脉冲编码调制 2-2

脉冲编码调制25.5 最佳量化器即：最佳量化器就是使量化噪声最小的量化器，满足使最小的分层电平与量化电平二组集合的求解过程如下:最佳量化器就是在给定输入信号概率密度与量化电平数L的条件下，求出一组分层电平值与量化电平值使均方误差为最小值。求最小值，由其必要条件是:x8x7x6x5x4x3x2x1y7y6y5y4y3y2y1等间隔x8x7x6x5x4x3x2x1y7y6y5y4y3y2y1非等间隔xk+1ykxkΔ量化间隔Δ把代入上式得物理意义：分层电平在相邻重建电平的中点。15－a5.5 最佳量化器同理由得物理意义：重建电平应该取在量化间隔的质心上15－b5.5 最佳量化器5.5 最佳量化器利用15－a，15－b求解和两组集合，只能通过迭代法求解，步骤如下：假定信号概率密度对称分布，故只需计算x>0部分1)选定初始值y1，由式5－15b，在给定x1=0时求出x22)由式5－15a，根据x2求出y23)由式5－15b，根据y2求出x3重复2），3）可求出两组集合然后将代入5－15b，验证是否等于若不等则改变y1初值，重复计算，直到5－15b两端相差满足给定容差为止。表5－1对应概率为的G(高斯分布)、U(均匀分布)、L(拉斯分布）和Г（伽马分布）的不同输入信号，在量化电平分别为L=2,4,8,16时的分层电平和量化电平的迭代结果，只给出大于0的部分，由于的对称性，小于0时，只需取负即可5.5 最佳量化器L＝2时，由5－15a，5－15b令则考虑的对称分布，所以则由5－15b可将重建电平写成代入5－115.5 最佳量化器得5.5 最佳量化器px(x)对称分布,讨论：L>>1时，在之间，近似于常数5－15b可简化成即最佳量化电平正好在分层电平的中点。此时，输入电平落在第k层量化间隔的概率5.5 最佳量化器即量化噪声的功率5－11式可简化为5.5 最佳量化器5-20当很小时，可写成积分形式

V—表示量化器的最大量化电平注：输入电平超过（－V，V）时，称为量化器过载，其量化噪声称为过载噪声。量化过载噪声定义为：

——考虑的对称分布总量化噪声以上是计算量化噪声的一般公式5.5 最佳量化器这是一种特殊情况，此时各分层间隔，L为分层数，5.6均匀量化把输入信号的取值域按等距离分割的量化称为均匀量化，均匀量化器是指在整个量化范围（-V,V)内,量化间隔都相等的量化器。由5-20得不过载噪声：

即均匀量化的量化噪声：与信号统计特性无关，只与量化间隔有关。注意：上式只是在分层很密，且各层之间量化噪声互相独立的情况下才成立通常：在数字通信系统中，信噪比（即信号功率与噪声功率之比，用SNR表示）是衡量量化器性能的主要技术指标。例1.若量化器输入为正弦信号，Am为幅度，设信号不过载，则正弦波信号功率为，于是，均匀量化信噪比若分层电平数为L+1,用n位二进制数编码，则重建电平数

令归一化有效值

则，用dB表示有5.6均匀量化当，Am=V，时，刚发生过载(临界)，

可见：每增加1位编码n，增大6dB图5-15均匀量化时的SNR特性5.6均匀量化此时约6dB这里，是信号的均方根值。例2. 实际语音信号语音信号幅度的概率密度可近似地用拉普拉斯分布来表示，即为对称分布语音信号的功率：（均方值）量化过载噪声：不过载噪声：通常认为过载幅度所占概率很小，在不过载范围（－V，V）内仍有所以不过载部分量化噪声。（均匀量化）总量化噪声：分析：1）当D＜0.2时，过载噪声很小（略），有

2）当信号有效值很大时，过载噪声将起主要作用，于是

信噪比：（，）5.6均匀量化语音输入时的SNR特性以20lgDdB为变量本节所述均匀量化技术广泛应用于计算机的A/D变换，以及图像信号的A/D变换，n表示变换器的位数，常有8、12、16位等不同精度.电话语音信号的均方值变动范围即语音动态范围可达（40－50）dB，高质量电话（长途电话）的至少应大于25dB以上。根据例1分析结果有：5.6均匀量化如果采用均匀量化，为了满足在40－50dB的范围内的信噪比大于25dB的要求，必须采用n=12位的均匀量化器。

编码位数多不仅导致设备复杂化，也使传输带宽增加了，这种情况的补救办法是采用非均匀量化方法。在均匀量化中，量化噪声与信号电平大小无关（注意信号电平Am，不是量化范围V）。量化误差的最大瞬时值5.6均匀量化5.7最佳非均匀量化所以，信号电平越低，信噪比越小，(例：Δk=0.1V时，，信号幅度Am=5V时，相对误差为1％。信号幅度为0.5V时，相对误差为10％)。对于小幅度概率密度大的语音信号，可以通过增加分层数目L

