热力学与统计物理学第八章-玻色统计和费米统计

第八章玻色统计和费米统计§8.1热力学的统计表达式§8.2弱简并玻色气体和费米气体§8.3玻色—爱因斯坦凝聚§8.4光子气体§8.5金属中的自由电子气体1§8.1热力学的统计表达式经典极限条件不满足经典极限条件的气体为简并气体，需要用玻色（费米）分布来处理。非简并气体总是可以用玻耳兹曼分布处理。2一，巨配分函数定义巨配分函数：玻色分布：把参量、、作为已知量（）

巨配分函数是变量的函数。下面依次对求偏导数。3系统的平均总粒子数：

系统内能：

4外界对系统的广义作用力：

5二，熵的表达式－玻耳兹曼关系在热力学中有：又6积分玻耳兹曼关系-熵与微观状态数之间的关系7三，费米系统的巨配分函数玻色系统：费米系统：热力学量的统计表达式不变。8四，作为特性函数的巨配分函数如果求得巨配分函数，据此可以求得系统内能、物态方程和熵。从而确定系统的全部平衡性质。热力学中巨热力学势是以为自然变量的特性函数：巨配分函数是以为自然变量的特性函数。对简单系统就是9§8.2弱简并理想玻色气体和费米气体不考虑分子的内部结构，因此只有平动自由度,

分子能量为：

简并性气体:用玻色分布或费米分布处理。非简并性气体:用玻耳兹曼分布处理比较小但不能忽略：弱简并玻色气体或费米气体。10如果粒子具有自旋简并度，分子可能的微观状态数为：在体积内，在到的能量范围内，分子可能的状态数为：系统总分子数：

由此式确定拉氏乘子11系统的内能为：

引入变量：12保留展开的第一项相当于费米（玻色）分布近似为玻耳兹曼分布；保留两项相当于弱简并情形。13粒子平均能量：14说明：1、第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能；3、费米气体的附加内能为正，量子统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用；4、玻色气体的附加内能为负，玻色粒子间则出现等效的吸引作用。2、第二项是全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能；15§8.3玻色-爱因斯坦凝聚粒子数N、温度T、体积V的全同近独立的玻色子组成的系统：玻色分布：因此对所有能级：即：取最低能级则要求μ由下式确定：16或者按量子态表示：化学势与温度的关系：态密度:（假定自旋为零）转化为积分：17假设温度下降到某一临界温度积分化为：令并根据可以解得：如果温度继续下降，势必出现这样的矛盾原因：在求和转化为积分时，默认18因此，在时，应该改为：或者19玻色-爱因斯坦凝聚：当温度低于临界温度时，有宏观量级的粒子在能级ε=0凝聚。在ε=0能级的粒子集合体称为玻色凝聚体。凝聚体能量为零、动量为零，压强为零（或者说对压强没有贡献），并产生超流现象。微观状态完全确定，微观状态数为1，熵为零。20内能：只需计及能级大于零的粒子。定容热容量：21定容热容量在临界温度达到极大值，定容热容量对温度的偏导数在该点发生突变——λ相变。22可改写为：出现凝聚体的条件:即：可以通过降低温度，或者粒子数密度来实现玻色凝聚。23§8.4光子气体经典统计的能量均分定理：空腔平衡辐射的能量由空腔内

辐射场的自由度决定。有限温度下平衡辐射的内能和定容热容量是发散的，与实际严重不符。从粒子观点研究平衡辐射问题，把空窖内的辐射场看作光子气体，光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。量子统计理论：24光子遵从德布罗意关系：

（光子能量动量关系）

光子数不守恒，在推导玻色分布时只存在一个限制条件。

平衡状态下光子气体的化学势为零只需引入一个拉氏乘子25光子的自旋量子数为1，在动量方向上的投影有两个可能值：一，量子态数与振动自由度数动量大小体积V光子的量子态数：（或经典理论的振动自由度数）动量大小体积V内自由粒子可能的状态数：26能量均分定理：瑞利－金斯公式光子的量子态数为：在体积为的空窖内

