自动控制原理 第六章 控制系统分析校正

第六章控制系统的综合与校正校正：第一节系统校正的一般方法第二节控制系统的工程设计方法

在系统中附加一些装置改变系统的结构，从而改变系统的性能。第六章控制系统的综合与校正第一节系统校正的一般方法

系统校正的方法主要包括串联校正和反馈校正。一般说来，串联校正比较简单。反馈校正能改变系统中某环节的结构，还能减小某些参数对系统性能的影响，但反馈校正的设计往往需要一定的实践经验。本章仅讨论串联校正。第六章控制系统的校正与设计G0(s)Gc(s)串联校正结构图：R(s)C(s)Gc(s)Go(s)_—串联校正装置的传递函数—系统固有部分的传递函数第一节系统校正的一般方法一、串联超前校正二、串联滞后校正

串联校正装置的设计是根据系统固有部分的传递函数和对系统的性能指标要求来确定的。三、串联滞后—超前校正四、PID控制器一、串联超前校正(1)无源超前校正装置1．超前校正装置ucR1urc+--+R2第一节系统校正的一般方法传递函数为:Gc(s)=1+aTSa(1+TS)T=R1R2R1+R2Ca=R1+R2R2>1

为了补偿开环放大倍数1/α<1对稳态精度的影响，再增加一放大倍数为α的放大环节，这样校正装置的传递函数为：Gc(s)=1+aTSa(1+TS)×

a1+aTS1+TS=对数频率特性曲线：aT1ω1=T1ω2=φ(ω)=tg-1aωT–tg–1ωT因为α>1φ(ω)>0ω

>ω2时L(ω)=20lgωaT–20lgωT=20lga0L(ω)ω20lgαωφ(ω)10lgα0ω2=T1ω1=aT1φmωm超前校正装置：

具有超前的相频特性在ω=ωm处出现了最大超前相角第一节系统校正的一般方法幅相频率特性曲线：0ImReω=∞1αα+12φmω=01+aTS1+TS=G(s)令dφ(ω)dω=0得=T1·αT1ωm=T1a

最大超前相角出现在两个转折频率的几何中点。

从奈氏图可得最大超前相角：

=a–1a+1φm=sin-1α

–1α

+11+sinφm

1–sinφm

a=则：(a–1)/21+(a–1)/2sinφm=第一节系统校正的一般方法(2)有源超前校正装置第一节系统校正的一般方法R1ucCR3ur-Δ∞++R2Gc(s)=R3[1+(R1+R2)CS]R1(1+R2CS)1+τS1+TS=Kc传递函数为:式中:T=R2CKc=R3R1τ=(R1+R2)C令:aT=τ则:a=aTT=R2R1+R2Kc=1>1Gc(s)=1+aTS1+TS2．超前校正装置的设计

超前校正是利用相位超前特性来增加系统的相角稳定裕量，利用幅频特性曲线的正斜率段增加系统的穿越频率。从而改善系统的平稳性和快速性。为此，要求校正装置的最大超前角出现在系统校正后的穿越频率处。第一节系统校正的一般方法超前校正装置设计的一般步骤：1）根据系统稳态指标要求确定开环增益K。

2）绘制原系统的伯德图Lo(ω)和φ(ω)

，并确定相位裕量γ。3）根据性能指标要求的相位裕量γ’和实际系统的相位裕量γ，确定最大超前相角：φm=γ'–γ+Δ补偿角：Δ=15°~20°4）根据所确定的φ

m,计算出α值。1+sinφm

1–sinφm

a=5）找到点Lo(ω)=-10lgα，该点对应的频率为：ωm=

ωc'6）根据ωm确定校正装置的转折频率，并画出校正装置的伯德图。T1ω2==ωmαωmαT1ω1==α

7）画出校正后系统的伯德图，并校验系统的相位裕量是否满足要求。如果不满足要求，则重新选择△值。第一节系统校正的一般方法

例系统结构如图所示.试设计超前校正装置的参数。R(s)C(s)KS(0.5S+1)–要求：γ'≥50°Kv

≥20解：1）根据稳态指标的要求确定开环增益KK

=Kv=20G0(s)=S(0.5S+1)20未校正系统的传递函数第一节系统校正的一般方法2）画出未校正系统的伯德图根据近似公式：计算出稳定裕度：性能不满足要求20lgK=20lg20