提高小信号幅度时信噪比指标，但是，这将导致设备复杂和传输带宽的增加。所以对语音信号采用均匀量化是不合理的，小信号出现概率大，对噪声功率的贡献也大，为了使提高，应当减小小信号时的量化间隔，即采用非均匀量化，小信号时量化“细”，大信号时量化“粗”。即采用“瞬时压扩”的概念，以改善信噪比。5.7最佳非均匀量化非均匀量化器是指量化间隔不相等的量化器(根据语音信号的特点，对低电平分层细一些，即用小的量化间隔去近似，对高电平则用大的量化间隔去近似，使输入信号电平与量化误差之比在小信号到大信号的整个范围内基本一致)。实现上述非均匀量化器方案如下:abc在发送端首先使输入信号x通过一个具有上图a所示压缩特性f(x)的部件，然后进行均匀量化和编码，在接收端解码后利用扩张器，即逆变f--1(x)使压缩波形复原，如图b，只要压缩与扩张特性恰好相反，则压、扩过程就不会引起失真，系统框图和非均匀量化过程如图c所示。最佳非均匀量化是指在最佳压缩特性f(x)的情况下，其量化噪声取最小值。下面画出了压缩特性z=f(x)与量化间隔的关系，可见对压缩信号z=f(x)是均匀量化间隔Δ而对应的输入信号x是非均匀量化间隔

设V是量化电平的最大值，L是量化间隔数则（常数）当时，量化层很密，有而对信号x的量化噪声：（由式5－21）5－41Δ

0

Δkz考虑到以及的对称性，上式可以写成求使上式最小的：当给定V、px(x)时，K为常数，求得最佳压缩特性为5－41对应最小噪声功率（5－41）当信号幅度概率密度为均匀分布时则:这说明对均匀分布的信号系统来说，均匀量化能获得最小量化噪声：这一结果与前面分析的相同——均匀量化的量化噪声与信号统计特性无关，只与量化间隔有关。当语音信号为拉普拉斯分布时：信号方差最佳压缩特性则与（均方根值）有关——即与方差有关5-49（均方根值也称作有效值，它的计算方法是先平方、再平均、然后开方）由于压缩特性f(x)与信号方差（均方根值σx）有关，当σx变动时，量化噪声σq2将偏离最小值，从而量化信噪比将下降——这种情况称为量化器方差失配。最小量化噪声功率：当由公式以上述语音信号为例，在给定情况下，最佳量化的SNR特性如下式（将5-49代入5-41）和右图5-19所示：由图可见，信噪比大于20dB的动态范围还不到20dB,远远不能满足长途电话45dB动态范围的要求，因此，上述最佳压缩特性并没有获得实际应用。-50-40-30-20-10SNR4030201020dB5.8对数量化及其折线近似按照在规定的动态范围（输入语音信号动态范围在45dB）内，量化噪声的信噪比尽可能保持平稳的要求来设计的量化器，具有对数量化特性，称为对数量化器。5.8.1理想对数量化可以将x0小信号进行修正，以利于实用化。经修正的在国际上通用的两种对数压缩特性是：

A律与

μ律即：压缩特性f(x)为对数特性时，量化器输出信噪比始终保持为常数。*对数压缩特性相当于对输入小信号电平值放大倍数增大，而对大电平值放大倍数减小，从而压缩了信号的动态范围。*但是，理想的对数放大是无法实现的，因为令量化器归一化过载电压为，（将输入信号归一化），则A律对数压缩特性定义为：A为压缩常数a.A律对数压缩特性A律压缩实际为两段：第一段直线段，斜率为的一条直线，即为均匀量化第二段为对数特性曲线，ITUG.712建议中取A＝87.6，此时f(x)*A律对数压缩时的量化噪声为简化分析，设在满载情况下（xmax/V=1），写成对过载电平V归一化形式：b.

μ律对数压缩特性ITUG.712建议中取＝255，L＝256小信号时改善33.5dB，优于A律。为压缩系数律A律与A律相似，愈大则压缩效果愈明显当=0时，f(x)=x相当于无压缩随着集成电路和数字技术的发展，数字压扩技术获得了广泛应用：它利用数字电路形成许多折线来近似非线性压缩曲线。实际采用的有7折线律（=100），13折线A律和15折线律.上述两种特性仍难以实现，因而实际中采用折线近似。

