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第三节曲面及其方程xzyoxzyoxzy4oxzyo00xzyyxz0yxz0x-y=0yxz0解决方法:采用截痕法,即用坐标面及平行于坐标面的平面去截曲面,观察所的截线的形状,从而确定曲面图形。下面讨论几个特殊的二次曲面问题:给定方程F(x,y,z)=0,如何确定方程所表示的曲面形状?一、椭球面方程:首先:
其次:与xoy坐标面的交线(截痕)是xoy面上的椭圆
再看:与平面的交线相交于点综上讨论,可知椭球面形状如图平面上的椭圆是最后与平面类似的,若用平行于xoz及yoz坐标面的两组平面截椭球面,得到的解痕仍是两组椭圆,如图XYZ特别的:
a=b时,方程a=b=c时,方程为为旋转椭球面为球面xyzoxyzo二、抛物面1、椭圆抛物面方程:设p、q>0,则图形在xoy平面上方与xoy面的交线为点(0,0,0)与平面交线平面上的椭圆类似,用xoz及yoz坐标平面截得截痕为抛物面xyzo是特别的p=q时为旋转抛物面2、双曲抛物面(或马鞍面)方程采用截痕法得到图形xyzo曲面截痕均为双曲线及抛物线(除xoy面上截痕是两条相交直线外)注:z=xy是经旋转后的双曲抛物面三、双曲面1、单叶双曲面方程特别的a=b时,为旋转双曲面2、双叶双曲面方程xyo特别的a=b时为
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