系统模型与模型化

1第4章系统模型与模型化4.1.概述

4.2.解释结构模型（ISM）4.3.主成分分析法4.4.聚类分析法

4.5.状态空间模型（SS）（结合自学）24.1.概述1.基本概念及意义模型——对现实系统抽象表达的结果。应能反映出（抽象或模仿）系统某个方面的组成部分（要素）及其相互关系。31.基本概念及意义模型化——构建系统模型的过程及方法。要注意兼顾到现（真）实性和易处理性。意义及特点：对系统问题进行规范研究的基础和标志；经济、方便、快速、可重复，“思想”或“政策”试验；经过了分析人员对客体的抽象，因而必须再拿到现实中去检验。42.模型的分类与模型化的基本方法模型的分类：

A——

概念模型A1：（conceptualmodel）（思维或意识模型A11;字句模型A12;描述模型A13）定义：关于物理现象与过程的逻辑关系清楚的概念阐述模型。

符号模型A2：symbolicmodel（图表模型A21;数学模型A22）定义：描述有联系的对象相对性的数学表示。

仿真模型A3：仿真模型是被仿真对象的相似物或其结构形式。它可以是物理模型或数学模型。5概述——模型的分类与模型化的基本方法形象模型A4（物理模型A41;图像模型A42）类比模型A5B——分析模型B1[通常用数学关系式表达]

仿真模型B2[主要基于“计算机导向”]

博弈模型B3[主要基于“人的行为导向”]

判断模型B4[基于专家调查的判断]C——结构模型C1

数学模型C2

仿真模型C36D——实体模型D1（实物模型D11;模拟模型D12）抽象模型或符号模型D2（数学模型D21;

结构模型D22；仿真模型D23;……）7模型化的基本方法：

机理法或分析方法（A22,B1,B3,C2,D21）（如果……，则……。由于……，所以……。）实验方法：拟合法——“理论”导向经验法——“数据”导向（A22,B1,C2,D21）模拟法——“计算机”或“实物”导向（A3,A4,B2,C3,D1,D23）专家法（A21,B4,C1,D22）

……83.建模一般过程（1）明确建模目的和要求；（2）弄清系统或子系统中的主要因素及其相互关系；（3）选择模型方法；（4）确定模型结构；（5）估计模型参数；（6）模型试运行；（7）对模型进行实验研究；（8）对模型进行必要修正。9几种典型的系统模型ISM（InterpretativeStructuralModeling）

SS（StateSpace）SD（SystemDynamics）

CA（ConflictAnalysis）

新进展——软计算或“拟人”方法（人工神经网络、遗传算法、混沌理论等）；新型网络技术（Petri网等）；

……104.2.解释结构模型（ISM）（一）系统结构模型化基础概念1.结构模型：定性表示系统构成要素以及他们之间相互依赖、相互制约和关联关系的模型。2.系统结构模型化：即建立系统结构模型的过程，是系统认识和准确把握复杂问题并对问题建立数学模型、进行定量分析的基础。3.递阶结构模型：反应系统中各要素间层次关系的结构模型。11（一）系统结构模型化基础比较有代表性的系统结构分析方法有：逻辑树（如问题树、目标树、决策树）法、解释结构模型化（ISM）方法、系统动力学（SD）结构模型化方法等。

本部分要求大家主要学习和掌握ISM方法（实用化方法、规范方法）。12逻辑树？逻辑树又称问题树、演绎树或分解树等。麦肯锡分析问题最常使用的工具就是“逻辑树”。逻辑树是将问题的所有子问题分层罗列，从最高层开始，并逐步向下扩展。把一个已知问题当成树干，然后开始考虑这个问题和哪些相关问题或者子任务有关。每想到一点，就给这个问题（也就是树干）加一个“树枝”，并标明这个“树枝”代表什么问题。一个大的“树枝”上还可以有小的“树枝”，如此类推，找出问题的所有相关联项目。逻辑树主要是帮助你理清自己的思路，不进行重复和无关的思考。逻辑树能保证解决问题的过程的完整性;它能将工作细分为一些利于操作的部分;确定各部分的优先顺序;明确地把责任落实到个人。某公司业务价值体系分解逻辑树分类15（二）ISM实用化方法设定问题、形成意识模型找出影响要素要素关系分析（关系图）建立可达矩阵(M)和缩减矩阵（M/）矩阵层次化处理(ML/)

