经典控制理论-第二章2

传递函数三要素：线性定常系统零初始条件(输入、输出量及其各阶导数在t=0时均为零）输出与输入的拉氏变换之比（复域模型）

式中：=

有可能相等，在数学上分子分母可直接相消，但工程中涉及到系统的结构，处理时要慎重。

为系统的特征多项式。为系统的特征根从传递函数的这种分解方式可以看出，线性系统的传递函数总可以分解成如下7种环节的组合（乘积）

特点：最高不超过二阶，上面的m1表示系统有m1个零的零点

n1表示系统有n1个零的极点。

m2表示系统有

m2个实数零点。n2表示系统有n2个实数极点。

m3表示系统有m3对复数零点

n3表示系统有n3对复数极点。常用典型元部件的传递函数1电位器电位器是一种把线位移或角位移变换为电压量的装置。在控制系统中，单个电位器用作为信号变换装置，如图(a)所示，一对电位器可组成误差检测器，如图(b)所示。空载时，单个电位器的电刷角位移θ(t)与输出电压u(t)的关系曲线如图(c)所示。图中阶梯形状是由绕线线径产生的误差，理论分析时可用直线近似。由图可得输出电压为

式中K1=E/θmax，是电刷单位角位移对应的输出电压，称电位器传递系数，其中E是电位器电源电压，θmax是电位器最大工作角。对式(2-43)求拉氏变换，并令U(s)=L[u(t)]，Θ(s)=L[θ(t)]，可求得电位器传递函数为式表明，电位器的传递函数是一个常值，它取决于电源电压E和电位器最大工作角度θmax。电位器可用图

(d)的方框图表示。

用一对相同的电位器组成误差检测器时，其输出电压为式中，K1是单个电位器的传递系数；Δθ(t)=θ1(t)-θ2(t)是两个电位器电刷角位移之差，称为误差角。因此，以误差角为输入量时，误差检测器的传递函数与单个电位器传递函数相同，即为

在使用电位器时要注意负载效应。所谓负载效应是指在电位器输出端接有负载时所产生的影响。下图表示电位器输出端接有负载电阻时的电路图，设电位器电阻是Rp，可求得电位器输出电压：

负载效应示意图可见，由于负载电阻Rl的影响，输出电压u(t)与电刷角位移θ(t)不再保持线性关系，因而也求不出电位器的传递函数。但是，如果负载电阻Rl很大，例如Rl≥l0Rp，时，可以近似得到u(t)≈Eθ(t)/θmax=K1θ(t)。因此，当电位器接负载时，只是在负载阻抗足够大时，才能将电位器视为线性元件，其输出电压与电刷角位移之间才有线性关系。

2：齿轮系

一般地在伺服电动机与负载之间，往往通过齿轮系进行运动传递，其目的有二：对负载提供必要地加速力矩，减速和增大力矩；调节精度高。

转速比（>1）

传递函数

3调制解调器

控制系统中交、直流转换

调制器

（直

交）

解调器

（交

直）

包络

G(s)=1

分析或设计控制系统时，数学模型可以不考虑调制、解调器地动态特性。

4机械位移系统（前一节例1）直接由得到的微分方程模型，在零初始条件下，对两端求拉氏变换有：整理得该系统得传递函数：5RLC网络（前一节例2）

由得到得微分方程模型，在零初始条件下，对两端求拉氏变换有：整理得该系统得传递函数：

典型环节及其传递函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节通常分为以下六种：1比例环节

式中K-增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。2惯性环节

式中T-时间常数特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。3微分环节理想微分

一阶微分

二阶微分

特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。4积分环节

特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。5振荡环节

式中ξ－阻尼比

-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）

特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。式中－延迟时间特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。6纯时间延时环节2-3

控制系统结构图与信号流图

一、系统结构图的组成和绘制控制系统的结构图：描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。系统结构图的组成系统结构图一般由四个基本单元组成（1）信号线；（2）引出点（或测量点）；（3）比较点（或信号综合点）表示对信号进行叠加；（4）方框（或环节）表示对信号进行变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。系统动态结构图的绘制步骤：

1）首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节并写出它的传递函数。

2）绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它的传递函数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量，按照信号的传递方向把各方框图依次联接起来，就构成了系统结构图。

