M02-5模糊线性规划

第2章模糊数学模型及应用2-1模糊集合2-2

判别分析法2-3模糊聚类分析2-4

模糊综合评价2-5模糊线性规划Fuzzymathematicalmodelanditsapplication一、普通线性规划及其Lingo实现1.2实例说明二、模糊线性规划及其求解2.1模糊约束线性规划2.2基于Lingo的模糊线性规划求解三、模糊线性规划的经济应用2-5模糊线性规划1.1线性规划模型的求解程序四、小结五、作业引言3.1

饮料配方问题3.2组合投资决策引言线性规划已经广泛地用于现代物流调运、资源优化配置、组合投资分析、区域经济规划等经济领域.由于线性规划的约束条件是固定的，在经济发展过程中必然会出现一些波动，因此实际问题需要约束条件具有一定的弹性，目标函数可能不是单一的，可以借助于模糊集合的方法来处理.模糊线性规划将线性规划的约束条件与目标函数模糊化，引入隶属度进而得到一种新的线性规划问题.1.1线性规划模型的求解程序一般线性规划的数学模型为其中f是目标函数的系数向量(常数)，x是n维列向量(决策变量)，A、A1是常数矩阵，b、b1是常数向量，lb,ub是n维列向量分别表示决策变量x的下界与上界。在Matlab优化工具箱（OptimizationToolbox）中，求解上述模型的程序如下：⑴数学模型(2.5.1)一、普通线性规划及其LINGO实现程序:[x,fval,exitflag,output,lambda]=

linprog

(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)说明：①A

是不等式约束的系数矩阵，b是相应的常数列向量，若没有不等式约束，则均用[]代替；

②Aeq

是等式约束的系数矩阵，beq是相应的常数列向量，若没有等式约束，则均用[]代替；③如果某个变量无下界，则用-inf表示；如果某个变量无上界，则用inf表示，若决策变量x无下界，则lb用[]代替；若决策变量x无上界，则ub用[]代替；

④

x0是线性规划的初始解，这种设计仅对中规模算法有效，通常可以缺省⑵求解程序一、普通线性规划及其LINGO实现⑥输出exitflag描述了程序的运行情况，若其值大于零，表示程序收敛到最优解x；若其值等于零，表示计算达到了最大次数；若其值小于零，表示问题无可行解，或程序运行失败;⑦输出output表示程序运行的某些信息，如迭代次数(iterations)、所用算法(algorithm)、共轭梯度(cgiterations)等;⑧

lambda表示解x处的拉格朗日乘子，其中lower,upper,ineqlin,eqlin分别对应于下界、上界、不等式约束与等式约束;⑤输出x是最优解，fval是最优值;一、普通线性规划及其LINGO实现求解线性规划的命令：linprog目标函数最小：不等式约束：等式约束：Aeqx=beq上下界限制：这里f，x，b，beq，lb，ub是向量，A，Aeq是矩阵其中f是目标函数的系数向量，x为决策变量如果计算最大值，可以转化为最小值，若不等式约束为≥，也可转化.⑶程序系统说明一、普通线性规划及其LINGO实现[x,fval]=linprog(f,A,b):用于不等式约束，求目标函数minfTx最小值;x：最优解;fval:目标函数最小值;[x,fvel]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)用于等式、不等式约束，求目标函数最小值，若没有等式约束，则Aeq,beq要用空矩阵[]代替。但我们主要用LINGO进行求解一、普通线性规划及其LINGO实现例1.求解线性规划问题：解

LINGO程序如下：min=-2*x1-x2+x3;x1+x2+2*x3=6;x1+4*x2-x3<4;2*x1-2*x2+x3<12;x3<5;运行后得到输出结果：1.2实例说明一、普通线性规划及其LINGO实现Objectivevalue:-8.666667VariableValueReducedCostX14.6666670.000000X20.0000006.000000X30.66666670.000000RowSlackorSurplusDualPrice1-8.666667-1.00000020.0000000.333333330.0000001.66666742.0000000.00000054.3333330.000000一、普通线性规划及其LINGO实现例2.求解线性规划问题：一、普通线性规划及其LINGO实现

LINGO程序如下：max=2*x1+3*x2-5*x3;x1+x2+x3=7;2*x1-5*x2+x3>=10;运行后得到输出结果：Objectivevalue:14.57143VariableValueReducedCostX16.4285710.000000X20.57142860.000000X30.0000007.142857RowSlackorSurplusDualPrice114.571431.00000020.0000002.28571430.000000-0.1428571二、模糊线性规划及其求解2.1模糊约束线性规划模糊约束的线性规划的一般形式如下(2.5.2)二、模糊线性规划及其求解为求解模糊线性规划，首先引入模糊约束集概念。定义2.5.1

