。

电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计；

电子的填充满足Pauli不相容原理；电子在运动中存在一定的散射机制（弛豫时间近似）。1、Sommerfeld电子的基态Drude经典理想气体Sommerfeld量子理想气体2）本征态和本征能量我们把自由电子气等效为在温度T=0，V=L1×L2×L3的立方体内运动的N个自由电子。独立电子近似使我们可以把N个电子问题转换为单电子问题。其运动方程为：其中，U为电子在势阱底部所具有的势能，为简单起见，可选取U＝0。令有方程的解为：其中，A为归一化因子，可由归一化条件确定。V为金属的体积。所以有：k为电子波矢。电子的能量：3）周期性边界条件对于足够大的材料（一般情况这很容易满足），材料表面层只占很小部分，除非讨论表面态的性能，表面对材料总体性能影响很小。为了讨论方便，通常采用周期性边界条件（Born-Karman边界条件）。将周期性边界条件代入式(1.6.9)得：由上式得：因此能级为分立的：在k空间中，电子态的分布是均匀的。二维正方所对应的k空间中电子态分布。每个点对应一个电子态，每个态占据k空间(2/L)2的的面积三维情况，k空间中电子态所对应的等能面为球形。附加边界条件导致波矢k取值得量子化。单电子本征态能量也取分立值。我们把波矢看作是空间矢量，相应的空间称为k空间（k-space），k空间中许可的取值用分立点表示，每个点在k空间占据的体积相等。k空间单位体积内许可态的数目，即k空间态密度为常数：能级填充到N/2每个能级可以填2个电子4）能量态密度（态密度）电子在能级上的填充遵守泡利不相容原理（Pauliexclusionprinciple）

T=0，电子从最低能级开始填充（能量最低原则），每个能级可以填2个电子（自旋参量）能量相同的电子态数目称为简并度电子填充的最高能级称为费米能（FermiEnergy,EF0）在k空间中，自由电子的等能面为球面，在能量为E的球体中，波矢k的取值总数为每一个k的取值确定一个电子能级，若考虑电子自旋，根据Pauli原理每一个能级可以填充自旋方向相反的两个电子。如将每一个自旋态看作一个能态，那么，能量为E的球体中，电子能态总数为因此能级填充满足定义：能态密度(能量态密度，在单位能量间隔内允许存在的量子态数目)其中：由此可见，电子的能态密度并不是均匀分布的，电子能量越高，能态密度就越大。电子（能）态密度曲线5）基态（T＝0）

当T＝0时，系统的能量最低。但是，由于电子的填充必须遵从Pauli原理，因此，即使在T＝0时，电子也不可能全部填充在能量最低的能态上。如能量低的能态已经填有电子，其他电子就必须填到能量较高的能态上。所以，在k空间中，电子从能量最低的原点开始，由低能量到高能量逐层向外填充，其等能面为球面，一直到所有电子都填完为止。由于等能面为球面，所以，在k空间中，电子填充的部分为球体，称为Fermi球（Fermisphere）。Fermi球的表面称为Fermi面（Fermisurface）；Fermi面所对应的能量称为Fermi能（Fermienergy，EF0）。

——费米半径Fermiwavevector——费米动量Fermimoment