高中数学人教A版第三章三角恒等变换简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换（2）一、教学目标重点:运用三角恒等变换化简函数表达式，分析其有关性质，以及解数学应用问题的思路、步骤和方法.难点：利用三角恒等变换化简函数表达式，以及如何科学的把实际问题转化成数学问题，如何选择自变量建立数学关系式．知识点：利用三角公式进行三角恒等变换化简三角函数式并利用三角函数的相关性质求值.能力点：由特殊到一般,由具体到抽象,不断提升学生的探究能力和数学思维能力.自主探究点：如何选择三角公式进行三角恒等变换化简三角函数式.考试点：利用三角公式进行三角恒等变换化简三角函数式,并求解化简后的三角函数的相关性质.易错易混点：对于求解化简后的三角函数的相关性质时,学生易出现计算上的错误.拓展点：从具体问题中抽象出解决三角恒等变换和求解最值的一般性方法.二、引入新课同学们，在第一章我们学习了正弦函数的图像、诱导公式及周期性、单调性、奇偶性、最值等一系列性质.这部分知识学习的时间较长了,可能有些同学已经忘了,那么我们一起复习一下.【设计意图】通过复习加深对正弦函数相关性质的理解,为更好的解决课本例3打下知识的基础.对于相关性质通过复习我们已经熟悉了,那么对于的周期性、单调性、奇偶性、最值等一系列性质,我们怎样求解呢?这就是我们这节课的主要任务.【设计意图】开篇点题，明确本节课的教学重点.三、探究新知例1已知,求该函数的周期，最大值和最小值.分析：不是正弦函数的标准式，那么第一步我们应先把其化为标准式,才能利用正弦函数的相关性质去求解.如何进行恒等变形这是关键.通过配凑系数我们可以利用两角和与差的正余弦公式去化简.即:或所以,所求函数的周期是,最大值是,最小值是.【设计意图】本题是三角变换的重要问题，先对三角函数式进行三角恒等变换，化简成的形式.主要培养学生灵活运用公式，熟练进行三角恒等变换的能力.思考：如果上述题目中的自变量的范围变为，如何求函数的最大值和最小值？分析：结合三角函数的图像与性质，要求在上的最值,关键求的范围.具体求解如下:由,得.又由正弦函数的图像与性质可得:,所以,,,最大值为,最小值为.【设计意图】主要是使学生掌握求有定义域限制的三角函数式最值的方法,明白求最值时,必须先考虑自变量的取值范围,这一过程也可以用换元法.师生共同探究:对于怎么进行三角恒等变换呢，是否有一般性的方法呢?分析:结合所学我们要想解决好此类问题,关键要充分利用同角三角函数的基本关系进行解决,这里要引入一个辅助角,这个辅助角在内是唯一确定的,必须写出辅助角的正弦值和余弦值.即:.其中.注：上述变形方法是解决合角问题的一般性方法.这里辅助角的引入既是重点又是难点,教师在具体的教学过程中要根据学生的情况进行引入、解释.【设计意图】总结解决合角问题的一般性方法,便于学生更好的解决问题.ODQABPC例2如图,已知是半径为1,圆心角为的扇形,是扇形弧上的动点,是扇形的内接矩形.记,求角取何值时,矩形的面积最大?并求这个最大面积.ODQABPC分析：要求当角取何值时，矩形的面积最大，可以这样去解决：第一:首先根据已知条件找出与的函数关系;第二:有函数关系及角取值范围,求的最大值.我们一起先完成第一步:在中,,.在中,,所以,,所以,.设矩形的面积为,则.对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围:由,得.所以当,即时,因此,当时,矩形的面积最大,最大面积为.注：（1）在求解最大值时，要特别注意“”这一隐含条件;（2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题.【设计意图】让学生了解三角函数在实际问题中的应用,培养学生自主探究,独立思考的数学品质,掌握解决实际问题的思路和方法,学会思考问题、分析问题和解决问题.思考：若上述条件去掉记“”，结论改成“求矩形的最大面积”，还有其它解决方法吗？分析:我们可设,根据已知条件可得,则转换成函数在某区间求最值问题,但目前此函数还解决不了.【设计意图】尽管对所得函数还暂时无法求最大值,但能促进学生对函数模型多样性的理解,并能在对比中使学生感受到以角为自变量的优点.师生共同总结解决问题的一般性方法:(1)根据已知条件,选择变量并确定变量的取值范围;(2)建立所求值与变量的函数关系;(3)在变量所取值的范围内(体现实际问题的实际意义)求解函数的最值;(4)把计算结果回归到实际问题.【设计意图】总结用三角函数解决实际问题的一般步骤,便于学生更好的解决问题.四、理解新知：1、对于变形应注意的问题:(1)常数应为不同时为零的实数,即.