γ=17.6°=26dBωc≈6.3≈10.5ωc2203）根据性能指标要求确定φm

φm=γ'–γ+Δ

=50o–17.6o+5.6o取Δ=5.6°4）求α

1+sinφm

1–sinφm

a==4.2=38°5）确定ω’c、ωmLc(ωm)=10lgα=6.2dBωm=ωc'=96）计算转折频率ω2

=ωmα=18.418.41T==0.054αT1ω1==4.41Gc

(s)=1+0.227S1+0.054S7）校正后系统的开环传递函数G(s)=G0(s)Gc(s)=20(0.227S+1)S(0.5S+1)(0.054S+1)18.4ωcω’cLcL0L

φcφ

γ'γφ0L(ω)/dB9ω2624.4-20dB/dec-40dB/decΦ(ω)ω-20020+20dB/dec90-900-180计算出校正后相角稳定裕度：γ'=50°第一节系统校正的一般方法超前校正的特点：1）校正后幅频特性曲线的中频段斜率为

-20dB/dec，并有足够的相位裕量。2）超前校正使系统的穿越频率增加，系统的频带变宽，瞬态响应速度变快。3）超前校正难使原系统的低频特性得到改善。系统抗高频干扰的能力也变差。4）当未校正系统的相频特性曲线在穿越频率附近急剧下降时，若用单级的超前校正网络来校正，将收效不大。5）超前校正主要用于系统稳态性能满意，而动态性能有待改善的场合。第一节系统校正的一般方法(1)无源超前校正装置二、串联滞后校正1．滞后校正装置传递函数为:ucR1urc+--+R2Gc

(s)=1+Ts1+βTsR2R1+R2<1T=(R1+R2)C其中：滞后校正装置的伯德图0L(ω)ω20lgβωφ(ω)0ω1=T1ω2=βT1φmωm同理：φm=sin-1β

–1β

+1ωm=T1β=T1·βT1第一节系统校正的一般方法(2)有源滞后校正装置第一节系统校正的一般方法-∞++R2R1urucCR3Gc(s)=R1[1+(R2+R3)CS]R3(1+R2CS)1+τS1+TS=Kc传递函数为:式中:Kc=R3R1τ=R2CT=(R2+R3)C令:βT=τ则:β=βTT=R2R2+R3Kc=1<1Gc(s)=1+βTS1+TS2．滞后校正装置的设计

滞后校正不是利用校正装置的相位滞后特性，而是利用其幅频特性曲线的负斜率段，对系统进行校正。它使系统幅频特性曲线的中频段和高频段降低，穿越频率减小，从而使系统获得足够大的相位裕量，但快速性变差。第一节系统校正的一般方法

滞后校正装置设计的一般步骤：

1)

根据稳态指标要求确定开环增益K。

2)

绘制未校正系统的伯德图，并确定原系统的相位裕量γ。3)

从相频特性上找到一点,该点相角由的下式确定.该点的频率即为校正后系统的穿越频率ω’c。φ

=–180o+γ'+ΔΔ=5o~15o4）从图上确定Lo(ω’c)，并求β

L0(ωc')=–20lgβ5）计算滞后校正装置的转折频率，并作出其伯德图。一般取转折频率：

T1ω1=βT1=β•βT1ω2==(15110~)ωc'6)

画出校正后系统的伯德图，并校核相位裕量。第一节系统校正的一般方法R(s)C(s)–S(S+1)(0.5S+1)K

例设一系统结构如图所示。试设计滞后校正装置。要求：Kv

≥5解：1）根据稳态指标的要求确定开环增益KK=Kv

=5γ'≥40°第一节系统校正的一般方法2)系统的伯德图系统的传递函数G0(s)=S(S+1)(0.5S+1)5ωc≈2.15≈10.5ωc35γ

=-22°3）确定ω’c

φ

=–180o+γ'+Δ=–180o+40o+12o

=–128o

对应于这个相角的频率：ω=0.5=ωc'4）由图可知：L0(ωc')=20dB

=–20lgβ

β=0.15）取ωc'=0.115ω2

=ω1

=β·ω2

=0.01校正装置：Gc

(s)=100s+110s+16）校正后系统的开环传递函数G(s)=5(10S+1)S(S+1)(0.5S+1)(100S+1)ωcω’cLcL0L

(ω)φcΦ(ω)