*折线近似，用数字电路容易实现。*A律与μ

律量化特性起始段不同5.8.4对数压缩特性的折线近似如图：A律13折线压缩特性（图中只画出了x>0的部分，x<0的部分与其原点对称），图中x和z分别表示归一化的输入和输出幅度:0～1.输入信号x的归一化范围(0,1)被分成不均匀的8个区间，分法是，每个区间长度以2倍递增，或相反以1/2递减然后，每个区间段再均匀的分成16等分（于是在0～1范围内共有16*8=128个量化分层，但每个区间上的分层间隔是不均匀的（除第一、二个区间外)）将纵轴在区间0～1内被均匀的分成8个段，每段再等分成16份，即z在0～1范围内被均匀的分成128个量化分层由于负方向和正方向的1、2段斜率均相同，所以实际只有13段折线zzz1786858483828181011281641161321181412x斜率：1段162段163段84段45段26段17段1/28段1/4234567第8段在原点上折线的斜率＝16，由A律的斜率＝16可得A＝87.6,所以这条折线与A＝87.6压缩特性很接近用8位PCM编码，8位编码安排如下C7C6C5C4C3C2C1C0极性码段落码段内码1）极性码C7＝1为正，＝0为负2）3位段落码即表示不同的段也表示各段不同的起始电平3）每个折线段等分为16份，由4位段内码编码可见：z轴均匀量化间隔对应x的最小分层电平最大量化间隔zz1111****1110****1101****1100****1011****1010****1001****1000****C7C6C5C4C3C2C1C0极性码码段落C6C5C4段内码C3C2C1C013折线幅度码及其对应电平13折线近似A率压缩PCM的SNR曲线出现起伏现象，不再是单调曲线。这是因为在每段折线的起始部分内，量化间隔突然成倍增加，导致量化噪声（正比于Δk2）增加很快，而信号功率的增加却没有那么快，因而SNR反而略有下降。但随信号功率的增加，噪声功率基本保持不变，因此SNR又开始增加。这样共出现了6个起伏，7个峰值（与折线段对应）。SNR曲线出现起伏5.9

PCM（脉冲编码调制）编码原理5.9.1折叠二进制码（FBC）常见的二进制码组有：1）自然二进制码组NBC;2）格雷二进制码组RBC;3)折叠二进制码组FBC;1）自然码NBC是十进制正整数的二进制表示，其编码操作简单2）折叠码FBC左边第一位表示正负号（1为正，0为负）剩余部分表示幅度，折叠码的优点：1）因为绝对值相同的折叠码，其码组除第一位极性码外都相同，所以对于双极性信号采用简单的单极性编码，可简化编码电路（例如，一双极性信号需要128个量化级，采用一个极性判别电路后，只需64个量化级的编码电路)2）与自然码相比，FBC在传输中，若出现误码，误码对小信号影响较小。例如第一位发生错误，对任何一个自然码的解码后，其幅度误差都是信号最大幅度的1/2,而对于小信号时的折叠码来说，解码后的幅度误差要小的多，由于语音信号的小信号概率很大，所以PCM标准中采用了折叠码.设对应于自然二进制码的折叠码为则从NBC到FBC的变换为:二从FBC到NBC的变换为:

设对应于自然二进制码的格雷码为则从NBC到RBC的变换为而从RBC到NBC的变换为

3）格雷码RBC的特点是使相邻两个电平的码字之间的距离始终保持为1，因此，在信号传输过程中，若对发生变化的比特位判断有误（指相邻电平），只能错判成相邻电平，使错误减小到最低。附：非均匀量化与均匀量化的比较若以非均匀量化（13折线A率对数）的最小量化间隔（Δmin(x)=1个单位）作为均匀量化的量化间隔（Δ=1），13折线的第1到第8段各段所包含的均匀量化数分别为：16、16、32、64、128、256、512、1024，总共2048个均匀量化区间（或量化单位），需要11位编码；非均匀量化时只有128个量化间隔，只需要7位编码；可见，在保证小信号区间量化间隔相同的条件下，7位非线性编码与11位线性编码等效。非线性编码位数减少，设备简单，系统带宽也减小。练习：见<通信原理复习提纲>第10页

“【例】”5.9.2信道误码对信噪比的影响在PCM通信系统中，重建信号（接收端）的误差来源为

1.量化器的量化误差;

2.误码引起的失真;当与二者相互统计独立时，总噪声功率为若均匀量化，量化噪声功率误码产生的噪声功率为：式中为第i级量化电平；

为第j级量化电平；是由错为的概率；是的出现概率；L是量化电平总数设即每个量化电平出现的概率相等在假设加性噪声为高斯白噪声的情况下,每一码组中出现的误码可以认为是彼此独立的，并设每个码元的误码率皆为Pe。考虑到实际中PCM的每个码组中出现多于1位误码的概率很低，所以通常只需要考虑仅有1位误码的码组错误。由于码组中各位码的权值不同，因此，误差的大小取决误码发生在码组的哪一位上，而且与码型有关。以N位长自然二进码为例，自最低位到最高位的加权值分别为20,21,…2k-1，…2N-1

，若量化间隔为Δ，则发生在第k位上的误码所造成的误差为±(2k-1Δ)，其所产生的噪声功率便是(2k-1Δ)2。假设每位码元所产生的误码率是相同的Pe