绘制多级递阶有向图建立解释结构模型分析报告比较/F学习初步分析规范分析综合分析ISM实用化方法原理图16ISM实用化方法举例17影响部门执行力因素分析

要素关系分析图（图1）

VVVVVV1、组织定位（使命）VVVAVV2、结构及流程VAVA×AV3、组织文化AAAA4、工作计划VVVV5、领导能力

VAVA6、成员素质（责任心）VAV7、激励与约束

A8、有效控制

V9、制度与规范10、配合与协调返回18注：V---表示方格中的行（或上位）要素直接影响到列（或下位）要素。A---表示列要素对行要素有直接影响。X---表示行列要素相互影响。19可达矩阵（图2）111111111111111111111111111111111111111111111111

2

3

4

5

6

7

8

91012345678910VVVVVV1、组织定位（使命）VVVAVV2、结构及流程VAVA×AV3、组织文化AAAA4、工作计划VVVV5、领导能力

VAVA6、成员素质（责任心）VAV7、激励与约束

A8、有效控制

V9、制度与规范10、配合与协调返回20缩减矩阵（图3）11111111111111111111111111111111111112345789106541751612

3

4

5

7

8

910

将具有强连接关系的一组要素看着一个要素，保留其中的一个代表要素，删除掉其余要素及其在M中的行和列。返回21具有层次结构的缩减矩阵（图4）48103271954181101311112111117111111111111911111151111111返回22多级递阶有向图（图5）410836271594-工作计划8-有效控制10-配合协调1-组织定位5-领导能力9-制度规范返回23解释结构模型工作计划有效控制配合协调组织文化成员素质结构及流程激励与约束制度规范领导能力组织定位返回24结论

通过上述分析，我们认为一个组织执行力的提高，从长期性和根本上来说，取决于这个组织的战略定位（1）、制度与规范的建设能力（9）和领导者的素质、修养及能力（5），从短期性和直接性来说，与工作计划（4）、有效控制（8）和组织成员间的相互配合与协调能力（10）等要素直接相关，而组织文化与成员素质（责任心）则直接影响以上三个要素。所以我们提出了根据组织战略定位，加强组织文化建设，提高组织成员素质（责任心），优化工作流程，加强工作制度建设，全面提高本部门执行力的初步方案（措施）。

25方法小结（1）该方法的核心是对系统要素间的关系（尤其是因果关系）进行层次化处理，最终形成具有多级递阶关系和解释功能的结构模型（图）。

第1步：找出影响系统问题的主要因素，通过方格图判断要素间的直接（相邻）影响关系；

第2步：考虑因果等关系的传递性，建立反映诸要素间关系的可达矩阵（该类矩阵属反映逻辑关系的布尔矩阵）；

第3步：考虑要素间可能存在的强连接（相互影响）关系，仅保留其中的代表要素，形成可达矩阵的缩减矩阵；26方法小结（2）第4步：缩减矩阵的层次化处理，分为两步：（1）按照矩阵每一行“1”的个数的少与多，从前到后重新排列矩阵，此矩阵应为严格的下三角矩阵；（2）从矩阵的左上到右下依次找出最大单位矩阵，逐步形成不同层次的要素集合。第5步：作出多级递阶有向图。作图过程为：