φ0L(ω)/dB1ω2-2002040γ'γΦ(ω)ω0.010.10.5-270-180-900满足设计要求γ'=40°第一节系统校正的一般方法滞后校正有如下的特点：1）滞后校正是利用其在中、高频段造成的幅值衰减使系统的相位裕量增加，但同时也会使系统的穿越频率减小。

2）一般的滞后校正不改变原系统最低频段的特性，可用来改善系统的稳态精度。3）由于滞后校正使系统的高频幅值降低，其抗高频干扰的能力得到加强。第一节系统校正的一般方法

三、串联滞后-超前校正1．滞后-超前校正装置(1)无源滞后-超前校正装置c1

ucR1ur+--+R2c2

传递函数为：

Gc(s)=(1+

T1S)(1+T2S)(1+αT1S)(1+

T2αS)αT1>

T1>

T2>

T2/α

其中：

第一节系统校正的一般方法滞后-超前校正装置的伯德图滞后校正部分：超前校正部分：(1+

T1S)(1+αT1S)(1+

T2S)(1+T2αS)0-20dB/dec+20dB/decT2α0ωφ(ω)L(ω)/dBω1T11T2α1T1第一节系统校正的一般方法(2)有源滞后—超前校正装置第一节系统校正的一般方法-∞++R2R1urucR3c1R4c2传递函数为:Gc(s)=(1+T0S)(1+T3S)Kc(1+T1S)(1+T2S)式中:R2+R3Kc=R1T0=R2C1T2=(R2+R3)C2C1R2+R3T1=R2R3T3=R4C2令:T0>T1>T2>T3=R3R2+R3Kc=1=a>1=T0T1T2T3T2S)aGc(s)=(1+aT1S)(1+Kc(1+T1S)(1+T2S)2．滞后-超前校正装置的设计

如果对校正后系统的动态和稳态性能均有较高的要求，则采用滞后—

超前校正。利用校正装置的超前部分来增大系统的相位裕量改善动态性能；又利用校正装置的滞后部分来改善系统的稳态性能。第一节系统校正的一般方法例设单位反馈系统的开环传递函数试设计一滞后-超前校正装置。G0(s)=S(0.5S+1)(S+1)K要求：Kv

≥10解：γ'≥50°1）确定开环增益KK=Kv=102)画出未校正系统的伯德图第一节系统校正的一般方法系统的传递函数G0(s)=S(0.5S+1)(S+1)10ωc≈2.7≈10.5ωc310γ=-33o3)确定ω’c

ω

=1.5φ

(ω)=–180°选择ωc'=1.54)确定滞后部分传递函数T1=0.151=6.67=1T1

=0.1510ωc'取则选择α=10αT1=66.7αT11=0.015则Gcl

(ω)=1+66.7S

1+6.67S

确定超前部分传递函数ω=1.5L(ω)=13dB1/T2=0.7a/T2=7Gc2(ω)=1+0.143S

1+1.43S

6)校正后系统的开环传递函数G(s)=10(6.67

S+1)(1.43

S+1)S(6.67

S+1)(0.143

S+1)(S+1)(0.5S+1)L(ω)/dBω12-2002040ωΦ(ω)0.150.01570.7φc(ω)φ0(ω)φ

(ω)Lc(ω)L

(ω)L0(ω)-20dB/dec-60dB/dec-270-900-18090-40dB/decω’cωcγγ’1.5第一节系统校正的一般方法PID控制是指对系统的偏差信号e(t)进行比例、积分、微分运算后，通过线性组合形成控制量u(t)的一种控制规律。PID控制律的数学表达式为四、PID控制器]u(t)=Kp[e(t)+e(τ)dτ+TDTI1∫0tdt

de(t)Kpe(t)式中—比例控制项—比例系数Kp—积分控制项—积分时间常数TIe(τ)dτ1∫0tTITDTDdt

de(t)—微分控制项—微分时间常数上式也可写成：u(t)=Kpe(t)+e(τ)dτ+KDKI∫0tdt

de(t)其中Kp—比例系数TI—积分时间常数TD—微分时间常数具有PID控制系统结构r(t)c(t)Gc(s)Go(s)_e(t)u(t)PID控制器对象第一节系统校正的一般方法P控制器传递函数为:

