高二物理竞赛晶体能带理论（能带论）课件

第四章

晶体能带理论（能带论）1、晶体能带论的基本理论基本假定和近似（绝热近似、单电子近似、周期性势场假定）；2、周期性势场中单电子一般特性布洛赫定理、波矢空间、能带及能带表示3、晶体能带论的自由电子近似模型、求解、结论及讨论；4、晶体能带论的紧束缚近似模型、求解、结论及讨论；5、晶体中电子的准经典运动平均速度、加速度、有效质量；6、固体导电特性的能带论解释固体导电特性的能带解释、空穴

；7、固体电子的能态密度R

n

a

n

a

n

an 1 1 2 2 3 31 2 3(n,n

,

n

0,1,2,3,)1a3 a2a离子实价电子价电子§4.1 晶体能带论的基本理论1、

晶体电子模型和薛丁谔方程晶体电子的共有化运动原子孤立原子中库仑电势分布及电子能级原子0V=-q/rr孤立原子中的电子在该原子的核和其它电子的势场中运动，电子按能级分布，由四个量子数决定。原子中的电子分布在一系列能级上，用电子波函数解释，就是电子在对应能级的运动轨道上出现的几率最大。晶体由大量原子周期性重复排列而成，每个原子包含原子核和许多电子，当原子结合成晶体时，内层电子状态变化很小，外层电子（价电子）状态变化很大，其势垒高度和势垒宽度都变小，通过隧道效应穿越势垒进入另一个原子，被整个晶体原子共有。将内层电子和原子核等效为离子实，价电子在离子实周期性势能场中运动（共有化运动）。avax内电子能级一维晶体周期性势场分布共有化电子能级离子实周期性变化势场3s3s3s3s2p2p2p2p硅晶体原子中价电子共有化运动示意图：硅原子核KLM硅原子壳层结构：（几率波）与这个粒子2

V

E2m薛定谔方程2中运动的一个粒子，有一个波函数

r

对薛定谔方程的理解：对于质量为m并在势能为V

的势场的稳定状态相联系，这个波函数满足薛定谔方程。薛定谔方程的每一个解

r

，表示粒子运动的某一个稳定状态，称为本征解（本征函数）。与这个解相应的常数

E

，就是粒子在这个稳定状态的能量，称为本征值。为了使波函数是合理的，必须要求波函数满足单值、有限、连续、归一化。如果电子和离子实的位置矢量分别用方程（1023/cm3个)

：晶体电子的薛定谔方程假定在体积为V

的晶体中有

N个带正电荷

Ne

的离子实，相应有NZ

个价电子（电子）。电子与电子、电子与原子实、原子实与原子实之间存在着相互作用i和

rRn表示，则晶体多粒子体系的薛定谔r

xi

yj

z

ki i i i

Rn

Rnxi

Rnyj

Rnzk

N

个离子实动能、相互作用能离子实与价电子之间的相互作用能22

2

2x2 y2 z2

r

（拉普拉斯算符）电子质量：m

9.11031kgM

m氢原子核质量：M

1.661027

kg２、能带论的基本假定和近似Ａ、绝热近似相对于电子运动，离子实不动（离子实处于平衡位置），电子在固定不动的离子实产生的周期性势场中运动。B、平均场近似（单电子近似）假定每个价电子所处的势场都相同，每个电子与其他电子之间的相互作用势能只与该电子的位置有关，与其他电子的位置无关。得到：NZji

i ii1 j

ie212

(r)

4

0

r

ri

rNZ

NNZ0 r iZe2

i i i1 i1

n1u(r)

4

r

Rnˆ21i2n

i

(ri

)

ui

(ri

)Hi

2多粒子系统的薛定谔方程简化为：NZi( ri

,2mRn

)

Rn

2NZ

i

(ri

)i1i1) E

NZui

(ri

)

(rii12令：2NZi( ri

,2mRn

)2i1

) E

i

(ri

)

ui

(ri

)

(ri

Rn

第

i

个电子的哈密顿算符NZHˆ

Hˆii1ˆ12i2nV

(ri)2Hi

V

ri

i

(ri

)

ui

(ri

)i薛定谔方程：Hˆ

(r1

ri

)

E

(r1

ri

)由分离变量法，令电子波函数：

(r1

ri

)

1

(r1

)

2

(r2

)

i

(ri

)

II

i

(ri

)Hˆ

(r1

ri

)

Hˆi

i

(ri

)

Hˆi

i

(ri

)

Ei

i

(ri

)

Eii i i i i i i即：Hˆi

i(ri)

Ei

i(ri)所有电子都满足同样的薛定谔方程，晶体多电子问题简化为单电子问题。22m

(r)

V

(r)

(r)

E2NRni i n10 r iZe2u(r)

4

rC、周期性势场近似离子实对电子的相互作用势能：具有与晶格相同的周期性NN0 r iZe2RnZe2

ui(ri)ui(ri

R )

n10 r i Rnm n1

4

r

4

r

Rm在定态下，是恒定量：V

(r)

V

(r

Rn

)R

n

a

n

a

n

an 1 1 2 2 3 3(n1,

n2

,

n