医用高等数学第一章课件

医用高等数学张绍军分子生物学馆110室22283650@第一章函数极限连续§1.1函数因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域一、函数的概念自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.两函数等同,当且仅当它们的定义域和对应法则都相同.1.函数的单调性:xyo函数的特性xyo2.函数的奇偶性:偶函数yxox-x奇函数yxox-x3．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX4．函数的有界性:二、函数的表示方法

解析法列表法图象法三、几种特殊的函数类1.分段函数例如,是定义在上的一个函数.xyo在自变量的不同变化范围中,

对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.又如,是确定在上的一个函数.5211.对分段函数必须搞清每一个解析式所对应的自变量的取值范围;2.分段函数表示的是一个函数.注意12xoy例1.解故(1)符号函数1-1xyo(2)取整函数

12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线y=[x][x]表示不超过的最大整数有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数（Dirichlet）(4)取最值函数yxoyxo2.复合函数定义:注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.3.复合函数不能交换次序3.反函数DWDW

直接函数与反函数的图形关于直线对称.定义：设函数y=f(x)定义域为集合X，值域Y，并且对于每个y

Y，都有唯

一的一个逆象x

X与之对应，这样就可得到一个新的函数，Y为定义域，X为值域y为自变量，x为因变量。称为函数f的反函数奇函数.偶函数.4.双曲函数五、基本初等函数1.常数函数2.幂函数3.指数函数4.对数函数5.三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数5.反三角函数

常数函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.六、初等函数由六类基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.初等函数定义七、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)§1.2极限一、数列极限二、函数极限1.数列极限的定义2.收敛数列的四则运算一、数列的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.割圆术：播放——刘徽（一）、概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2.截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——《庄子·天下》

（二）、数列的定义

如果按照某一法则,

对每一nN,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,这一序列叫做数列,

记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

数列举例:2,4,8,

,2n

,

;

1,

-1,1,

,(-1)n+1,

.

x1x5x4x3x2xn

数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,

它依次取数轴上的点x1,

x2,

x3,

,

xn

,

.

数列的几何意义数列与函数

数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),

nN.

播放（三）、数列的极限

当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,

则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义

如果不存在这样的常数a

就说数列{xn}没有极限或说数列是发散的，习惯上也说不存在.1.割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽(一)、概念的引入1.割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.割圆术：——刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.割圆术：——刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.割圆术：——刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.割圆术：——刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.割圆术：——刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.割圆术：——刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.割圆术：——刘徽(一)、概念的引入返回（三)、数列的极限（三)、数列的极限（三)、数列的极限（三)、数列的极限（三）、数列的极限（三）、数列的极限（三）、数列的极限（三）、数列的极限（三）、数列的极限（三）、数列的极限（三）、数列的极限（三）、数列的极限（三）、数列的极限返回（三）数列极限的四则运算

如果，那么注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在。特别地，如果C是常数，那么也就是说：如果两个数列都有极限，那么由这两个数列的各对应项的和、差、积、商组成的数列的极限，分别等于这两个数列的极限的和、差、积、商（各项作为除数的数列的极限不能为0）。二、函数极限

关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势（一）、自变量趋向无穷大时函数的极限播放返回通过上面演示实验的观察:2.另两种情形:3.几何解释:例1(二)、自变量趋向有限值时函数的极限

当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1时f(x)的极限.1xyo41.定义2.几何解释:注1.当x→x0时，f(x)有无极限与f(x)在x0处的状态并无关系，我们只关心f(x)在x0附近的变化趋势，即x→x0时f(x)变化有无终极目标，而不是f(x)在x0这一孤立点的情况。所以约定x→x0但x≠x02.x→x0的方式是任意的3.常数函数的极限就是本身，例2例3例4注

在求解函数极限时，也可考虑对函数进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一下。3.单侧极限:例如,左极限右极限例5解：左右极限存在但不相等,4.函数极限运算法则均存在，则1)2)（k为常数）3)当时，注

1.以上结论均在，limg(x)存在的前提下成

立;2.极限的加、减、乘运算法则可推广到有限个函数情形.3.自变量必须是同一变化过程例6解解商的法则不能用例7解例8(消去零因子法)例9（a0≠0，b0≠0，m,n>0).解：1）m=n,原式2）m>n,原式3）m<n，原式=∞.(1)三、两个重要极限例10解3)设u=arcsinxx→0时u→0,例11解例12解(2)四、无穷小量与无穷大量极限为零的变量称为无穷小(量).1.无穷小的定义问：无穷小是否为很小的数？很小的数是否为无穷小？注意（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.（1）无穷小是一种变量,不能与很小的数混淆;

