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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则()A. B.C. D.2.已知数列满足:,则()A.16 B.25 C.28 D.333.下列说法正确的是()A.“若,则”的否命题是“若,则”B.在中,“”是“”成立的必要不充分条件C.“若,则”是真命题D.存在,使得成立4.已知函数,其中表示不超过的最大正整数,则下列结论正确的是()A.的值域是 B.是奇函数C.是周期函数 D.是增函数5.已知甲、乙两人独立出行,各租用共享单车一次(假定费用只可能为、、元).甲、乙租车费用为元的概率分别是、,甲、乙租车费用为元的概率分别是、,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为()A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位长度,得到的函数为偶函数,则的值为()A. B. C. D.7.设i为虚数单位,若复数,则复数z等于()A. B. C. D.08.若双曲线的离心率,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为()A. B.2 C. D.19.已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是()A. B. C. D.10.已知,,若,则实数的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或711.网格纸上小正方形边长为1单位长度,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.1 B. C.3 D.412.已知平面向量满足与的夹角为,且,则实数的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,内角的对边分别为,已知,则的面积为___________.14.的展开式中,的系数是__________.(用数字填写答案)15.已知两点,,若直线上存在点满足,则实数满足的取值范围是__________.16.已知平面向量、的夹角为,且,则的最大值是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若是椭圆上关于轴对称的任意两点,设,连接交椭圆于另一点.求证:直线过定点并求出点的坐标;(3)在(2)的条件下,过点的直线交椭圆于两点,求的取值范围.18.(12分)已知函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)设,求证:;(Ⅲ)若对于恒成立,求的最大值.19.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;(Ⅱ)已知直线与曲线交于,两点,与轴交于点,求.20.(12分)如图,三棱柱中,与均为等腰直角三角形,,侧面是菱形.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.(Ⅰ)解不等式f(x)>1;(Ⅱ)当x>0时,若函数g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x),求实数a的取值范围.22.(10分)贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战,建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署,即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困,实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召,某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导,经调查知,在一个销售季度内,每售出一吨该产品获利5万元,未售出的商品,每吨亏损2万元.经统计,两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表:市场:需求量(吨)90100110频数205030市场:需求量(吨)90100110频数106030把市场需求量的频率视为需求量的概率,设该厂在下个销售周期内生产吨该产品,在、两市场同时销售,以(单位:吨)表示下一个销售周期两市场的需求量,(单位:万元)表示下一个销售周期两市场的销售总利润.(1)求的概率;(2)以销售利润的期望为决策依据,确定下个销售周期内生产量吨还是吨?并说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

先由得或,再计算即可.【详解】由得或,,,又,.故选:B【点睛】本题主要考查了集合的交集,补集的运算,考查学生的运算求解能力.2.C【解析】

依次递推求出得解.【详解】n=1时,,n=2时,,n=3时,,n=4时,,n=5时,.故选:C【点睛】本题主要考查递推公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.C【解析】

A:否命题既否条件又否结论,故A错.B:由正弦定理和边角关系可判断B错.C:可判断其逆否命题的真假,C正确.D:根据幂函数的性质判断D错.【详解】解:A:“若,则”的否命题是“若,则”,故A错.B:在中,,故“”是“”成立的必要充分条件,故B错.C:“若,则”“若,则”,故C正确.D:由幂函数在递减,故D错.故选:C【点睛】考查判断命题的真假,是基础题.4.C【解析】

根据表示不超过的最大正整数,可构建函数图象,即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性,进而下结论.【详解】由表示不超过的最大正整数,其函数图象为选项A,函数,故错误;选项B,函数为非奇非偶函数,故错误;选项C,函数是以1为周期的周期函数,故正确;选项D,函数在区间上是增函数,但在整个定义域范围上不具备单调性,故错误.故选:C【点睛】本题考查对题干的理解,属于函数新定义问题,可作出图象分析性质,属于较难题.5.B【解析】

甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元,或同为2元,或同为3元,由独立事件的概率公式计算即得.【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是,∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为.故选:B.【点睛】本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础.6.D【解析】

利用三角函数的图象变换求得函数的解析式,再根据三角函数的性质,即可求解,得到答案.【详解】将将函数的图象向左平移个单位长度,可得函数又由函数为偶函数,所以,解得,因为,当时,,故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的性质的应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换,合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.7.B【解析】

根据复数除法的运算法则,即可求解.【详解】.故选:B.【点睛】本题考查复数的代数运算,属于基础题.8.C【解析】

根据双曲线的解析式及离心率,可求得的值;得渐近线方程后,由点到直线距离公式即可求解.【详解】双曲线的离心率,则,,解得,所以焦点坐标为,所以,则双曲线渐近线方程为,即,不妨取右焦点,则由点到直线距离公式可得,故选:C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用,渐近线方程的求法,点到直线距离公式的简单应用,属于基础题.9.C【解析】试题分析:如下图所示,则,因为与的夹角为,即,所以,设,则,在三角形中,由正弦定理得,所以,所以,故选C.考点:1.向量加减法的几何意义;2.正弦定理;3.正弦函数性质.10.C【解析】

根据平面向量数量积的坐标运算,化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算,代入化简可得.∴解得.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,属于基础题.11.A【解析】

