高中数学人教A版第一章解三角形应用举例 第一章

学习目标1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一常用角思考试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．答案梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90度的角．(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如下图所示)知识点二测量方案思考如何不登月测量地月距离？答案可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离．梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量地月距离．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．类型一测量可到达点与不可到达点间的距离例1如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A，B两点间的距离．(精确到m)解根据正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，AB＝eq\f(ACsinC,sinB)＝eq\f(ACsinC,sin180°－A－C)＝eq\f(55sin75°,sin180°－51°－75°)＝eq\f(55sin75°,sin54°)≈(m)．所以A，B两点间的距离为m.反思与感悟解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．跟踪训练1在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为______千米．答案eq\r(6)解析如图所示，由题意知C＝180°－A－B＝45°，由正弦定理得eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(2,sin45°)，∴AC＝eq\f(2,\f(\r(2),2))·eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6)(千米)．类型二测量两个不可到达点间的距离例2如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距离的方法．解测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD＝a，并且在C、D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得AC＝eq\f(asinγ＋δ,sin[180°－β＋γ＋δ])＝eq\f(asinγ＋δ,sinβ＋γ＋δ)，BC＝eq\f(asinγ,sin[180°－α＋β＋γ])＝eq\f(asinγ,sinα＋β＋γ).计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC×BCcosα).引申探究对于例2，给出另外一种测量方法．解测量者可以在河岸边选定点E、C、D，使A、E、C三点共线，测得EC＝a，ED＝b，并且分别测得∠BEC＝∠AED＝α，∠BCA＝β，∠ADB＝γ，在△AED和△BEC中，应用正弦定理得AE＝eq\f(bsinγ,sin[π－α＋γ])＝eq\f(bsinγ,sinα＋γ)，BE＝eq\f(asinβ,sin[π－α＋β])＝eq\f(asinβ,sinα＋β).在△ABE中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离AB＝eq\r(AE2＋BE2＋2AE×BEcosα).反思与感悟本方案的实质是：把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为类型一．跟踪训练2如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是()A．20eq\r(2)米 B．20eq\r(3)米C．40eq\r(2)米 D．20eq\r(6)米答案D解析在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝40eq\r(2).在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝20eq\r(2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA＝(40eq\r(2))2＋(20eq\r(2))2－2×40eq\r(2)×20eq\r(2)cos60°＝2400，∴AB＝20eq\r(6)，故A，B两点之间的距离为20eq\r(6)米．1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m \f(25\r(2),2)m答案A解析∠B＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(50,sin30°)，得AB＝100×eq\f(\r(2),2)＝50eq\r(2).2．某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好eq\r(13)千米，那么x的值是________．答案4解析由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.3．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.答案7解析因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，整理得cosD＝－eq\f(1,2)，代入得AC2＝32＋52－2×3×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝49，故AC＝7.1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．2．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．40分钟课时作业一、选择题1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()A．a，c，α B．b，c，αC．c，a，β D．b，α，β答案D解析由α、β、b，可利用正弦定理求出BC.2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为()A．40eq\r(3) B．20eq\r(3)C．40eq\r(2) D．20eq\r(2)答案A解析设另两边长为8x,5x，则cos60°＝eq\f(64x2＋25x2－142,80x2)，解得x＝2.两边长是16与10，三角形的面积是eq\f(1,2)×16×10×sin60°＝40eq\r(3).3．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A－C－B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到km，参考数据：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈()A．km B．kmC．km D．km答案A解析过点C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt△CAD中，∠A＝30°，AC＝10km，CD＝AC·sin30°＝5(km)，AD＝AC·cos30°＝5eq\r(3)(km)．在Rt△BCD中，∠B＝45°，BD＝CD＝5(km)，BC＝eq\f(CD,sin45°)＝5eq\r(2)(km)．AB＝AD＋BD＝(5eq\r(3)＋5)(km)，AC＋BC－AB＝10＋5eq\r(2)－(5eq\r(3)＋5)＝5＋5eq\r(2)－5eq\r(3)≈5＋5×－5×＝(km)．4．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为()A．230m B．240mC．50m D．60m答案D解析在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB＝120(m)．如图，作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．在Rt△ACD中，由正弦定理，得eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，∴eq\f(120,sin90°)＝eq\f(CD,sin30°)，∴CD＝60(m)，∴河的宽度为60m.5．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A．10eq\r(3)nmile \f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile答案D解析在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理，得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，∴eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)，解得BC＝5eq\r(6)(nmile)．二、填空题6．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为________km.答案30eq\r(2)解析如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°⇒∠ABC＝45°，AC＝60km，根据正弦定理，得BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(60sin30°,sin45°)＝30eq\r(2)(km)．7．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距eq\r(3)km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为________km.答案eq\r(5)解析如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km)．△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，∴AB＝eq\r(5)(km)．∴A、B之间的距离为eq\r(5)km.8．某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．则汽车到达M汽车站还需行驶________km.答案15解析由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处．在△ABC中，AC＝31，BC＝20，AB＝21，由余弦定理，得cosC＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC×BC)＝eq\f(23,31)，则sin2C＝1－cos2C＝eq\f(432,312)，sinC＝eq\f(12\r(3),31)，所以sin∠MAC＝sin(120°－C)＝sin120°cosC－cos120°sinC＝eq\f(35\r(3),62).在△MAC中，由正弦定理，得MC＝eq\f(ACsin∠MAC,sin∠AMC)＝eq\f(31,\f(\r(3),2))×eq\f(35\r(3),62)＝35.从而有MB＝MC－BC＝15.故汽车到达M汽车站还需行驶15km.三、解答题9.如图所示，一架飞机从A地飞到B地，两地相距700km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700km远了多少？解在△ABC中，AB＝700km，∠ACB＝180°－21°－35°＝124°，根据正弦定理，eq\f(700,sin124°)＝eq\f(AC,sin35°)＝eq\f(BC,sin21°)，AC＝eq\f(700×sin35°,sin124°)，BC＝eq\f(700×sin21°,sin124°)，AC＋BC＝eq\f(700×sin35°,sin124°)＋eq\f(700×sin21°,sin124°)≈(km)，786．89－700＝(km)．所以飞机的飞行路程比原来路程远了大约km.10．如图所示，一艘船以nmile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？解在△ABS中，AB＝×＝nmile，∠ABS＝115°.