应用随机过程(第三章)

第三章Poisson过程§3.1Poisson过程定义3.1.1随机过程称为计数过程，如果表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：（1）且取值为整数；（2）时，且

表示时间内事件A发生的次数。定义３.１.２计数过程称为参数为λ的Poisson过程，如果：（1）；（2）过程有独立增量；（3）在任一长度为t的时间区间中事件发生的次数服从均值为λt的Poisson分布，即对一切，有：Poisson的特性平稳增量性。由，知λ是单位时间内发和事件的平均次数。称λ为Poisson近程的强度或速率。例3.1.1售票处乘客以10人／小时的平均速率到达，则9：00～10：00最多有5名乘客的概率？10：00～11：00没有人的概率？例3.1.2保险公司接到的索赔次数设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接到的索赔要求是4次，则一年中它要付出的金额平均是多少？Poisson过程的等价定义设是一个计数过程，它满足：′N(0)=0；′过程有平稳独立增量；′存在λ＞0，当h↓0时有：′当h↓0时有：定理3.1.1满足上述条件(1)′～(4)′的计数过程

是Poisson过程。

反过来Poisson过程一定满足这四个条件。例3.1.3

事件A的发生形成强度为λ的poisson过

程，如果每次事件发生时以概率p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t被记录下来的事件总数，则

是一个强度为λp的Poisson过程。例3.1.4

设每条蚕产卵数服从poisson分布，强度为λ，而每个卵变成成虫的概率为p，且每个卵是否变成成虫彼此间没有关系，求在时间[0，t]内每条蚕养活k条小蚕的概率。例3.1.5天空中的星体数服从Poisson分布，其参数为λV，V为被观测区域的体积。若每个星球上有生命存在的概率为p，则在体积为V的宇宙空间中有生命存在的星球数服从强度为λpV的Poisson分布。与Poisson过程相联系若干分布与的分布

表示第n次事件发生的时间；

规定，

表示第n次与第n-1次事件发生的时间间隔，

定理3.2.1

服从参数为λ的指数分布，且相互独立。

定理3.2.1

服从参数为n和λ的Γ分布。证明：

Xi独立且服从相同的指数分布指数分布分n=1的Γ分布，且具有可加性。定理得证。证明2对上式两端对t求导，可得Tn的密度函数为：定义3.2.1

计数过程是参数为λ的Poisson过程，如果每次事件发生的时间间隔X1，X2，…，

相互独立，且服从同一参数为λ的指数分布。例3.2.1设从早上8：00开始有无穷人排队，只有一名服务员，且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20min的指数分布，则到中午12:00为止平均有多少人已经离去？已有9人接受服务的概率是多少？例3.2.2假定某天文台观测到的流星流是一个Poisson过程，以往资料统计，平均每小时观察到3颗流星，试求上午8：00～12：00期间，该天文台没有观测到流星的概率？事件发生时刻的条件分布考虑n=1的情形，对于s≤t有：定理3.2.3

在已知N(t)=n的条件下，事件发生的n个时刻T1，T2，…,Tn的联合密度函数为例3.2.3乘客按强度为λ的Poisson过程来火车站，火车在t时刻启程，计算(0，t]内到达的乘客等车时间总和的数学期望。解：即要求计算其中Ti是第i个乘客的到达时间。由于N(t)为一随机变量，取条件期望例3.2.4事件A的发生形成强度为λ的poisson过

程，如果每次事件发生时以概率p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t被记录下来的事件总数，则

是一个强度为λp的Poisson过程。现在设A在时刻s时，被记录到的概率为p(s)

那么还是Poisson过程吗？M(t)已不是一个Poisson过程，它仍具有独立增量性，不在具有平稳增量性。Poisson过程的推广非齐Poisson过程定义3.3.1计数过程称作强度函数为的非齐Poisson过程，如果：(1)(2)具有独立增量(3)(4)定义3.3.2计数过程称为强度函数为

的非齐次Poisson过程，若：（1）（2）具有独立增量；（3）对任意实数为具有参数的Poisson分布。称为非齐Poisson过程的均值函数（累积强度函数）定理3.3.1设为强度函数为

的非齐次Poisson过程，对任意令：则是一个强度为1的Poisson过程。例3.3.1设某设备的使用年限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年维修一次。试求它在使用期内只维修过1次的概率？解：复合Poisson过程定义3.3.3：称随机过程为复合Poisson过程，如果对于，它可表示为：其中是一个Poisson过程，

是一族独立同分布的随机变量，并且与

独立。例3.3.2保险公司接到的索赔次数服从一个Poisson过程，每次的赔付金额Yi都相互独立，且有相同的分布F，且每次的索赔额与与它发生的时间无关。则[0，t]内保险公司赔付的总额就是一个复合Poisson过程，其中：例3.3.3（顾客成批到达的排队系统）设顾客到达某服务系统的时刻形成一个强度为λ的Poisson过程，在每个时刻

都可以同时有多名顾客到达。Yn表示时刻Sn到达的顾客人数，假设Yn

n=1,2,3…相互独立，且与｛Sn｝也独立，则在[0，t]时刻内到达服务系统的总人数可用一复合Poisson过程来描述。例3.3.4设顾客按照参数为λ的Poisson过程进入一个商店。又设每个顾客消费金额形成一个独立同分布随机变量。以X(t)记到时刻t为止顾客在此商店的消费总额，易见是一个复合Poisson过程。定理3.3.2设是一个复合Poisson过程，Poisson过程

的强度为λ，则：（1）有独立增量；（2）若，则例3.3.5保险公司索赔模型中，设索赔要求以每月平均两次的速率的Poisson过程到达保险公司。每次赔付服从均值为10000万元的正态分布，则一年中保险公司的平均赔付额为多少？例3.3.6顾客以每分钟6人的平均速率进入商场，服从Poisson过程。每位顾客买东西的概率为0.9，且每位顾客是否买东西互不影响，也与进入商场的人数无关。求一天（12）小时在该商场买东西的顾客人数。以表示在时间[0，t]内到达商场的人数，以表示在时间[0，t]内在商场买东西的人数，若以Zi表示第i位顾客在商场消费金额，且则表示在时间[0，t]内该商场的营业额。条件Poisson过程定义3.3.4设随机变量Λ>0，在Λ=λ的条件下，计数过程是参数为λ的Poisson过程，则称