例1如图无源网络试绘制无源网络的结构图。RC无源网络解

可将无源网络视为一个系统，组成网络的元件就对应于系统的元部件。设电路中各变量如图中所示，应用复阻抗概念，根据基尔霍夫定律写出以下方程：

按照上述方程可分别绘制相应元件的方框图如下图

(a)～(d)所示。然后，用信号线按信号流向依次将各方框连接起来，便得到无源网络的结构图(e)。

RC无源网络结构图

特点：

清晰的表现了系统中的结构；与具体器件本身的物理属性无关，纯数学关系；可进行各物理量之间数学关系的计算；结构图中信号只能沿箭头方向流动。（结构图的单向性）

二、系统传递函数和结构图的变换和简化

任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。等效变换的原则：变换前后的变量之间关系保持不变1、典型连接的等效传递函数（1）串联等效（2）并联（3）反馈2、相加点及分支点的换位运算

原则：移动前后保持信号的等效性（1）相加点从单元的输入端移到输出端，如图2-5

图2-5相加点后移变位运算（2）相加点从单元的输出端移到输入端

图2-6相加点前移变位运算（3）分支点从单元的输入端移到输出端图2-7分支点后移的变位运算（4）分支点从单元的输出端移到输入端

图2-8分支点前移的变位运算

结构图三种基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串联并联反馈结构图等效变换方法1三种典型结构可直接用公式2相邻综合点可互换位置3相邻引出点可互换位置注意事项：1不是典型结构不可直接用公式2引出点综合点相邻，不可互换位置引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H1G2H1G1G3综合点移动向同类移动G1G2G3H1G1G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1

信号流图

信号流图是一种（Mason)用图示法描述线性代数方程组的方法。由节点和支路组成的信号传递网络。节点代表方程中的变量，以小圆圈表示，支路是定向线段，表示增益和因果关系，相当于乘法器。一、信号流图中的术语1.源节点。只有输出支路的节点为源点或称为输入节点。2.阱节点。只有输入支路的节点称为汇点或称为输出节点。3.混合节点。既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点4.前向通路。信号从输入节点到输出节点传递时，与任一节点相交不多于一次的通路称为前向通路。

（6）回路。如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何节点相交不多于一次的称为闭通路或称为回路。（7）回路增益。回路中各支路传输的乘积称为回路增益（或传输）（8）前向通路总增益。是指该通路的各传输乘积。（9）不接触回路。如果一信号流图有多个回路，各回路之间没有任何公共节点，就称为不接触回路，反之称为接触回路。

二、信号流图的绘制

例说明绘制信号流图的过程。一系统的方程组为：

首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图，如图2-12（a）。该系统相应的结构图如图2-12（b）所示图2-12系统信号流图和结构图典型信号流图

g

UiaX1bX2cX3dX4UO

fheX1=aUi+fX2X2=bX1+gX3X3=cX2+hX4X4=dX3+eUiU0=X4经整理：

X1-fX2=aUibX1-X2+gX3=0cX2–X3+hX4=0-dX3+X4

=eUi

1-f00△=b-1g00c-1h00-d1

=1-dh-gc-fb+fbdh

1-f0aUi△4=b-1g00c-1000-d

eUi

=abcdUi+eUi(1-gc-bf)X4=U0=△4/△

abcd+e(1-gc-bf)U0/Ui=X4/Ui=1-dh-gc-fb+fbdhPk—从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数梅逊公式介绍C(s)R(s)=∑Pk△k△:△称为系统特征式△=1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…其中:—所有单独回路增益之和∑La∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和△k称为第k条前向通路的余子式求法:去掉第k条前向通路后所求的△梅逊公式例R-CR(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2R(s)[]梅逊公式求C(s)(1-G1H1)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2P1=1△1=1+G2H2(1+G2H2)P1△1=?+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅逊公式求E(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)P2=-G3G2H3△2=1P2△2=?(-G3G2H3)R(s)[]E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)△2=1P2△2=?(-G3G2H3)R(s)[]N(s)P1=–G2H3△1=1(–G2H3)+N(s)P2=-G3G2H3+四个单独回路，一组两个回路互不接触e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1––––afbgchehgf++afchabcded(1–bg)前向通路两条信号流图三、系统开环传递函数

开环传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出E(s)到输入端对应的比较器的反馈信号B(s)之间所有传递函数的乘积，记为GK(s),GK(s)=G(s)H(s)前向通道传递函数：输入端对应比较器输出E(s)到输出端输出C(s)所有传递函数的乘积，记为G(s)

反馈通道传递函数：输出C(s)到输入端比较器的反馈信号B(s)之间的所有传递函数之乘积，记为H(s)

四、系统闭环传递函数

在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数。闭环传递函数是分析系统动态性