KP<1:对系统性能有着相反的影响。

实施P控制律。相应的控制器称作P控制器，又叫比例控制器.KI=KD=0Gc(s)=KpG0(s)曲线如图

KP>1:G0(s)幅频特性曲线上移相频特性曲线不变γ'γφ0(ω)Φ(ω)ω-900-180ωcω’cL0(ω)L(ω)/dBω3-20020401L(ω)Lc(ω)φc(ω)φ

(ω)穿越频率↑，相位裕量↓，稳态误差↓。第一节系统校正的一般方法2.PD控制器传递函数为：

运算放大器构成的PD控制器R2ucR1ur+-+∞cR0▽KI=0

实施PD控制律。相应的控制器称作PD控制器，又叫比例-微分控制器.Gc(s)=Uc(s)Ur(s)=Kp(1+

τ

S)τ=

R1CKp=R2R10L(ω)/dBω+20dB/dec20lgKPΦ(ω)ω0+901τPD控制器伯德图PD控制器是一种超前校正装置。它具有前述超前校正装置的特点：使系统的稳定性得到改善。第一节系统校正的一般方法3.PI控制器R2ucR1ur▽+-+∞cR0传递函数为：

运算放大器构成的PI控制器KD=0

实施PI控制律。相应的控制器称作PD控制器，又叫比例-积分控制器.Kp=R2R1τ1

=

R2CGc(s)=Kpτ1s+

1τ1sPI控制器伯德图20lgK-20dB/decL(ω)/dB0ωωΦ(ω)-9001τ1PI控制器具有相位滞后特性，积分控制的主要作用就是消除静差，积分作用的强弱取决于积分时间常数。第一节系统校正的一般方法

例系统动态结构图如图所示。要求阶跃信号输入之下无静差，满足性能指标：R(s)C(s)–(T1S+1)(T2S+1)K0τ1S+1τ1SKPγ'≥60°ωc'≥10T1=0.33T2=0.036K0=3.2解：系统为0型系统，性能不满足要求，引入PI校正。第一节系统校正的一般方法取PI控制器参数：系统固有部分：(0.33S+1)(0.036S+1)3.2G0(s)=ωc=9.5γ=180o–

tg

-1ωcT1

–

tg

-1ωcT2=88oτ1=T1=0.33Kp

=1.320lgKp=2.3dB31τ1~~系统伯德图校正后系统的传递函数:-900-180ωcω’cLc(ω)L0(ω)L

(ω)-20dB/dec-40dB/dec27.8ω3L(ω)/dBφc(ω)φ

(ω)φ0(ω)γ=88ωΦ(ω)10020γ'=65ωc'=13S(0.036S+1)12.6G(s)=–

tg-1ωc'T2=65oγ'=180o–

90o

第一节系统校正的一般方法例调速系统动态结构图如图，要求采用

PI校正，使系统阶跃信号输入下无静差，并有足够的稳态裕量。

R(s)C(s)–Gc(s)(T1S+1)(T2s+1)(T3S+1)K0T1=0.049T2=0.026Ts=0.00167K0=55.58解:系统固有部分为：第一节系统校正的一般方法(0.049S+1)(0.026S+1)(0.00167S+1)55.58G0(s)=系统伯德图Ts10.001671==598.8T210.0261==38.46T110.0491==20.420lg55.58=34.9由图可算出：ωc=208.9γ=–

3.2°令：τ1

=

T1ωc'=30选择从图上可知L0(ωc')=31.5dB20lgKp=-31.5dBKp=0.00266Gc(s)=Kp(τ1s+1)τs=0.0266(0.049S+1)0.049SG(s)=Gc(s)G0(s)=29.5S(0.026S+1)(0.00167S+1)ωφc(ω)φ0(ω)φ

