非均匀三次B样条曲线z

B样条曲线(2)

1讲授提纲复习

(均匀三次B样条曲线和B样条基函数）非均匀B样条曲线的表达形式(重点)B样条曲线的插值B样条曲线构造的Matlab程序实现2V0Vn-1VnV1ViVi+1Vi+2Vi+3ri+1(u)ri(u)r0(u)rn-3(u)n+1个控制顶点决定的均匀三次B样条曲线中有多少个均匀三次B样条曲线段存在?34猜想:如果是二次B样条曲线,几个控制顶点决定一段曲线呢?如果一条二次B样条曲线有n+1个控制顶点,试问该二次B样条曲线有多少段?如果是k次B样条曲线,几个控制顶点决定一段曲线呢?如果一条k次B样条曲线有n+1个控制顶点,试问该k次B样条曲线有多少段?5曲线的局部性678猜想:如果是一个二次的B样条曲线,改动一个控制顶点,最多会有几段曲线会发生变化呢?如果一个二次曲线的控制顶点是V0V1V2V3V4V5V6V7V8V9V10V11V12,那么改动控制顶点V7,会有几段曲线的形状发生变化,你能写出这几段曲线的控制顶点吗?910问题:总共可以决定多少个k次B样条基函数呢?11讲授提纲复习

(均匀三次B样条曲线和B样条基函数）非均匀B样条曲线的表达形式(重点)B样条曲线的插值B样条曲线构造的Matlab程序实现12定义一条非均匀B样条曲线应该包括如下几个部分：13控制顶点的作用:从工程设计的角度:14次数k的作用1:从工程的角度:调整曲线的光滑程度15取B样条曲线次数为116取B样条曲线次数为217取B样条曲线次数为318节点矢量的解释19节点矢量的作用(1)调整曲线的形状20调整曲线的连续阶节点矢量的作用(2)21节点矢量的作用(3)B样条曲线是B样条基函数的线性迭加:B样条基函数形状和连续阶的变化当然会引起B样条曲线形状和连续阶的变化。调整节点矢量在几何造型中的一个重要应用：让B样条曲线在端点处继承Bézier曲线的端点性质22B样条基函数Ni,k(u)23非均匀B样条曲线的性质1.设节点数m+1，控制顶点数n+1和基函数次数为k，那么m,n和k之间有如下联系：m=n+k+12.

上述定义中的B样条曲线可以分为多少段?243.局部性:由特殊到一般*对于非均匀三次B样条曲线,改动一个控制顶点,最多会有几段曲线发生变化,你能写出这几段曲线的控制顶点吗?*对于非均匀二次B样条曲线,改动一个控制顶点,最多会有几段曲线发生变化,你能写出这几段曲线的控制顶点吗?3.对于非均匀k次B样条曲线,改动一个控制顶点,最多会有几段曲线发生变化25在通常情况下,B样条曲线的首末端点不会与控制多边形首末端点重合.

4.如何让B样条曲线继承Bézier曲线的端点性质?262728如果取节点矢量,定义域应该是多少呢?5.B样条曲线的定义域?2930红色的曲线段就是函数y=N0,3(u)的图像吗？31决定红色的曲线需要用到哪几个节点？3233上述表达式中的基函数总共与哪些节点相关呢？343536有一条k次B样条曲线：

其节点矢量是U=[u0,u1,…,um-1,um]。试解答如下问题：用n和k表示m；写出该曲线的定义域(2)如果k=3，n充分大，当改动控制顶点V2时，有几段曲线的形状会发生变化？分别写出这几段曲线的控制顶点和定义域。(3)如果k=3，n=5，在节点矢量除u0=u1=u2=u3外再无其它重节点，请绘出该曲线的草图，并在曲线段之间用黑点隔开。37讲授提纲复习

(均匀三次B样条曲线和B样条基函数）非均匀B样条曲线的表达形式(重点)B样条曲线的插值B样条曲线构造的Matlab程序实现3839问题:如果知道均匀三次B样条曲线段的两个顶点P0和P1,你如何计算出该曲线段的四个控制顶点?404142问题:如果知道n+1个点P0,…,Pn,你如何计算出均匀三次B样条曲线的控制顶点?43要解决的第一个问题:控制多边形中究竟有多少个控制顶点?或者说m的值应该是多少?44观察其中的规律45这样m是多少呢?464748讲授提纲复习

(均匀三次B样条曲线和B样条基函数）非均匀B样条曲线的表达形式(重点)B样条曲线的插值B样条曲线构造的Matlab程序实现49Step1建一个文件夹(E:\CADTask)Step2把你建立的目录设置为Matlab当前工作目录Step3在当前目录下用程序编辑器编写程序50反算51525354正算根据控制顶点计算曲线假设所有的控制顶点存储在一个数组MV中MV是一个N行三列的数组55编写B样条基函数functiona=N03(u)a=(1-u)*(1-u)*(1-u)/6functiona=N13(u)a=(3*u*u*u-6*u*u+4)/656functiona=N23(u)a=(-3*u*u*u+3*u*u+3*u+1)/6functiona=N33(u)a=u*u*u/657计算一段曲线functionp=UB3CS(V0,V1,V2,V3)fori=1:51u=(i-1)/50;

p(i,:)=V0*N03(u)+V1*N13(u);

p(i,:)=p(i,:)+V0*N13(u)+V1*N23(u);end58计算整条曲线functionpp=UB3C(MV)N=length(MV(:,1));N=N-3;fori=1:NV0=MV(i,:);V1=MV(i+1,:);V2=MV(i,:);V3=MV(i+1,:);p=UB3CS(V0,V1,V2,V3)

if(i==1)pp=p;elsepp=[pp;p];end59小结非均匀三次B样条曲线表达式的三要素