在的圆频率范围内（或经典理论的振动自由度数）瑞利－金斯公式实验曲线维恩公式空腔辐射的高频端的维恩公式：27量子统计：光子遵从玻色分布在体积为的空窖内

在的圆频率范围内平均光子数为量子态数Ｘ量子态平均光子数：该范围内的能量：28辐射场的内能按圆频率的分布则为：普朗克公式不同温度下内能分布图形：二，普朗克公式29的低频范围：瑞利—金斯公式的高频范围：维恩公式三，普朗克公式在高低频的极限结果：30当时，随的增加而迅速地趋近于零。在一定温度

的平衡辐射中，高频光子几乎是不存在的。四，从波动观点解释空腔平衡辐射由无穷多个单色平面波组成，每个平面波具有量子化的能量：当平面波处在量子数为的状态时，相应存在个能量为的光子31玻色分布给出在温度为的平衡状态下的平均值：从粒子观点看，是平均光子数；从波动观点看，是量子数的平均值。对于低频，能级间距远小于，其能量可看作准连续的变量，经典统计的结论成立。满足的高频自由度因为级差太大而被冻结在的基态。32五，空腔辐射的内能平衡辐射的能量密度与绝对温度的四次方成正比。——斯特藩－玻耳兹曼定律辐射通量密度：根据泻流来计算辐射通量密度：（习题8－11）33辐射场的能量密度随的分布有一极大值，用表示六，维恩位移定律由普朗克公式：维恩位移定律由可以求得：34七，光子气体的巨配分函数玻色系统的巨配分函数：运用到光子气体：体积V内，dω内光子的量子态数：巨配分函数的对数转化为积分：35[例]根据光子气体的巨配分函数计算其它热力学量辐射压强（习题7－2）或者按习题8－10：36§8.5金属中的自由电子气体一、自由电子气体模型电子经过1mm，变化

个周期，忽略周期性变化认为原子实形成均匀的正电荷背景。价电子之间的库仑相互作用可以忽略。组成金属的原子全部分解成原子实和价电子，金属中的自由电子构成一个近独立粒子的费米系统。由于金属的密度很高强简并的费米系统。37二、自由电子的量子态数根据费米分布，温度为T时处在能量为的一个量子态上的平均电子数为：考虑到电子自旋在其动量方向的投影有两个可能值，电子的量子态数为在体积内，在的能量范围内38平均电子数为在体积内，在的能量范围内在一定的温度T和体积V下，系统总的电子数如果给定电子数N，可以求出化学势。39当时：三、T=0K时自由电子的分布分布由泡利不相容原理决定当时：40时电子的最大能量（费米能级）:41是0K时电子的最大动量，称为费米动量。动量空间费米球等能面－费米面费米动量－费米半径费米速率42铜的费米能级;铜的费米温度定义费米温度费米温度可以用来衡量费米能级和基态之间的能级级差。结论：电子很难从较低的能级因为热激发而跃迁到比费米能级更高的能级上，只有接近费米能级的电子才有这个可能。43时电子气体的内能时电子的平均能量铜的电子气体简并压时电子气体的压强（简并压）44四、T>0K时自由电子的分布45绝大多数状态的占据情况并不改变。只是在附近的数量级为kT的能量范围内发生变化.由于一般情况下对热容量有贡献的有效电子数：46五、T﹥0时自由电子气体的热容量电子数N满足通过积分可得47电子气体的内能为48电子气体的定容热容量为：和以前的估算值的数量级相符：49低温下金属的热容量可表为：自由电子的热容量离子振动的热容量50所以电子气体的压强为六、电子气体的压强非相对论气体压强与内能之间的关系为:51七、自由电子气体的巨配分函数在的能量范围内电子的量子态数为5253例关于T=0K时电子气体的常见问题一，T=0K时电子速率分布二，T=0K时电子的平均速率电子的量子态数为在体积内，在范围内54电子的量子态数为在体积内，在范围内电子数为在体积内，在范围内