（1）按照每个最大单位子矩阵框定的要素，将各要素按层次分布；（2）将第3步被缩减掉的要素随其代表要素同级补入，并标明其间的相互作用关系；（3）用从下到上的有向弧来显示逐级要素间的关系；（4）补充必要的越级关系。第6步：经直接转换，建立解释结构模型。27（三）建立递阶结构模型的规范方法建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构模型，可在可达矩阵M的基础上进行，一般要经过区域划分、级位划分、骨架矩阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段。这是建立递阶结构模型的基本方法。现以例4-1所示问题为例说明：28例4-1某系统由七个要素（S1，S2，…，S7）组成。经过两两判断认为：S2影响S1，S3影响S4，S4影响S5，S7影响S2，S4和S6相互影响。这样，该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达，其中：S={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}Rb={（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}29图1例4-1有向图5162374S={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}Rb={（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}30可达矩阵12345671234567

M=与图1对应的可达矩阵（其中将Si简记为i）为：311.区域划分区域划分即将系统的构成要素集合S，分割成关于给定二元关系R的相互独立的区域的过程。首先以可达矩阵M为基础，划分与要素Si（i=1，2，…，n）相关联的系统要素的类型，并找出在整个系统（所有要素集合S）中有明显特征的要素。有关要素集合的定义如下：32可达集R（Si）。系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有向图中由Si可到达的诸要素所构成的集合，记为R（Si）。其定义式为：

R（Si）={Sj|Sj∈S，mij

=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n

先行集A（Si）。系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向图中可到达Si的诸要素所构成的集合，记为A（Si）。其定义式为：

A（Si）={Sj|Sj∈S，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n共同集C（Si）。系统要素Si

的共同集是Si在可达集和先行集的共同部分，即交集，记为C（Si）。其定义式为：

C（Si）={Sj|Sj∈S，mij

=1，mji=1，

j=1，2，…，ni=1，2，…，n}33SiA（Si）C（Si）R（Si）图2可达集、先行集、共同集关系示意图

系统要素Si的可达集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si）之间的关系如图2所示：34起始集B（S）和终止集E（S）。系统要素集合S的起始集是在S中只影响（到达）其他要素而不受其他要素影响（不被其他要素到达）的要素所构成的集合，记为B（S）。

B（S）中的要素在有向图中只有箭线流出，而无箭线流入，是系统的输入要素。其定义式为：

B（S）={Si

|Si

∈S，C（Si）=A（Si）

}

E（S）={Si|Si∈S，C（Si）=R（Si）}

，i=1，2，…，n如在于图1所对应的可达矩阵中，B（S）={S3，S7}。当Si为S的起始集（终止集）要素时，相当于使图2中的阴影部分C（Si）覆盖到了整个A（Si）（R（Si））区域。这样，要区分系统要素集合S是否可分割，只要研究系统起始集B（S）中的要素及其可达集（或系统终止集E（Si）中的要素及其先行集要素）能否分割（是否相对独立）就行了。35利用起始集B（S）判断区域能否划分的规则如下：在B（S）中任取两个要素bu、bv：如果R（bu）∩

R（bv）≠ψ（ψ为空集），则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素属同一区域。若对所有u和v均有此结果（均不为空集），则区域不可分。如果R（bu）∩

R（bv）=ψ，则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可被划分为两个相对独立的区域。

利用终止集E（S）来判断区域能否划分：“只要判定“A（eu）∩

A（ev）”（eu、ev为E（S）中的任意两个要素）是否为空集即可。区域划分的结果可记为：∏（S）=P1，P2，…，Pk，…，Pm（其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合）。经过区域划分后的可达矩阵为块对角矩阵（记作M（P））。36表1可达集、先行集、共同集和起始集例表SiR（Si）A（Si）C（Si）B（S）123456711，23，4，5，64，5，654，5，61，2，71，2，72，733，4，63，4，5，63，4，671234，654，6737

为对给出的与图1所对应的可达矩阵进行区域划分，可列出任一要素Si（简记作i，i=1，2，…，7）的可达集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si），并据此写出系统要素集合的起始集B（S），如表1所示：51623743734561273456127M（P）=P1P2