(2)辅助角满足,在唯一确定的,若把满足的条件只写成,这导致在内可能有两个值,其中一个值是增根,应根据的符号进行取舍.2、对于合角后,求三角函数在某一区间上的最值应先清楚的取值范围,下一步可以利用换元法,也可以直接求解.3、三角变换的基本思想：⑴降幂(化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数，一般运用公式，，这必然会引起角的倍数的增大(单角化为倍角)；⑵统一函数名称(化多种三角函数为单一的三角函数)；⑶统一角(化多角为单一角，减少角的种类)．五、运用新知1、求函数的周期、最大值和最小值.分析：根据已知条件要想求相关性质应先把上式进行合角,因此应先借助于平方关系与二倍角公式对降幂,然后引入辅助角.解：由题意可得所以,所求函数的周期为,最大值为，最小值为.注:引入辅助角“”是进行三角变换的关键.另外,降幂化简也是常用的一种变换.【设计意图】引用此例题是让学生进一步巩固三角函数的恒等变换的思路和方法,提高学生的逻辑推理和应变能力.变式训练1:已知函数求函数的最小正周期；求函数在区间上的最大值和最小值.分析:观察的形式,各自展开为相加后可以进一步化简,而是标准的二倍角余弦公式.解:所以的最小正周期为；由则所以即:函数在区间上的最大值为和最小值为.【设计意图】引入此例题一是让学生进一步熟练恒等变换;二是明确合角情况的多变性.2、如图,四边形是一个边长为100米的正方形地皮,其中是一半径为90米的扇形小山,其余部分都是平地,是弧上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在与上的长方形停车场.求长方形停车场面积的最大值和最小值.分析:要想求停车场面积的最值,首先应建立长方形面积的函数关系式,而建立关系式的关键是选取自变量.结合本题具体情况可设,则,这时此法易列式但不好求.因此不妨设作为自变量,然后延长交与,则,则.解：设延长交与,AMTAMTBSDRCQP,则设所以，当时,有最小值950.当时,有最大值.即.长方形停车场面积的最大值为,最小值为950.【设计意图】本变式训练是进一步巩固三角函数的性质在实际生活中的应用,在讲解时应注重自然语言与数学语言的结合.解决此类问题的关键是构建函数模型,首先应选准角作为自变量,其次要明确角的范围,利用三角函数恒等变换求解.六、课堂小结1．知识：如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现.如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题．2．思想：本节课通过由特殊到一般方式把关系式化成的形式，可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力.通过探究如何选择自变量建立数学关系式，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识，进一步培养学生的建模意识．【师生活动】在总结中引导学生进行讨论，相互补充后进行回答，老师最后总结、板书.【设计意图】让学生自己小结，不仅能总结知识更重要地是总结数学思想方法.这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程,这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯.七、布置作业必做题：1.设,,满足求函数在的最大值和最小值.2.如图，在一块半径为的半圆形的铁板中截取一个内接矩形，使其一边落在圆的直径上，问应该怎样截取，能使矩形的面积最大？并求出这个矩形的最大面积。选做题：1.已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调减区间；(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.2.某公司位于两条大道之间的处,且到两道的距离分别为.今公司想在两道上分别设置一个产品销售点和,使,试问如何设置使的面积最小?此时最小值为多少?EECDBA【设计意图】设置必做题的目的是引导学生先复习，再作业，巩固学习效果,同时进一步培养学生良好的学习习惯；设置选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解．八、教后反思1.本节课的亮点：教学过程中教师引导启发学生通过课本中的例3为出发点，研究函数的恒等变换问题(主要是拆、合角)，从中发现规律，并推广到一般情况.这个过程中既让学生获得了关于新知的内容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问题，即探究方法的体验与感知.同时也渗透了归纳、类比推理的数学思想方法,培养了