在自变量的同一变化过程xx0(或x)中函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)-A为无穷小（或者

f(x)Aa

其中是无穷小）定理12.无穷小与函数极限的关系意义：将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的性质（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.（2）在同一过程中，有界量与无穷小的乘积是无穷小推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积是无穷小.推论1（在同一过程中）有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小；无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小.4.无穷小的比较（阶）都是无穷小引例.可见无穷小趋于0的速度是多样的.在x0的过程中

x20比3x0“快些”反过来3x0比x20“慢些”而sinx0与x0“快慢相仿”两个无穷小比值的极限的各种不同情况的无穷小趋于零的“快慢”程度

定义：

设a及b为同一个自变量的变化过程中的无穷小如果，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o(a)

；如果，就说b是比a低阶的无穷小

如果，就说b与a是同阶无穷小；如果，就说b与a是等价无穷小，记作a～b

5.无穷大的定义绝对值无限增大的变量称为无穷大（量）。注意（2）无穷大是变量，不能与很大的数混淆;6.无穷小与无穷大的关系在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。小结1.2.两个重要极限3.无穷小（比较）第三节函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质观察下列图形回答：

（1）函数在点

是否有定义？（2）是否存在？（3）是否与

相等？

图（1）满足3条；图（2）不满足（1）；图（3）不满足条件（2）；图（4）不满足条件（3）．

一、函数连续性的概念（2）存在（3）（1）函数在点处有定义；函数在点处连续必须满足三个条件：

如果函数在点处及其附近有定义，而且，就说函数在点处连续．

定义1注意：

①增量Dx可以是正的,可以是负的,也可以为零；②记号Dx并不表示某个量D与变量x的乘积,而是一个整体不可分割的记号。定义2（增量定义）

设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义如果那么就称函数y=f(x)在点x0连续

自变量(x在x0的)增量：Dx=x-x0函数(y=f(x)在x0的)的增量：Dy=f(x)-f(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)=y-y0

例1.证明：右连续但不左连续,单侧连续左连续：右连续：定理

函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续

在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续

二、函数的间断点

设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下如果函数f(x)有下列三种情形之一

(1)在x0没有定义则函数f(x)在点x0不连续而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点

(2)虽然在x0有定义但f(x)不存在

(3)虽然在x0有定义且f(x)存在但

f(x)f(x0)例2

函数在点x=1没有定义,所以函数在点x=1为不连续.如果补充定义:令x=1时y=2,则所给函数在x=1成为连续.所以x=1称为该函数的可去间断点.例3

函数因为f(x)的间断点.因f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点

故极限不存在,所以点x=0是函数第一类间断点例4正切函数y=tanx在处没有定义,所以点是函数tanx的间断点.因我们称为函数tanx的无穷间断点。

例5

函数在点x=0没有定义;当x→0时,函数值在-1与+1之间变动无限多次,所以点x=0称为函数的震荡间断点。第二类间断点

通常把间断点分成两类

㈠第一类间断点(左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在)①可去间断点(左、右极限相等)②跳跃间断点(左、右极限不相等)㈡第二类间断点(左、右极限至少有一个不存在)

无穷间断点

振荡间断点三、初等函数的连续性1.四则运算的连续性定理1例如,定理2例如,2.复合函数连续性注例6解在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，3.初等函数的连续性★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★(均在其定义域内连续)定理3

基本初等函数在定义域内是连续的.定理4

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.注意初等函数求极限的方法代入法.例8

求解它的一个定义区间是例9解四、闭区间上连续函数的性质最大值与最小值

对于在区间I上有定义的函数f(x)

如果有x0I

使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))

则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)

最大值与最小值举例:

函数f(x)=1+sinx在区间[02p]上有最大值2和最小值0说明:定理1(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值

又至少有一点x2[a

b]

使f(x2)是f(x)在[a

b]上的最小值

至少有一点x1[a

b]

使f(x1)是f(x)在[a

b]上的最大值

定理说明如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续那么应注意的问题:

如果函数仅在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值

例如函数f(x)=x在开区间(a

b)内既无最大值又无最小值

又如如下函数在闭区间[02]内既无最大值又无最小值

定理2(有界性定理)

在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界

证明设函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

根