因为B（S）={S3，S7},且有R（S3）∩

R（S7）={S3，S4，S5，S6}

∩{S1，S2，S7}=ψ，所以S3，S4，

S5，

S6与

S1，

S2，

S7分属两个相对独立的区域，即有：

∏（S）=P1，P2={S3，S4，S5，S6}

∩{S1，S2，S7}。

这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵：OOúúúúúúúúúûùêêêêêêêêêëé1110110011110010011101111382.级位划分级位划分:即确定某区域内各要素所处层次地位的过程。这是建立多级递阶结构模型的关键工作。

设P是由区域划分得到的某区域要素集合，若用L1，L2，…，Li表示从高到低的各级要素集合（其中i为最大级位数），则级位划分的结果可写出：∏（P）=L1，L2

，…，Li。某系统要素集合的最高级要素即该系统的终止集要素。级位划分的基本做法是：找出整个系统要素集合的最高级要素（终止集要素）后，将它们去掉；再求剩余要素集合（形成部分图）的最高级要素，将它们去掉；依次类推，直到确定出最低一级要素集合（即Li）。3940为此，令LO=ψ（最高级要素集合为L1，没有零级要素），则有：L1={Si|Si∈P-L0，C0（Si）=R0（Si），i=1，2，…，n}L2={Si|Si∈P-L0-L1，C1（Si）=R1（Si），i<n}Lk={Si|Si∈P-L0-L1-…-Lk-1，Ck-1（Si）=Rk-1（Si），i<n}

（3-3）

式（3-3）中的Ck-1（Si）和Rk-1（Si）是由集合P-L0-L1-…-Lk-1中的要素形成的子矩阵（部分图）求得的共同集和可达集。经过级位划分后的可达矩阵变为区域块三角矩阵，记为M（L）。41表2级位划分过程表要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）=R（S）∏（P1）P1-L034563，4，5，64，5，654，5，633，4，63，4，5，63，4，634，654，6√L1={S5}P1-L0-L13463，4，64，64，633，4，63，4，634，64，6√√L2

={S4，S6}P1-L0-L1-L2

3333√L3

={S3}如对例4-1中P1={S3，S4，S5，S6}进行级位划分的过程示于表2中。4254631275463127M（L）=L1L2L3L1L2L300对该区域进行级位划分的结果为：

∏（P1）=L1，L2

，L3={S5}，{S4，S6}，{S3}

同理可得对P2={S1，S2，S7}进行级位划分的结果为：

∏（P）=L1，L2

，L3=

{S1}，{S2}，{S7}

这时的可达矩阵为：433.提取骨架矩阵（1）543127543127M’（L）=L1L2L3L1L2L300

提取骨架矩阵，是通过对可达矩阵M（L）的缩约和检出，建立起M（L）的最小实现矩阵，即骨架矩阵A’。这里的骨架矩阵，也即为M的最小实现多级递阶结构矩阵。对经过区域和级位划分后的可达矩阵M（L）的缩检共分三步，即：

1.检查各层次中的强连接要素，建立可达矩阵M（L）的缩减矩阵M’（L）。如对原例M（L）中的强连接要素集合{S4，S6}作缩减处理（把S4作为代表要素，去掉S6）后的新的矩阵为：44

543127543127M’’（L）=L1L2L3L1L2L300

2.去掉M’（L）中已具有邻接二元关系的要素间的越级二元关系，得到经进一步简化后的新矩阵M’’（L）。如在原例的M’（L）中，已有第二级要素（S4，S2）到第一级要素（S5，S1）和第三级要素（S3，S7）到第二级要素的邻接二元关系，即S4RS5、S2RS1和S3RS4、S7RS2，故可去掉第三级要素到第一级要素的超级二元关系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即将M’（L）中3→5和7→1的“1”改为“0”，得：45

