【第一方案】高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式

第一节不等关系与不等式

点击考纲1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景.

关注热点1.以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题．2.常以选择题的形式考查不等式的性质，主要在其他知识交汇点处命题.

1．实数的运算性质与大小顺序之间的关系设a，b∈R，则(1)a>b⇔

；(2)a＝b⇔

；(3)a<b⇔

.a－b>0a－b＝0a－b<02．不等式的基本性质(1)a>b⇔

；(2)a>b，b>c⇒

；(3)a>b⇔

；(4)a>b，c>0⇒

；a>b，c<0⇒

；(5)a>b，c>d⇒

；(6)a>b>0，c>d>0⇒

；(7)a>b>0⇒

(n∈N且n>1)；(8)a>b>0⇒

(n∈N且n>1)．b<aa>ca＋c>b＋cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bdan>bn1．不等式组a≤x≤b且c≤y≤d与a＋c≤x＋y≤b＋d等价吗？提示：不等价．“a≤x≤b且c≤y≤d”是“a＋c≤x＋y≤b＋d”的充分不必要条件．1．下列不等式：①m－3>m－5；②5－m>3－m；③5m>3m；④5＋m>5－m.其中正确的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：显然①②正确，对③，m≤0时不成立，对④，m≤0时不成立．答案：B答案：D3．“a＋b>2c”的一个充分非必要条件是()A．a>c或b>c B．a>c或b<cC．a>c且b>c D．a>c且b<c解析：由不等式的基本性质知，a>c且b>c⇒a＋b>2c，所以C是a＋b>2c的充分非必要条件．答案：C4．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，上述不等关系写成不等式为________．解析：设最低生活保障金为x元，则x≥300.答案：x≥3005．设f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是________．解析：∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x) 某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．该车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【方法探究】

(1)用不等式(组)表示实际问题时，应注意实际问题中的关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换．(2)注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关系强调的是关系，可用“>”，“<”，“≥”，“≤”，“≠”表示，不等式则是表现不等关系的式子．(3)对于实际问题中的不等关系，可以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握，并考虑实际意义。提醒：在实际问题中要注意变量x、y应满足的条件．【思路导引】

用特殊值法或直接利用不等式的性质求解．【答案】

D【方法探究】

要熟练掌握不等式的性质，特别是它的可乘性，在应用时很容易出错，要引起重视．另外，要注意不等式的性质与函数单调性的综合应用．答案：B

(1)已知m∈R，x∈R，试比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．(2)已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，比较cn与an＋bn的大小．【思路导引】

(1)作差法，通过因式分解或配方法判断差的符号；(2)本题需比较的式子是幂的形式，因此考虑作商法．【方法探究】

(1)“作差法”比较大小的关键是判断差的正负，常利用配方、因式分解、函数的单调性等方法，当两个式子都为正时，有时也可先平方再作差．(2)“作商法”的关键是判断商与1的大小，但注意商式分母的正负．解析：法一：∵y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.同理，z>y，∴z>y>x.法二：令a＝3，b＝2，c＝1得z>y>x.答案：z>y>x1．(2009·四川高考)已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】

∵c>d，∴－c<－d，a>b，∴a－c与b－d的大小无法比较；当a－c>b－d成立时，假设a≤b，－c<－d，∴a－c<b－d，与题设矛盾，∴a>b.综上可知，“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分条件．【答案】

B【答案】

A【评价探究】

两题主要考查不等式的性质和大小比较，以及推理判断能力．单纯考查性质的题目不多，常与函数、导数、数列等结合起来，有时与充要条件结合起来，以选择题和填空为主．【考向分析】

从近两年的高考试题来看，不等关系、不等式的性质及应用等是高考的热点，题型既有选择题，又有填空题，难度为中低档；客观题突出对不等式性质的灵活运用，与不等式有关的集合的运算，也是常考题型；主观题考查绝对值不等式、不等式性质的应用，有时考查转化思想、数形结合思想．预测2012年高考仍将以不等关系、不等式性质及应用为主要考查点，重点考查逻辑推理能力．答案：D2．如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0答案：C3．若x＋y>0，a<0，ay>0，则x－y的值为()A．大于0 B．小于0C．等于0 D．符号不确定解析：∵a<0，ay>0⇒y<0，又∵x＋y>0⇒x>0，又－y>0，∴x－y>0.故本题应选A.答案：A4．已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a答案：D5．(2011·东北四市联考)已知0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2，a1≠b1，则关于三个数：a1b1＋a2b2；a1b2＋a2b1；a1a2＋b1b2的大小关系说法：①a1b1＋a2b2最大；②a1b2＋a2b1最小；③a1a2＋b1b2最小；④a1b2＋a2b1与a1a2＋b1b2的大小不能确定，其中正确的是________．解析：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)>0