(ω)γ=-3.2L(ω)/dBω-2002040Φ(ω)20.459838.5Lc(ω)L

(ω)L0(ω)-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec-270-900-180ωcω’cγ`=49.2γ'=180o–90o=49.2o–tg-1ωc'T2–tg-1ωc'Ts满足设计要求第一节系统校正的一般方法

由以上两个例子可见，PI控制器可改善系统的稳态精度，而对动态性能的影响却与其参数的选择有关。当不仅需要改善系统的稳态精度，同时希望系统的动特性也有较大的提高时，就可考虑同时具有PI和PD作用的PID控制器.第一节系统校正的一般方法4.PID控制器ucR1urR2+-+∞c2R0c1▽传递函数为：

运算放大器构成的PID控制器

实施PID控制律。相应的控制器称作PID控制器，又叫比例-积分-微分控制器.Gc(s)=(τ1s+1)(τ2s+1)τs=Kp(1+TIS1+TDS)其中：τ1=

R1C1τ2=

R2C2τ=

R1C2R1C2R1C1+R2C2Kp=ττ1+τ2=TI=τ1+τ2=R1C1+R2C2R1C1R2C2R1C1+R2C2TD=τ1τ2τ1+τ2=第一节系统校正的一般方法PID控制器的伯德图-90090L(ω)/dBΦ(ω)ωω1τ101τ2返回第一节系统校正的一般方法第二节控制系统的工程设计方法一、系统固有部分的简化处理二、系统预期频率特性的确定三、校正装置的设计第六章控制系统的校正与设计

设计实际系统时，可先对系统固有部分作必要的简化，再将其校正成典型系统的形式。这样可以使设计过程大大简化。第二节控制系统的工程设计方法一、系统固有部分的简化处理

在分析和设计系统之前，首先必需建立固有系统的数学模型，求出系统的传递函数。但实际系统的数学模型往往比较复杂，给分析和设计带来不便。因此需要对固有部分的数学模型进行适当的简化处理。常用的近似处理方法有以下几种：1．线性化处理

实际上，所有的元件和系统都不同程度存在非线性性质。在满足一定条件的前提下，常将非线性元件或系统近似看作线性元件或系统。设一非线性元件的非线性方程为xy=f(x)—输入y—输出非线性特性曲线xyy00x0ΔxA

当工作在给定工作点（x0,y0)附近时可近似成:dfdxx=x0Δxy=f(x)=f(x0)+(Δx)2+···d2fdx2x=x0+略去高阶项得：Δy=y–f(x0)dfdxx=x0K=Δy=KΔx其中

晶闸管整流装置、含有死区的二极管、具有饱和特性的放大器等,都可以近似处理成线性环节。Δy第二节控制系统的工程设计方法2．大惯性环节的近似处理

设系统的传递函数为：

T1>>T2T1>>T3

可将大惯性环节近似处理成积分环节:

G(s)=(T1S+1)(T2S+1)(T3S+1)K其中G(s)T1S(T2S+1)(T3S+1)K~~

从稳态性能看，这样的处理相当于人为地把系统的型别提高了一级，不能真实反应系统的稳态精度。故这样的近似只适合于动态性能的分析与设计，考虑稳态精度时，仍应采用原来的传递函数。第二节控制系统的工程设计方法3．小惯性环节的近似处理(T1<<T2)

当小惯性环节比大惯性环节的时间常数小很多时，在一定条件下，可将小惯性环节忽略不计:G(s)=(T1S+1)(T2S+1)KT2S+1K~~第二节控制系统的工程设计方法

4．小惯性群的近似处理

自动控制系统中有多个小时间常数的惯性环节相串联的情况，在一定条件下可将这些小惯性环节合并为一个惯性环节:G(s)=(T1S+1)(T2S+1)···(TnS+1)

1~~(T1+T2+···+Tn)S+11T1`T2`…Tn—小时间常数第二节控制系统的工程设计方法5．高阶系统的降阶处理式中:

