第四章 平面势流(4.1~4.4)

《高等流体力学》电子课件上海电力学院能源与环境工程学院工程热物理学科平面流动：即二维流动。流体的速度都平行于某个平面，且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。第四章平面势流数学表达的特点：平面势流与三维势流相比，数学上又得到了简化，无需求解偏微分方程，可通过运用复变函数方法的方法求解。一、速度势函数1、速度势存在的条件2、速度势与速度的关系§4.1速度势函数与流函数或速度势函数允许相差一个任意常数，不影响对流场的描述。3、速度势的性质§4.1速度势函数与流函数一、速度势函数的曲线是等势线，等势线的法向与速度矢量的方向重合。沿一曲线的速度环量等于曲线终点与起点的速度势之差。平面流动的速度势满足拉普拉斯方程。二、流函数1、流函数存在的条件理想不可压平面流动的连续方程2、流函数与速度的关系所有的平面流动都存在流函数。§4.1速度势函数与流函数二、流函数3、流函数的性质流函数允许相差一个任意常数，不影响对流场的描述。的曲线是流线。的曲线上或§4.1速度势函数与流函数二、流函数3、流函数的性质两条流线上的流函数之差等于两条流线间单位厚度通过的体积流量。B通过dl的体积流量§4.1速度势函数与流函数二、流函数3、流函数的性质方程平面流动时，只存在z方向的涡量分量有旋流动时：或无旋流动时：（满足拉普拉斯方程）§4.1速度势函数与流函数二、流函数3、流函数的性质流线与等势线相互垂直。空间任意两点间的势函数变化为：一条等势线上任意两点间的势函数变化为：等势线的斜率是：同理，流线的斜率是：故，流线和等势线相互正交，并构成流网。§4.1速度势函数与流函数一、柯西-黎曼条件§4.2复位势和复速度平面势流流动，即存在势函数，又存在流函数上式称柯西-黎曼条件。流函数和速度势函数中有一个已知，另一个即可以由上式求出。

二、复位势§4.2复位势和复速度当

满足柯西－黎曼条件，根据复变函数理论，可以用它们构造是解析函数F(ｚ)。F(ｚ)的实数部分是速度势函数，虚数部分是流函数F(ｚ)为复位势，它也可以用来描述平面势流流动。三、复速度§4.2复位势和复速度因F(z)是解析函数，所以其导数的值与求导方向无关，只是平面上点的函数。构造出F(z)复位势函数来描写势流流动时，其导数是另一个比较重要的物理量。三、复速度§4.2复位势和复速度复速度：共轭复速度：复速度与共轭复速度的乘积等于速度矢量模的平方。四、柱坐标下的复速度§4.2复位势和复速度平面内的速度可分解为u,v，也可分解为或复速度：§4.2复位势和复速度柱坐标下的复速度

：四、柱坐标下的复速度§4.2复位势和复速度复位势允许相差一个任意常数，而不影响其所代表的对流场。五、复位势的性质复位势等于常数等价于势函数等于常数和流函数等于常数，它们分别代表流场中的等势线和流线，等势线和流线相交。复位势沿封闭曲线的积分，实部等于绕该封闭曲线的环量，虚部表示穿过该封闭曲线流出的体积流量。§4.2复位势和复速度任何一个平面无旋流动都对应一个复位势。六、有关复位势的讨论由此，不可压缩平面势流的问题归结为寻找相应的复位势。给定一个解析函数F(z)，其实数和虚数部分可分别看作一个平面无旋运动的速度势函数和流函数。（但并非所有的Φ和Ψ都可以作出有物理意义的解释）由于复位势由势函数和流函数构成，势函数和流函数分别满足拉氏方程，解具有可加性，所以复杂流动的复位势可由简单流动的复位势迭加而成。§4.3基本流动一、均匀流势函数

：复位势函数

速度：

流函数

：§4.3基本流动一、均匀流势函数

：复速度：

某一复变线性函数：

流函数

：流体速度：

代入复位势：

§4.3基本流动二、点源（汇）势函数

：复速度：

某一复变对数函数：

流函数

：流体速度：

§4.3基本流动二、点源（汇）围绕作径向速度的积分：代入复位势：

点源在时：

点汇时：

§4.3基本流动三、点涡某一复变对数函数：

势函数

：复速度：

流函数

：流体速度：

§4.3基本流动围绕的速度环量：代入复位势：

点涡在时：

漩涡顺时针方向时：

三、点涡§4.3基本流动四、绕角流动某一复变幂次函数：

势函数

：零流线：

流函数

：§4.3基本流动四、绕角流动复速度：

流体速度：

§4.3基本流动四、绕角流动n=2n=1n=½n小于½

时得到大于2π的区域，这显然没有物理意义。因此n应大于½

。§4.3基本流动四、绕角流动§4.3基本流动五、偶极子偶极子：一对无限接近的强度相等的点源和点汇的迭加。§4.3基本流动五、偶极子表示偶极子的强度。方向：从汇指向源§4.3基本流动五、偶极子流函数：令

