高中数学高考二轮复习 江苏省2023年高考数学三轮专题复习素材倒数第6天

倒数第6天立体几何[保温特训]1．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4eq\r(3)π，则该正方体的表面积为________．解析设正方体的棱长为a，球的半径为R，则依题意有eq\f(4πR3,3)＝4eq\r(3)π，解得R＝eq\r(3).因为eq\r(3)a＝2R＝2eq\r(3)，所以a＝2.故该正方体的面积为6a2＝24.答案242．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为________cm3.解析由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形，侧高为5cm，高为4cm，所以所求容积为48cm3.答案483．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．解析如图，分别过点A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连接DG、CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，所以S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，所以V＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).答案eq\f(\r(2),3)4．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α则l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中真命题是______________(写出所有真命题的序号)．解析①：只有当l与m相交时，才可证明α∥β；③：l可能在平面β内．答案②④5．设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α则n∥α；②若α⊥β，则α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中，所有真命题的序号是________．解析③错误，α，β相交或平行；④错误，n与m可以垂直，不妨令n＝α∩β，则在β内存在m⊥n.答案①②6．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.其中是平面α∥平面β的充分条件的为________(填上所有符号要求的序号)．解析①正确，此时必有α∥β；②错误，因为此时两平面平行或相交均可；③错误，当两直线a，b在两平面内分别与两平面的交线平行即可；④正确，由于α∥β，经过直线α的平面与平面β交于a′，则a∥a′，即a′∥α，又b∥α，因为a，b为异面直线，故a′，b为相交直线，由面面平行的判定定理可知α∥β，综上可知①④是平面α∥平面β的充分条件．答案①④7．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①若a∥α，a∥β，则α∥β；②若a⊥α，α⊥β，则α⊥β；③若a∥α，b∥α，则a∥b;④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.上述命题中，所有真命题的序号是________．解析若a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，即命题①不正确；若a⊥α，a⊥β，则α∥β，即命题②不正确；若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交或a与b异面，即命题③不正确；若a⊥α，b⊥α，则a∥b，即命题④正确，综上可得真命题的序号为④.答案④8．已知棱长为eq\r(2)的正方体，则以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析以正方体各个面的中心为顶点的多面体是两个全等的正四棱锥的组合体，如图，一个正四棱锥的高是正方体的高的一半，故所求的多面体的体积为2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(2)×\r(2)))×eq\f(1,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3).答案eq\f(\r(2),3)9．已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．解析画图可知①m⊥β、③β⊥γ不一定成立．答案②④10．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．解析α∥β⇒直线l⊥平面β，由于直线m⊂平面β，∴l⊥m故①正确；由l∥m，直线l⊥平面α可推出直线m⊥平面α，而直线m⊂平面β，∴α⊥β故③正确．答案①③11．在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，AA1＝AC＝BC＝1，A1B＝eq\r(2).(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1(2)如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD.证明(1)在△A1AC中，∠A1AC＝60°，AA1＝AC＝1，∴A1C＝1，△A1BC中，BC＝1，A1C＝1，A1B＝eq\r(2)，∴BC⊥A1C，又AA1⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ACC1(2)连接AC1，交A1C于O，连接DO，则由D为AB中点，O为A1C中点得，OD∥BC1，OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC12．如图，在三棱锥S­ABC中，平面EFGH分别与BC，CA，AS，SB交于点E，F，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG.求证：(1)AB∥平面EFGH；(2)GH∥EF；(3)GH⊥平面SAC.证明(1)因为SA⊥平面EFGH，GH⊂平面EFGH，所以SA⊥GH.又因为SA⊥AB，SA，AB，GH都在平面SAB内，所以AB∥GH.因为AB⊄平面EFGH，GH⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.(2)因为AB∥平面EFGH，AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝EF，所以AB∥EF.又因为AB∥GH，所以GH∥EF.(3)因为SA⊥平面EFGH，SA⊂平面SAC，所以平面EFGH⊥平面SAC，交线为FG.因为GH∥EF，EF⊥FG，所以GH⊥FG.又因为GH⊂平面EFGH，所以GH⊥平面SAC.13．如图a，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且EF∥AB.已知AB＝AD＝CE＝2，沿线EF把四边形CDFE折起如图b，使平面CDFE⊥平面ABEF.(1)求证：AB⊥平面BCE；(2)求三棱锥C­ADE体积．(1)证明在题图a中，EF∥AB，AB⊥AD，∴EF⊥AD，在题图b中，CE⊥EF，又平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF＝EF，CE⊥平面ABEF，AB⊂平面ABEF，∴CE⊥AB，又∵AB⊥BE，BE∩CE＝E，∴AB⊥平面BCE；(2)解∵平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF＝EF，AF⊥FE，AF⊂平面ABEF，∴AF⊥平面CDEF，∴AF为三棱锥A­CDE的高，且AF＝1，又∵AB＝CE＝2，∴S△CDE＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴VC­ADE＝eq\f(1,3)·S△CDE·AF＝eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3).[知识排查]1．弄清楚球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球的半径为eq\f(\r(3),2)a.2．搞清几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所在底面面积