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文档简介

4-/NUMPAGES4等腰三角形知识练习知识梳理

知识点1:等腰三角形的性质定理1

(1)文字语言:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)

(2)符号语言:如图,在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C

(3)证明:取BC的中点D,连接AD

在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)(4)定理的作用:证明同一个三角形中的两个角相等。知识点2:等腰三角形性质定理2文字语言:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,相互重合(简称“三线合一”)(2)符号语言:∵AB=AC,∠1=∠2

∵AB=AC,AD⊥BC

∵AB=AC,BD=DC∴AD⊥BC,BD=DC

∴∠1=∠2,BD=DC

∴∠1=∠2,AD⊥BC(3)定理的作用:可证明角相等,线段相等或垂直。

说明:在等腰三角形中常常添加协助线,虽然“顶角的平分线,底边上的高,底边上的中线相互重合,如何添加要依据详细状况来定,作时只作一条,再依据性质得出另两条”。

知识3:等腰三角形的判定定理

(1)文字语言:假如一个三角形的两个角相等,则这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”)(2)符号语言:在△ABC中,∵∠B=∠C

∴AB=AC(3)证明:过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°。

在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD(AAS)∴AB=AC(4)定理的作用:等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。

说明:①本定理的证明用的是作底边上的高,还有其他证明方法(如作顶角的平分线)。②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种:1,利用定义

2,利用定理。知识点4:等腰三角形的推论1.推论:推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3:在直角三角形中,假如一个锐角等于30°,则它所对的直角边等于斜边的一半。知识点5:等腰三角形中常用的协助线等腰三角形顶角平分线,底边上的高,底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的协助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线,底边上的高,底边上的中线相互重合,添加协助线时,有时作哪条线都可以,有时须要作顶角的平分线,有时则须要作高或中线,这要视详细状况来定。一,知识点回顾等腰三角形的性质:△ABC中,AB=AC.点D在BC边上(1)∵AB=AC,∴∠_____=∠______;(即性质1)(2)∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴_______=________;________⊥_________;(即性质2)(3)∵AB=AC,AD是中线,∴∠______=∠______;________⊥________;(即性质2)(4)∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠________=∠_______;_______=_______.(即性质2)等腰三角形的判定:△ABC中,∵∠B=∠C

∴_____=_____.二,基础题第1题.已知等腰三角形的一个内角为80°,则它的另两角为________________.第2题.在△ABC中,∠ABC=∠C=2∠A,BD是∠ABC的平分线,DE∥BC,则图中等腰三角形的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5第3题.如图1,△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至G,取NG=NQ,若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ周长是()图1图2图3图4A.8+2a B.8+aC.6+aD.6+2a第4题.如图2,O是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线的交点,OD∥AB交BC于D,OE∥AC交BC于E点,若BC=10cm,则△ODE的周长为()A.8cm B.9cm C.10cm D.11cm第5题.如图3,已知:P,Q是△ABC边上BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.第6题.等腰三角形底边中点与一腰的距离为6,则腰上的高为______.第7题.如图4,DE是线段BC垂直平分线上两点,连DB,DC,EB,EC,则∠DBC与∠DCB的关系是________,∠DBE与∠DCE的关系是________.第8题.等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°,则这个三角形各内角度数是________.第9题.等腰三角形有一个角是50°,则其他两个角的度数是____________.第10题.如图5,AB=AC,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,若∠AFD=145°,则∠EDF=______.图5图6第11题.如图6,,ABC是等腰三角形,D为BC上一点,DE∥AB且交AC于E,请推断△EDC是什么三角形并说明理由.第12题.如图7,已知AE平分∠DAC,AE∥BC,则AB=AC吗请简要说明理由.图7图8图9第13题.如图8,PQ为Rt△MPN斜边上的高,∠M=45°,则图中等腰三角形的个数是()A.1个B.2个C.3个 D.4个第14题.等腰三角形的两边长为3和6,则这个三角形的周长为()A.9 B.12 C.15 D.12或1第15题.如图9,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,P是△ABC内一点,∠PCB=∠PCA,且∠PBC=∠PBA,则∠BPC度数为()A.115° B.100° C.130° D.140°第16题.下列命题正确的个数是()①假如等腰三角形内一点究竟边两端点的距离相等,则过这点与顶点的直线必垂直于底边;②假如把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段,则延长线段的两个端点与顶点距离相等;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上一点究竟边的两端点距离相等.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第17题.等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成的角的度数是()A.42° B.60° C.36° D.46°第18题.等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是()A.120° B.150° C.60° D.90°第19题.如图10,∠ABC中,AD⊥BC,AB=AC,∠BAD=30°,且AD=AE,则∠EDC等于()A.10° B.12.5° C.15° D.20°图10图11图12第20题.如图11,△ABC中,点D在AC上,且AB=AD,∠ABC=∠C+30°,则∠CBD等于()A.15° B.18° C.20° D.22.5°第21题.已知:如图12,AB=AC,BD⊥AC,请探究∠DBC与∠A的关系并说明理由.第22题.假如一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等,则它肯定是()A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.不等腰钝角三角形第23题.如下图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线,则图中等腰三角形的个数为()A.12 B.10 C.9 D.8第24题.一个等腰三角形的一个内角为90°,则这个等腰三角形的一个底角为()A.90°B.45°C.50°D.22.5°第25题.等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm,则它的周长为()A.37cm B.29cm C.37cm或29cm D.无法确定第26题.△ABC中,∠ACB=90°,DE是AB的垂直平分线,且∠BAD∶∠CAB=1∶3,则∠B等于_______度.第27题.已知Rt△ABC是轴对称图形,且∠C=90°,则∠B=_____度,∠A=______度;点A的对应点是______,点C的对应点是_______.第28题.在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线相交于点P,则PA,PB,PC的大小关系是_________第29题.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是BC边上的两点,且满意AD=AE=BD=CE,则图中与∠B相等的角有________个角,分别是________________________.图中全等的三角形有___对,分别是_____________________________第30题.已知线段a,b(a>2b),以a,b为边作等腰三角形,则()A.只能作以a为底边的等腰三角形B.只能作以b为底边的等腰三角形C.可以作分别以a,b为底的等腰三角形D.不能作符合条件的等腰三角形第31题.如图,在△ABC中,BC=5cm,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是___________cm.第32题如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形态最打算的判断()A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形态二,解答题1.如图,已知AB=AC,E,D分别在AB,AC上,BD与CE交于点F,且∠ABD=∠ACE,求证:BF=CF.2.如图,△ABC中BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于F交BC于E,求证:△DBE是等腰三角形.3.如图,已知:点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE4.如图:△ABC中,AB=AC,PB=PC.求证:AD⊥BC5.已知:如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF,BE的交点.求证:HB=HC6.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D,求证:BC=3AD.7.如图,已知点B,C,D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,①求证:△BCE≌△ACD;②求证:CF=CH;③推断△CFH的形态并说明理由.8.已知:如图,△BDE是等边三角形,A在BE延长线上,C在BD的延长线上,且AD=AC。求证:DE+DC=AE。9.如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2

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