采用数形结合,根据三视图可知该几何体为三棱锥,然后根据锥体体积公式,可得结果.【详解】根据三视图可知:该几何体为三棱锥如图该几何体为三棱锥,长度如上图所以所以所以故选:A【点睛】本题考查根据三视图求直观图的体积,熟悉常见图形的三视图:比如圆柱,圆锥,球,三棱锥等;对本题可以利用长方体,根据三视图删掉没有的点与线,属中档题.12.D【解析】

由已知可得,结合向量数量积的运算律,建立方程,求解即可.【详解】依题意得由,得即,解得.故选:.【点睛】本题考查向量的数量积运算,向量垂直的应用,考查计算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

由余弦定理先算出c,再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理,得,即,解得,故的面积.故答案为:【点睛】本题考查利用余弦定理求解三角形的面积,考查学生的计算能力,是一道基础题.14.【解析】

根据组合的知识,结合组合数的公式,可得结果.【详解】由题可知:项来源可以是:(1)取1个,4个(2)取2个,3个的系数为:故答案为:【点睛】本题主要考查组合的知识,熟悉二项式定理展开式中每一项的来源,实质上每个因式中各取一项的乘积,转化为组合的知识,属中档题.15.【解析】

问题转化为求直线与圆有公共点时,的取值范围,利用数形结合思想能求出结果.【详解】解:直线,点,,直线上存在点满足,的轨迹方程是.如图,直线与圆有公共点,圆心到直线的距离:,解得.实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,属于中档题.16.【解析】

建立平面直角坐标系,设,可得,进而可得出,,由此将转化为以为自变量的三角函数,利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可得出结果.【详解】根据题意建立平面直角坐标系如图所示,设,,以、为邻边作平行四边形,则,设,则,,且,在中,由正弦定理,得,即,在中,由正弦定理,得,即.,,则,当时,取最大值.故答案为:.【点睛】本题考查了向量的数量积最值的计算,将问题转化为角的三角函数的最值问题是解答的关键,考查计算能力,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)证明详见解析,;(3).【解析】

(1)根据题意列出关于的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线过的定点一定在轴上,再设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,进而求得的方程,并代入,化简分析即可.(3)先分析过点的直线斜率不存在时的值,再分析存在时,设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入求解出关于的解析式,再求解范围即可.【详解】解:设椭圆的标准方程焦距为,由题意得,由,可得则,所以椭圆的标准方程为;证明:根据对称性,直线过的定点一定在轴上,由题意可知直线的斜率存在,设直线的方程为,联立,消去得到,设点,则.所以,所以的方程为,令得,将,代入上式并整理,,整理得,所以,直线与轴相交于定点.当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,当过点的直线斜率存在时,设直线的方程为,且在椭圆上,联立方程组,消去,整理得,则.所以所以,所以,由得,综上可得,的取值范围是.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.18.(Ⅰ)函数的单调增区间为,单调减区间为;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ).【解析】

(Ⅰ)利用二次求导可得,所以在上为增函数,进而可得函数的单调增区间为,单调减区间为;(Ⅱ)利用导数可得在区间上存在唯一零点,所以函数在递减,在,递增,则,进而可证;(Ⅲ)条件等价于对于恒成立,构造函数,利用导数可得的单调性,即可得到的最小值为,再次构造函数(a),,利用导数得其单调区间,进而求得最大值.【详解】(Ⅰ)当时,,则,所以,又因为,所以在上为增函数,因为,所以当时,,为增函数,当时,,为减函数,即函数的单调增区间为,单调减区间为;(Ⅱ),则令,则(1),,所以在区间上存在唯一零点,设零点为,则,且,当时,,当,,,所以函数在递减,在,递增,,由,得,所以,由于,,从而;(Ⅲ)因为对于恒成立,即对于恒成立,不妨令,因为,,所以的解为,则当时,,为增函数,当时,,为减函数,所以的最小值为,则,不妨令(a),,则(a),解得,所以当时,(a),(a)为增函数,当时,(a),(a)为减函数,所以(a)的最大值为,则的最大值为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,以及函数不等式恒成立问题的解法,意在考查学生等价转化思想和数学运算能力,属于较难题.19.(1)(x-1)2+y2=4,直线l的直角坐标方程为x-y-2=0;(2)3.【解析】

(1)消参得到曲线的普通方程,利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程;(2)先得到直线的参数方程,将直线的参数方程代入到圆的方程,得到关于的一元二次方程,由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.【详解】(1)由曲线C的参数方程(α为参数)(α为参数),两式平方相加,得曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=4;由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos-ρsinθsin=ρcosθ-ρsinθ=2,即直线l的直角坐标方程为x-y-2=0.(2)由题意可得P(2,0),则直线l的参数方程为(t为参数).设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则|PA|·|PB|=|t1|·|t2|,将(t为参数)代入(x-1)2+y2=4,得t2+t-3=0,则Δ>0,由韦达定理可得t1·t2=-3,所以|PA|·|PB|=|-3|=3.20.(1)见解析(2)【解析】

(1)取中点,连接,,通过证明,得,结合可证线面垂直,继而可证面面垂直.(2)设,建立空间直角坐标系,求出平面和平面的法向量,继而可求二面角的余弦值.【详解】解析:(1)取中点,连接,,由已知可得,,,∵侧面是菱形,∴,,,即,∵,∴平面,∴平面平面.(2)设,则,建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,,,,设平面的法向量为,则,令得.同理可求得平面的法向量,∴.【点睛】本题考查了面面垂直的判定,考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时,常建立空间直角坐标系,通过求面的法向量、线的方向向量,继而求

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