设对每个约束相应地有X中的一个模糊子集与之对应,它的隶属度函数为其中是适当选择的常数称为伸缩指标，则称为对应于约束条件的模糊约束集.(2.5.3)二、模糊线性规划及其求解(2.5.4)显然，当di=0(i=1,2,…,m)时,退化为普通约束集D,约束条件中“”的退化为“≤”。在伸缩率为d时，可以表示由于模糊等式约束为不等式约束：而模型可以表示为如下的矩阵形式因此模糊约束的线性规划下面讨论模糊约束的线性规划模型(2.5.4)的求解方法。二、模糊线性规划及其求解设z0,z1分别是普通线性规划(2.5.5)(2.5.6)与的最优值。其中d=(d1,d2,…,dm)T是不等式约束的伸缩指标向量，设di=(1,2,…,m)称为是第i个伸缩指标。z0,z1分别对应于两种特殊的情形,一种是完全接受约束,即另一种是完全不接受约束，即这两种情形都是极端状况，并非我们所希望.我们的目的是适当地降低的取值，使得最优值有所提高，且介于z0与z1之间。为此构造模糊目标集合二、模糊线性规划及其求解(2.5.7)其中d0=z1-z0.这表明要使得目标函数值大于z0，必须降低为了兼顾模糊约束集与模糊目标集可以采用模糊判决进而选择x*，使得其隶属度函数为二、模糊线性规划及其求解注意到于是问题归结为求普通的线性规划问题：二、模糊线性规划及其求解(2.5.8)若求出线性模型(2.5.8)的最优解为(2.5.4)的最优值为则模型(2.5.4)的最优解为进而模型二、模糊线性规划及其求解说明：⑴求解模糊线性规划模型(2.5.4)需要分别求解三个普通的线性规划模型(2.5.5)、(2.5.6)、(2.5.8),其中(2.5.5)是将模糊约束当作普通约束得到的模型,(2.5.6)是在(2.5.5)的基础上加上伸缩率后的普通线性规划，(2.5.8)是在(2.5.6)的基础上添加了新变量l和一个约束条件(原目标函数-dl≥z0)。和一个约束条件（原目标函数

⑵如果模糊约束线性规划模型为则应先分别求解以下两个普通线性规划(2.5.9)(2.5.10)(2.5.11)与二、模糊线性规划及其求解得到两个模型的最优值z0,z1,然后求出新的伸缩指标d0=z0-z1>0,进而求解添加新变量与新的约束条件的普通线性规划:(2.5.12)线性模型(2.5.12)的最优解为的最优值为(2.5.9)的最优解为进而模型(2.5.9)则模型二、模糊线性规划及其求解2.2基于lingo的模糊线性规划求解解：首先求解普通线性规划⑴例3

求解模糊线性规划对应的约束条件伸缩指标分别取d1=2,d2=1,d3=0.5。此时的规划⑴，只需将原题中的相应地改成即可二、模糊线性规划的求解方法max=x1-4*x2+6*x3;x1+x2+x3<8;x1-6*x2+x3>6;x1-3*x2-x3=-4;

Objectivevalue:38.00000VariableValueReducedCostX12.0000000.000000X20.00000015.00000X36.0000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice138.000001.00000020.0000003.50000032.0000000.00000040.000000-2.500000其次，解有伸缩率的普通线性规划⑵注意添加伸缩率时的规律如下：①加di，减di；②等式约束变成两个不等式约束.二、模糊线性规划的求解方法二、模糊线性规划的求解方法max=x1-4*x2+6*x3;x1+x2+x3<10;x1-6*x2+x3>5;x1-3*x2-x3<-3.5;x1-3*x2-x3>-4.5;