543127543127M’’（L）=L1L2L3L1L2L300

3.进一步去掉M’’（L）中自身到达的二元关系，即减去单位矩阵，将M’’（L）主对角线上的“1”全变为“0”，得到经简化后具有最小二元关系个数的骨架矩阵A’。如对原例有：464.绘制多级递阶有向图D（A’）根据骨架矩阵A’，绘制出多级递阶有向图D（A’），即建立系统要素的递阶结构模型。绘图一般分为如下三步：分区域从上到下逐级排列系统构成要素。同级加入被删除的与某要素（如原例中的S4）有强连接关系的要素（如S6），及表征它们相互关系的有向弧。按A’所示的邻接二元关系，用级间有向弧连接成有向图D（A’）。47S1S2S7S3S4S5S6第1级第2级第3级区域划分级位划分强连接要素缩减剔除超级关系去掉自身关系绘图（块三角）（区域块三角）（区域下三角）结束

原例的递阶结构模型：原例递阶结构模型与模型建立过程M→M（P）→M（L）→M’（L）→M’’（L)→A’→D（A’）以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建立过程：484.3.主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标或变量。因为每个指标都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。什么是主成分分析？我们来看一个例子：

小学学生的综合成绩可以用下面各科成绩来评估：a1×語文＋a2×数学＋a3×自然＋a4×社会科学

确定权重系数的过程就可以看作是主成分分析的过程，得到的加权成绩总和就相对于新的综合变量——主成分50在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。因此，人们会很自然地想到，能否在相关分析的基础上，用较少的新变量代替原来较多的旧变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息？51主成分分析的主要目的

主成分分析法是一种数学变换的方法,它把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二变量的方差次大，并且和第一变量不相关，称为第二主成分。依次类推，I个变量就有I个主成分。三变量主成分分析示意图PC1=a1xi1+a2xi2+a3xi3PC2=b1xi1+b2xi2+b3xi3对三维空间下的一组样本（设样本数为n），其原始变量的坐标系为x1,x2,x3，在对原始坐标系经过坐标平移、尺度伸缩、旋转等变换后,得到一组新的、相互正交的坐标轴v1,v2，可使原始变量在新坐标系上的投影值（分别称为第一、第二主成分）的方差达到最大。其中v1,v2称为第一、第二载荷轴。

对于m维空间，载荷轴的个数最多为m。54一、主成分分析的基本原理

假定有n个样本，每个样本共有p个变量，构成一个n×p阶的数据矩阵（4.3.1）

基本概念协方差(covariance)

方差标准差基本概念相关系数(correlationcoefficient)协方差数据矩阵的每一列对应一个变量的n个量测值，任意两列之间可以计算两变量间的协方差cov(i,j),i=j时，协方差矩阵58定义：记x1，x2，…，xP为原变量指标，z1，z2，…，zm（m≤p）为新变量指标(4.3.2)

系数lij的确定原则：①

zi与zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互无关；59②

z1是x1，x2，…，xP的一切线性组合中方差最大者，z2是与z1不相关的x1，x2，…，xP的所有线性组合中方差最大者；

……

zm是与z1，z2，……，zm－1都不相关的x1，x2，…xP，的所有线性组合中方差最大者。

则新变量指标z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m主成分。

60

从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量xj（j=1，2，…，

p）在诸主成分zi（i=1，2，…，m）上的荷载

lij（

i=1，2，…，m；

j=1，2，…，p）。从数学上容易知道，从数学上可以证明，它们分别是原系数矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量。

61二、计算步骤

（一）计算相关系数矩阵

rij（i，j=1，2，…，p）为原变量xi与xj的相关系数，rij=rji，其计算公式为：（4.3.3）

（4.3.4）

62

（二）计算特征值与特征向量：

①解特征方程，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列：

②

分别求出对应于特征值的特征向量，要求=1，即，其中表示向量的第i个分量。63③

计算主成分贡献率及累计贡献率

▲贡献率:▲累计贡献率:

一般取累计贡献率达85—95%的特征值所对应的第一、第二、…、第m（m≤p）个主成分。

64

④

计算主成分载荷

⑤各主成分的得分：

（4.3.5）

（4.3.6）

例1：8个样品中苯和二甲苯的含量见下表：#BTBmc

Tmc14826131224420963402451043818345329-3-56286-7-87265-9-98244-11-10mean35