等于常数，流线是圆心在y轴且通过原点的圆族。§4.3基本流动五、偶极子复速度：流体速度：强度为μ，位于点的偶极子的复位势：§4.4圆柱绕流势函数和流函数满足的控制方程是线性的，因此它们的解具有可叠加性。依据这一原理，上面给出的基本流动的复位势函数可以叠加起来给出较为复杂的流动问题的解。叠加原理§4.4圆柱绕流一、无环量圆柱绕流水平均匀流与偶极子叠加复位势：

某一圆的方程:该圆上的复位势:该圆上的流函数:§4.4圆柱绕流一、无环量圆柱绕流当偶极子的强度选为时，即：圆成为零流线。圆把流场分为两部分。由于流体不可能穿越一条流线流动，所以偶极子流动被包围在圆内，而均匀来流则被排斥在圆外。偶极子向上游的流动由于受到均匀来流作用，折转方向流向下游；均匀来流流线则发生弯曲，围绕圆从圆外流过。无环量圆柱绕流的复位势：§4.4圆柱绕流一、无环量圆柱绕流总结：用一个半径为a的圆柱状薄金属壳垂直于均匀流插入流场并与圆R＝a的流线相重合，将不会对圆内的偶极子流动和圆外的均匀来流形成干扰。移去金属壳内的偶极子流体，填充以固体材料形成一个固体圆柱，圆外的流动将保持不变。也就是说速度为U的均匀来流和强度为的偶极子流动叠加后在R>a

的区域形成的流场即是速度为U的均匀来流绕流R=a的圆柱流动。§4.4圆柱绕流一、无环量圆柱绕流前者是和实际情况符合的，而后者则与实际不符，这就是著名的达朗贝尔佯谬。这主要是由于没有考虑粘性对流动的影响。在粘性流动中圆柱将承受由于存在壁面切应力所产生的摩擦阻力和由于边界层分离所产生的压差阻力。尽管如此圆柱无环量绕流问题仍具有重要的理论意义。达朗贝尔佯谬均匀来流绕流圆柱的速度场对x轴和y轴都是对称的，因此压强分布对x轴和y轴也是对称的，于是圆柱所受流体作用力的合力为零，即圆柱不但不承受与气流垂直的升力，也不承受沿流动方向的阻力。§4.4圆柱绕流二、有环量圆柱绕流无环量圆柱绕流和顺时针旋转的点涡叠加。复位势：

点涡的流线是同心圆，圆柱表面是一条流线不会因在原点增加点涡而改变。选择合适的复常数c，使得无环流绕流时的圆周上的Ψ=0，即该圆周是一条流线。1.复位势§4.4圆柱绕流二、有环量圆柱绕流当时，

则在圆柱面Ψ＝0

。于是，绕半径为a的圆柱体的有环量绕流的复位势为：此时，均匀来流的速度为U，偶极子强度为，点涡环量的强度为§4.4圆柱绕流二、有环量圆柱绕流2.速度场在圆柱面上（R=a）正是理想流体绕流圆柱时在圆柱表面应满足的边界条件。§4.4圆柱绕流二、有环量圆柱绕流3.驻点在圆柱面上速度为0的点。无环量流动，有环量流动，§4.4圆柱绕流二、有环量圆柱绕流3.驻点有环量流动，有两个驻点，分别位于3，4象限，且关于y轴对称。顺时针点涡流场与无环量绕流圆柱流场叠加时，在1，2象限速度增加；在3，4象限速度减少，于是分别在3，4象限的某个点处速度为零。相当于把θ＝0和π的两个驻点分别移动至3，4象限。一个驻点，。当Γ增大到一定值时，位于3，4象限的两个驻点相互靠近最终汇合在圆柱面的最低点。§4.4圆柱绕流二、有环量圆柱绕流3.驻点有环量流动，驻点就不再保持在圆柱面上，而是进入流体中驻点方程§4.4圆柱绕流二、有环量圆柱绕流3.驻点驻点方程由（1）因为在方向点涡和圆柱绕流流场速度方向相同，合速度不可能为零。取