Objectivevalue:46.25000VariableValueReducedCostX12.7500000.000000X20.00000015.00000X37.2500000.000000RowSlackorSurplusDualPrice146.250001.00000020.0000003.50000035.0000000.00000041.0000000.00000050.000000-2.500000最后添加新的变量l，求解普通线性规划⑶其中：d0=z2-z1=46.25-38=8.25注意：此时增加了一个约束条件为：原目标函数–新伸缩率乘新变量原最优值.二、模糊线性规划的求解方法二、模糊线性规划的求解方法max=z;x1-4*x2+6*x3-8.25*z>38;x1+x2+x3+2*z<10;x1-6*x2+x3-z>5;x1-3*x2-x3+0.5*z<-3.5;x1-3*x2-x3-0.5*z>-4.5;s=x1-4*x2+6*x3;Objectivevalue:0.5000000VariableValueReducedCostZ0.50000000.000000X12.3750000.000000X20.0000000.9090909X36.6250000.000000S42.125000.000000RowSlackorSurplusDualPrice10.50000001.00000020.000000-0.6060606E-0130.0000000.212121243.5000000.00000050.50000000.00000060.000000-0.151515270.0000000.000000在经济工作中,我们经常遇到各种经济的优化问题，通常可以转化为模糊线性规划的问题加以解决.3.1、饮料配方问题例4某种饮料含有三种主要成分A1,A2,A3，每瓶含量分别为：75±5mg，120±5mg，138±5mg，这三种成分主要来自于五种原料B1,B2,B3,B4,B5.各种原料每千克所含的成分与单价如下表所示，若生产此种饮料一万瓶，如何选择原料成本最小？三、模糊线性规划的经济应用表2-22原料成分含量与单价原料B1B2B3B4B5A1/mg856012080120A2/mg801509016060A3/mg100120150120200单价/元1.31.51.61.71.8解:设一瓶饮料需选用五种原料分别为x1,x2,x3,x4,x5，建立如下的模糊线性规划问题：三、模糊线性规划的经济应用首先求解没有伸缩率的经典线性规划min=1.3*x1+1.5*x2+1.6*x3+1.7*x4+1.8*x5;85*x1+60*x2+120*x3+80*x4+120*x5=75;80*x1+150*x2+90*x3+160*x4+60*x5=120;100*x1+120*x2+150*x3+120*x4+200*x5=138;三、模糊线性规划的经济应用lingo程序如下：Objectivevalue:1.532727VariableValueReducedCostX10.0000000.1424242X20.68409090.000000X30.1363636E-010.000000X40.0000000.1121212X50.2693182然后求解有伸缩率的普通线性规划min=1.3*x1+1.5*x2+1.6*x3+1.7*x4+1.8*x5;85*x1+60*x2+120*x3+80*x4+120*x5<80;80*x1+150*x2+90*x3+160*x4+60*x5<125;100*x1+120*x2+150*x3+120*x4+200*x5<148;85*x1+60*x2+120*x3+80*x4+120*x5>70;80*x1+150*x2+90*x3+160*x4+60*x5>115;100*x1+120*x2+150*x3+120*x4+200*x5>128;三、模糊线性规划的经济应用Objectivevalue:1.437273VariableValueReducedCostX10.0000000.1424242X20.65757580.000000X30.3636364E-010.000000X40.0000000.1121212X50.21818180.000000最后求解以下线性规划：三、模糊线性规划的经济应用max=z;1.3*x1+1.5*x2+1.6*x3+1.7*x4+1.8*x5+0.0955*z<1.5327;85*x1+60*x2+120*x3+80*x4+120*x5+5*z<80;80*x1+150*x2+90*x3+160*x4+60*x5+5*z<125;100*x1+120*x2+150*x3+120*x4+200*x5+10*z<148;85*x1+60*x2+120*x3+80*x4+120*x5-5*z>70;80*x1+150*x2+90*x3+160*x4+60*x5-5*z>115;100*x1+120*x2+150*x3+120*x4+200*x5-10*z>128;s=1.3*x1+1.5*x2+1.6*x3+1.7*x4+1.8*x5;得到最优解为：生产此种饮料一万瓶应选购原料B2为6708kg，B3为2500kg，B5为2437kg，使得成本为14850元.Objectivevalue:0.4997382VariableValueReducedCostZ0.49973820.000000X10.0000000.7458542X20.67082640.000000X30.2500595E-010.000000X40.0000000.5871618X50.24373660.000000S1.4849750.000000例6

某风险投资公司计划将自己拥有资金的20%±3%作为机动资金,其余用于投资5项科技成果转化项目(风险投资项目):A1

,A2

,A3

,A4

,A5.已知它们的投资收益率和风险损失率如表2-24所示，问如何投资才能使收益最大，风险最小？三、模糊线性规划的经济应用3.2组合投资决策表2-24投资收益与风险解：设项目Ai的投资为xi%，(i=1,2,…,5)该风险投资问题是一个双目标模糊线性规划三、模糊线性规划的经济应用三、模糊线性规划的经济应用首先求解单目标线性规划lingo程序如下max=f1;f1=0.05*x1+0.1*x2+0.2*x3+0.3*x4+0.4*x5;f2=0.03*x1+0.05*x2+0.08*x3+0.16*x4+0.18*x5;x1+x2+x3+x4+x5<83;x1+x2+x3+x4+x5>77;最优值为z1*=33.2，此时z2=14.94然后求解单目标线性规划lingo程序如下min=f2;f1=0.05*x1+0.1*x2+0.2*x3+0.3*x4+0.4*x5;f2=0.03*x1+0.05*x2+0.08*x3+0.16*x4+0.18*x5;x1+x2+x3+x4+x5<83;x1+x2+x3+x4+x5>77;三、模糊线性规划的经济应用最优值为z2*=2.31，此时z1=3.85由此可知取伸缩指标分别为29.35，12.62，解如下的线性规划三、模糊线性规划的经济应用max=z;0.05*x1+0.1*x2+0.2*x3+0.3*x4+0.4*x5-29.35*z>3.85;0.03*x1+0.05*x2+0.08*x3+0.16*x4+0.18*x5+12.62*z<14.93;f1=0.05*x1+0.1*x2+0.2*x3+0.3*x4+0.4*x5;f2=0.03*x1+0.05*x2+0.08*x3+0.16*x4+0.18*x5;x1+x2+x3+x4+x5<83;x1+x2+x3+x4+x5>77;三、模糊线性规划的经济应用lingo程序如下最优解为：A3,A5分别投资67.9045%，15.0955%，其余不投资，此时投资收益率为19.6191%，风险损失率为8.1496%VariableValueReducedCostZ0.53727790.000000X10.0000000.9159187E-03