在高阶系统中，若S高次项的系数比其它项的系数小得多，则可略去高次项:G(s)=a1S3+a2S2+a3S+a4K~~a2S2+a3S+a4

Ka1<<a2

a1<<a3a1<<a4

第二节控制系统的工程设计方法

二、系统预期频率特性的确定1．建立预期特性的一般原则

预期频率特性可分为低、中、高三个频段0L(ω)/dBωω2-40dB/decωc-20dB/decω1-40dB/decK

低频段

由系统的型别和开环增益所确定，表明了系统的稳态性能。一般取斜率20dB/dec或-40dB/dec。(2)中频段穿越频率附近的区域

穿越频率ωc对应系统的响应速度。

中频段斜率以-20dB/dec为宜，并有一定的宽度以保证足够的相位稳定裕度。(3)高频段

高频段的斜率一般取-60dB/dec或-40dB/dec

高频干扰信号受到有效的抑制，提高系统抗高频干扰的能力。第二节控制系统的工程设计方法

2．工程中确定预期频率特性的方法

通过前面时域法的分析可知:0型系统的稳态精度较差，而Ⅲ型以上的系统又很难稳定，为了兼顾系统的稳定性和稳态精度的要求，一般，可根据对系统性能的要求,将系统设计成典型Ⅰ型或典型Ⅱ型系统。第二节控制系统的工程设计方法开环传递函数：

（1）预期特性为典型Ⅰ型系统G(s)=S(TS+1)Kωn2S(S+2ζωn)=ωn=KT12Tζωn=12ζ=KTωc=K=ωn2ζL(ω)/dB0ω-20dB/dec-40dB/decωcT1ω1=φ(ω)ωγ0-180-90

系统的伯德图

为了保证穿越频率附近为-20dB/dec，必须：ωc<1/T取“二阶最佳”值：ζ=0.707K=1/2Tσ%=4.3%第二节控制系统的工程设计方法参数关系KT0.250.390.50.691.0阻尼比ζ1.00.80.7070.60.5超调量σ%01.5%4.3%9.5%16.3%上升时间tr∞6.67T4.42T3.34T2.41T相位裕量γ76.3069.9065.5059.2051.80穿越频率ωc0.243/T0.367/T0.455/T0.596/T0.786/T表6-1典型Ⅰ型系统的跟随性能指标第二节控制系统的工程设计方法

T为固有参数；K和τ为要确定的参数。开环传递函数：

要使中频段斜率为-20dB/dec，则系统的伯德图（2）预期特性为典型II型系统G(s)=K(τS+1)S2(TS+1)1τ<ωc<1Tφ(ω)ωL(ω)/dBω-40dB/dec-20dB/decωchγ00-180T1ω2=1ω1=τ工程中设计系统参数的准则有：1)Mr=Mmax准则:系统闭环幅频特性谐振峰值Mr为最小2)γ=γmax准则:系统开环频率特性相位裕量为最大以γ=γmax准则为例说明选取参数的方法系统相角裕量为γ=180o–

180o+tg-1ωcτ

–tg-1ωcT要使γ=γmax令dγ

dωc=0

由此得

τTωc=1ω1ω2

=定义中频宽τT=ω1h=ω2由图可得：20lgK–20lgω12=20lgωc-20lgω1即有K=ω1ωc=ω1ω1ω2

=1hhT2

由γ=γmax准则出发，可将K和τ参数的确定转化成h的选择。第二节控制系统的工程设计方法55°50°42°37°30°25°

相位裕量γ26T19T17.5T16.6t19T21T

调整时间表ts5.2T4.4T3.5T3.1T2.7T2.5T

上升时间tr23%28%37%43%53%58%最大超调量σ%107.55432.5

中频宽h表6-2典型Ⅱ型系统的跟随性能指标第二节控制系统的工程设计方法

典型Ⅰ型系统和典型II型系统分别适合于不同的稳态精度要求.典型Ⅰ型系统的超调量较小，但抗扰性能较差；典型II型系统的超调量相对大一些，而抗扰性能较好。可根据对性能的不同要求来选择典型系统。

第二节控制系统的工程设计方法三、校正装置的设计

根据系统性能指标的要求，选择