高中数学苏教版1第3章空间向量与立体几何（市一等奖）

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.【解析】∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.【答案】22．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))两两的夹角均为60°，且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝2，|eq\o(AA1,\s\up8(→))|＝3，则|eq\o(AC1,\s\up8(→))|等于________.【导学号：09390077】【解析】设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，则eq\o(AC1,\s\up8(→))＝a＋b＋c，eq\o(AC1,\s\up8(→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·c＋2b·c＋2c·a＝25，因此|eq\o(AC1,\s\up8(→))|＝5.【答案】53．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(AC,\s\up8(→))的夹角为________．【解析】eq\o(AB,\s\up8(→))＝(0,3,3)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－1,1,0)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(3,3\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝60°.【答案】60°4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b【解析】a·b＝2×3×cos60°＝3，∴|2a－3b|＝eq\r(4|a|2－12a·b＋9|b|2)＝eq\r(4×4－12×3＋81)＝eq\r(61).【答案】eq\r(61)5．如图3­1­32,120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．图3­1­32【解析】∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0.又∵二面角为120°，∴〈eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))〉＝60°，∴eq\o(CD2,\s\up8(→))＝|eq\o(CD,\s\up8(→))|2＝(eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→)))2＝eq\o(CA,\s\up8(→))2＋eq\o(AB,\s\up8(→))2＋eq\o(BD,\s\up8(→))2＋2(eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→)))＝164，∴|eq\o(CD,\s\up8(→))|＝2eq\r(41).【答案】2eq\r(41)6．如图3­1­33，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝eq\f(1,2)AD，则异面直线BF与ED所成角的大小是________．图3­1­33【解析】分别以AB，AD，AF为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，\f(1,2))).则eq\o(BF,\s\up8(→))＝(－1,0,1)，eq\o(ED,\s\up8(→))＝(0,1，－1)，∴cos〈eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(ED,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(BF,\s\up8(→))·\o(ED,\s\up8(→)),|\o(BF,\s\up8(→))|·|\o(ED,\s\up8(→))|)＝eq\f(0＋0－1,\r(2)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，∴〈eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(ED,\s\up8(→))〉＝120°.所以异面直线BF与ED所成角的大小为180°－120°＝60°.【答案】60°7．如图3­1­34所示，已知直线AB⊥平面α，BC⊂α，BC⊥CD，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，则A，D两点间的距离为________．图3­1­34【解析】∵eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))，∠DCF＝30°，DF⊥平面α，∴∠CDF＝60°，∴|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→)))2＝4＋4＋4＋2×2×2×cos120°＝8，∴|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)8．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－4,6，－1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥eq\o(AB,\s\up8(→))，a⊥eq\o(AC,\s\up8(→))，则a＝________.【解析】设a＝(x，y，z)，由题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·\o(AB,\s\up8(→))＝0，,a·\o(AC,\s\up8(→))＝0，,|a|＝1，))代入坐标可解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,13)，,y＝\f(4,13)，,z＝\f(12,13)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,13)，,y＝－\f(4,13)，,z＝－\f(12,13).))【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,13)，\f(4,13)，\f(12,13)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,13)，－\f(4,13)，－\f(12,13)))二、解答题9.如图3­1­35，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：图3­1­35(1)AO⊥CD′；(2)AC′⊥平面B′CD′.【证明】(1)因为eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DO,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))，因为eq\o(CD′,\s\up8(→))＝eq\o(DD′,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→))，所以eq\o(AO,\s\up8(→))·eq\o(CD′,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))＋2eq\o(AD,\s\up8(→)))·(eq\o(DD′,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up8(→))·eq\o(DD′,\s\up8(→))－eq\o(DD′,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))·eq\o(DD′,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→))＋2eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(DD′,\s\up8(→))－2eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(|eq\o(DD′,\s\up8(→))|2－|eq\o(DC,\s\up8(→))|2)＝0，所以eq\o(AO,\s\up8(→))⊥eq\o(CD′,\s\up8(→))，故AO⊥CD′.(2)因为eq\o(AC′,\s\up8(→))·eq\o(B′C,\s\up8(→))＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→)))·(eq\o(B′B,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(B′B,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(B′B,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→))·eq\o(B′B,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))，可知eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(B′B,\s\up8(→))＝0，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(B′B,\s\up8(→))＝0，eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|2，eq\o(CC′,\s\up8(→))·eq\o(B′B,\s\up8(→))＝－|eq\o(CC′,\s\up8(→))|2，eq\o(CC′,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，所以eq\o(AC′,\s\up8(→))·eq\o(B′C,\s\up8(→))＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|2－|eq\o(CC′,\s\up8(→))|2＝0，所以eq\o(AC′,\s\up8(→))⊥eq\o(B′C,\s\up8(→))，所以AC′⊥B′C.同理可证，AC′⊥B′D′.又B′C，B′D′⊂平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.10.如图3­1­36，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b，图3­1­36(1)求|eq\o(EF,\s\up8(→))|；(2)求cos〈eq\o(AG,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉．【解】如图，建立空间直角坐标系D­xyz，则A(a,0,0)，S(0,0，b)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(b,2)))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(b,2)))，eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，\f(b,2)))，eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，\f(b,2)))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(－a,0,0)．(1)|eq\o(EF,\s\up8(→))|＝eq\r(－a2＋02＋\f(b2,4))＝eq\f(\r(4a2＋b2),2).(2)cos〈eq\o(AG,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(AG,\s\up8(→))·\o(BC,\s\up8(→)),|\o(AG,\s\up8(→))|·|\o(BC,\s\up8(→))|)＝eq\f(a2,\r(a2＋\f(b2,4))·a)＝eq\f(2a,\r(4a2＋b2)).能力提升]1．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________.【导学号：09390078】【解析】b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝eq\r(1＋t2＋2t－12)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))2＋\f(9,5))，∴当t＝eq\f(1,5)时，|b－a|取得最小值eq\f(3\r(5),5).【答案】eq\f(3\r(5),5)2．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))为边的平行四边形的面积为________．【解析】由题意可得，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(1，－3，2)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))||\o(AC,\s\up8(→))|)＝eq\f(－2＋3＋6,\r(14)×\r(14))＝eq\f(7,14)＝eq\f(1,2).∴sin〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\r(3),2)，∴以eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))为边的平行四边形的面积S＝2×eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|·sin〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝14×eq\f(\r(3),2)＝7eq\r(3).【答案】7eq\r(3)3．如图3­1­37所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于________．图3­1­37【解析】法一：因为eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))，所以eq\o(PC,\s\up8(→))2＝eq\o(PA,\s\up8(→))2＋eq\o(AB,\s\up8(→))2＋eq\o(BC,\s\up8(→))2＋2eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，所以|eq\o(PC,\s\up8(→))|＝12，即PC＝12.法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0,0,6)，C(0,6eq\r(3)，0)，∴PC＝eq\r(6\r(3)2＋62)＝12.【答案】124．如图3­1­38所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．图3­1­38(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)